一道中考题的解法赏析

题目（2013年绍兴市）如图1，抛物线y＝（x－3）（x＋1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点G，点D为顶点．

(1)求点B及点D的坐标；

(2)连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．

①若线段BD上一点P，使∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标；

②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN＝∠BDE，求点M的坐标．

分析(1)令y＝0，则

（x－3）（x＋1）＝0，

解之得x1＝3，x2＝－1．

∵点A在点B左侧，∴B(3，0)．

∵y＝（x－3）（x＋1）

＝x2－2x－3

＝（x－1）2－4，

∴D（1，－4）

(2)①解1连结BC，过点C作CG⊥直线DE于点G，设CP与直线DE交于点，(如图2)．

解2连结BC，延长PC与x轴交于点F(如图3)．

（以下同解法1．）

解3在DE的延长线上取点G，使EG＝EB，连结BG（如图4）．

（以下同解法1．）

②解1(i)若点M在抛物线的对称轴左侧．连结BC，交直线DE于点F(如图5)．由第①小题，可知

∠NCO＝∠CDF＝∠CFD＝45°，

∠MCN<∠NCO＝45°．

∴∠CMN＝90°－∠MCN>45°，

而∠BDE<∠CFD＝45°，

故在抛物线的对称轴左侧不存在一点M，使∠CMN＝∠BDE；(ii)若点M在抛物线的对称轴右侧．

当点M在x轴上方：

解1作∠BEH＝45°，交DB的延长线于点H，设CM与直线DE交于点G（如图6）．易求直线EH的解析式为

y＝x－1，

直线BD的解析式为

解2设MN交y轴于点F，过点M作MG上y轴于点G（如图7）．

易证△CNF，△MCF均为等腰直角三角形．

当点M在x轴下方：

解1作∠BEH＝45°，交BD于点H，设CM与直线DE交于点G（如图8）．易求直线EH的解析式为

y＝－x＋1，

直线BD的解析式为

y＝2x－6．

解2延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G（如图9）．

易证△CNF，△MGF均为等腰直角三角形．