...第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛复赛六年级试题及解答word版

六年级    第2试

2011年4月10日        上午9：00-11：00

1、填空题（5'×12=60'）

1、计算：________________.

分析：原式-（-）

或 原式

2、对于任意两个数和，定义新运算◆和，规则如下：

◆=，=；如 1◆2=，12=，

由此计算◆__________.

分析：，而，所以原式=

3、用4根火柴，在桌面上可以拼成一个正方形；用13根火柴可以拼成四个正方形；…，如图1，拼成的图形中，若最下面一层有15个正方形，则需火柴__________根。

分析：第二个图形比第一个图形多9根火柴，第三个图形比第二个图形多13根火柴，经尝试，第四个图形比第三个图形多17根火柴，而最下面一层有15根火柴的是第8个图形，所以共需要火柴4+(9+13+17+21+25+29+33)=151根。

4、若自然数可以表示城3个连续自然数的和，也可以表示成11个连续自然数的和，还可以表示成12个连续自然数的和，则的最小值是_________。（注：最小的自然数是0）

分析：因为奇数个连续自然数之和等于中间数乘以数的个数，所以能被3和11整除，也就是能被33整除；因为偶数个连续自然数之和等于中间两个数的平均值乘以数的个数，所以等于一个整数加上0.5再乘以12，也就是被12除余6，最小为66。（66可以表示成0到11的和）

5、十进制计数法，是逢10进1，如，；计算机使用的是二进制计数法，是逢2进1，如，，如果一个自然数可以写成进制数，也可以写成进制数，那么最小的=_______，=________。（注：）

分析：4+5=5+4，也就是说4(-1)=5(-1)，如果-1=5，-1=4，则=6，=5，但此时进制中不能出现数字5；如果-1=10，-1=8，则=11，=9，符合题意。

6、我国除了用公历纪年外，还采用干支纪年，根据图2中的信息回答：公历1949年按干支纪年法是____________年。

分析：干支纪年法60年一循环，1949+60=2009，而2009年是己丑年，所以1949年是己丑年

7、盒子中装有很多相同的,但分红、黄、蓝三种颜色的玻璃球,每次摸出两个球，为了保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸球__________次。

分析：每次摸出的结果可能是两个球颜色相同，有3种可能；或颜色不同，也有3种可能，共6种可能。最不利情况是每种可能各出现4次，则再摸一次就保证有5次相同，6×4+1=25

8、根据图3中的信息回答，小狗和小猪同时读出的数是___________。

分析：相当于分别从1和1002处以2:5的速度比进行相遇问题，(1002-1)÷7×2+1=287

9、图4中的阴影部分的面积是__________平方厘米。（取3）

分析：分别连接两个正方形的"＼"的对角线，发现它们平行，所以阴影部分的面积就等于一个扇形的面积，为15×15×3÷4=168.75

10、甲、乙两人合买了个篮球，每个篮球元。付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付。付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲________元。

分析：总共价格为元，最后乙付说明的十位数字为奇数，所以个位为6，乙最后一次付了6元，应该给甲2元

11、某代表队共有23人参加第16届广州亚运会，他们按身高从高到低排列，前5位队员的平均身高比前8位队员的平均身高多3厘米；后15位队员的平均身高比后18位队员的平均身高少0.5厘米。那么前8位队员的平均身高比后15位队员的平均身高多_______厘米。

分析：前5位队员的平均身高比前8位队员的平均身高多3厘米，也就是说，加入第6~8名后，平均身高减少了3厘米，因此第6~8名的平均身高比前5名的平均身高少3÷3×8=8厘米。

第9~23位队员的平均身高比第6~23位队员的平均身高少0.5厘米，也就是说，加入第6~8名后，平均身高增加了0.5厘米，因此第6~8名的平均身高比第9~23名的平均身高多0.5÷3×18=3厘米。因此，前8名的平均身高比第9~23名的平均身高多8-3+3=8厘米

12、甲、乙、丙三人同时从地出发到地，他们的速度的比是，其中甲、乙两人步行，丙骑自行车，丙可以带一人同行（速度保持不变）。为了使三人在最短的时间内同时到达地，则甲、乙两人步行的路程之比是___________。

分析：根据对称性，丙先带谁没有区别。设先带甲，返回接乙。设乙步行的路程为，丙骑车返回的路程为，甲步行的路程为。乙比骑车从A地到B地多用时间(-)，甲比骑车从A地到B地多用时间(-)，丙比骑车从A地到B地多用时间。三人同时到达即这三个相等时，-=-=，求得：：=10:7:7，所求路程比为7:10

2、解答题（15'×4=60'）

13、一辆汽车从甲地开往乙地，若车速提高，可提前25分钟到达；若以原速行驶100千米，再将车速提高，可提前10分钟到达，求甲乙两地的距离。

分析：车速提高20%，也就是变成原来的，则时间变成原来的，减少25分钟，原定时间为25×6=150分钟；车速提高25%，也就是变成原来的，则时间变成原来的，减少10分钟，则这段路程的原定时间为10÷5=50分钟。因此，原速行驶100千米需要150-50=100分钟，距离为150÷100×100=150千米

14、如图5，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实心圆柱体，容器内盛有升水时，水面恰好经过圆柱体的上底面。如果将容器倒置，圆柱体有8厘米露出水面。已知圆柱体的底面积是正方体底面积的，求实心圆柱体的体积。

分析：两次的空白部分体积相等，而第二次的空白部分的横截面积为第一次的，所以第一次的空白部分的高度为第二次的，即7厘米。正方体的底面积为20×20=400平方厘米，所以圆柱体的底面积为400÷8=50平方厘米，高度为20-7=13厘米，体积为50×13=650立方厘米

15、有8个足球队进行循环赛，胜队得1分，负队得0分，平局的两队各得0.5分。比赛结束后，将各队的得分按从高到低排名后发现：各队得分互不相同，且第二名的得分与最后四名所得的总分一样多。求这次比赛中，取得第二名的队的得分。

分析：全胜的队得7分，而最后四队之间赛6场至少共得6分，所以第二名的队得分至少为6分。如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得6分；如果第二名得6.5分，则第二名6胜1负，第一名最好也只能是6胜1负，与题目中得分互不相同不符。所以，第二名得分为6分

16、将两个不同的自然数中较大的数换成他们的差，称为一次操作，如此继续下去，直到这两个数相同为止。如对20和26进行这样的操作，过程如下：

（20，26）（20，6）（14，6）（8，6）（2，6）（2，4）（2，2）

（1）对45和80进行上述操作。

（2）若对两个四位数进行上述操作，最后得到的相同数是17。求这两个四位数的和的最大值。

     分析：(45,80)→(45,35)→(10,35)→(10,25)→(10,15)→(10,5)→(5,5)。这就是用辗转相除法求最大公约数的运算，所以两个四位数的最大公约数为17，9999÷17=588……3，所以最大的四位数是9999-3=9996，第二大的四位数是9996-17=9979，和为19975