广东省广州市越秀区中小学教师公开招聘考试小学数学真题

(总分：99.99，做题时间：90分钟)

一、第一部分 客观题(总题数：0，分数：0.00)

二、单项选择题(总题数：20，分数：44.20)

1.关于1.5÷0.5=3，下列说法正确的是______．

（分数：2.21）

 A.1.5能被0.5整除

 B.3是1.5的约数

 C.1.5能被0.5除尽 √

 D.1.5是0.5的倍数

解析： 除尽是指两数相除，除得的商是整数或有限小数，其中整除是除尽的一种特殊情况；整除、倍数、约数均是整数运算中的概念．1.5÷0.5=3，没有余数，所以说1.5能被0.5除尽．因此本题选C．

2.分数单位是 的最小假分数是______，将这个假分数再添上______个这样的分数单位就是最小的素数．______ 

A． 

B． 

C． 

D． 

（分数：2.21）

 A.

 B. √

 C.

 D.

解析： 假分数是指分子大于或者等于分母的分数，因此分数单位是的最小假分数是；最小的素数是2，因为2与相差1，因此需添加6个．故选B．

3.下列说法正确的是______．

（分数：2.21）

 A.位数多的小数，比位数少的小数大

 B.小数点后面去掉零，小数的大小不变

 C.小数点后面添上零，小数的数值变大

 D.一个正整数的末位数添加一个零，原来的数就扩大10倍 √

解析： 小数大小的比较与整数基本相同，即从高位起，依次把相同数位上的数进行比较，与小数位数的多少无关，如a=1.011，b=1.1，可知b＞a，故A项错误；只有当0在小数的末尾时，去掉才不影响数值的大小，只是改变精度；若是小数点后其他位置的0去掉，会使小数的值变大，故B错误；在小数末尾加上0，不影响小数的大小，只是改变精度；若是小数点后其他位置添上0，会使小数的值变小，故C错误．因此本题选D．

4.代数式中，属于整式的有______个．

（分数：2.21）

 A.6

 B.5

 C.4 √

 D.3

解析： 分母中是否含有字母是整式与分式的主要区别，题干中分母中均没有字母，是整式，分母中含有字母，是分式，因此选C．此题要特别注意，虽然其分母中的π是字母，但是π代表的是一个具体的数，因此仍是整式．

5.某超市进了一批商品，每件进价为a元，若要获利25%，则每件商品要卖______元． 

A．25%a 

B．(1+25%)a 

C．(1-25%)a 

D． 

（分数：2.21）

 A.

 B. √

 C.

 D.

解析： 利润=售价-进价，所以售价为a+25%a，即(1+25%)a．因此本题选B．

6.已知2n+2m 2 -8m=n-10，若1≤m≤5，则n的取值范围是______．

（分数：2.21）

 A.-20≤n≤-2 √

 B.-4≤n≤-2

 C.-20≤n≤-4

 D.n≤-2

解析： 原方程可化为n=-2m 2 +8m-10=-2(m-2) 2 -2，n关于m的函数开口向下，又1≤m≤5，所以在m=2时取最大值，n max =-2；当m=1时，n=-4，当m=5时，n=-20，所以当1≤m≤5时，-20≤n≤-2．因此本题选A．

7.已知△ABC中，A≠B，设sinB=n，当B是最小的内角时，n的取值范围是______ 

A． 

B． 

C． 

D． 

（分数：2.21）

 A.

 B.

 C.

 D. √

解析： 当三角形为等边三角形时，三个角均为60°，即，因为B是最小的内角，且A≠B，所以0°＜B＜60°，因此．

8.已知二次函数y=ax 2 +bx+c(其中a＞0，b＞0，c＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法： 

①图象的顶点一定在第四象限； 

②图象的开口一定向上； 

③图象与x轴的交点都在y轴的左侧． 

以上说法中，正确的个数是______．

（分数：2.21）

 A.3

 B.2

 C.1 √

 D.0

解析： 原式 ，因为a＞0、b＞0、c＜0， ， ，所以二次函数图象如图所示，因此②正确，①错误；该二次函数与x轴的交点有可能都在y轴左侧，也有可能一左一右，因此③错误．本题选C． 

9.已知 ，化简 的值为______． 

A． 

B． 

C． 

D． 

（分数：2.21）

 A. √

 B.

 C.

 D.

解析： ，因为，所以，故本题选A．

10.已知a，b，c分别为△ABC的三边之长，则化简的结果是______．

（分数：2.21）

 A.a+b-c

 B.a+b+c √

 C.a+c-b

 D.b+c-a

解析： 根据三角形的两边之和大于第三边可知，原式=(b+c-a)+(a+c-b)+(a+b-c)=a+b+C．

11.在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x 2 +x-2关于x轴进行轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴进行轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为______．

（分数：2.21）

 A.y=-x2-x+2

 B.y=-x2+x-2

 C.y=-x2-x-2

 D.y=-x2+x+2 √

解析： y=x 2 +x-2关于x轴对称，即原曲线上的点的y值均由-y替代，故解析式变换为-y=x 2 +x-2，即y=-x 2 -x+2；再将所得曲线进行关于y轴对称变换，即是用-x替代x，则可得y=-x 2 +x+2．本题也可从函数图象上判断对称变换后图象的改变．

12.下图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是______． 

（分数：2.21）

 A.120π

 B.36π

 C.96π √

 D.60π

解析： 由图可知，三视图对应的是底面半径r为6、高h为8的圆锥，所以母线长 ，则圆锥的侧面积S 侧 =πrl=π×6×10=60π，又S 底 =πr 2 -π×6 2 =36π，故S 全 =S 侧 +S 底 =96π

13.若实数x，y，z满足(x-z) 2 -4(x-y)(y-z)=0，则下列式子一定成立的是______．

（分数：2.21）

 A.x+z-2y=0 √

 B.y+z-2x=0

 C.x+y-2z=0

 D.x+y+z=0

解析： 因为(x-z) 2 -4(x-y)(y-z)=[(x-y)+(y-z)] 2 -4(x-y)(y-z)=(x-y) 2 +(y-z) 2 +2(x-y)(y-z)-4(x-y)(y-z)=[(x-y)-(y-z)] 2 =0，所以(x-y)-(y-z)=x+z-2y=0．

14.关于x的方程k 2 x 2 +(2k-1)x+1=0有实数根，则k的取值范围为______． 

A． 或k≠0 

B． 

C． 

D． 

（分数：2.21）

 A.

 B. √

 C.

 D.

解析： 因为方程有实数根，当k=0时，方程是一次方程，即-x+1=0，显然有实数根；当k≯0时，方程为二次方程，要想有实数根，则Δ=(2k-1) 2 -4k 2 =-4k+1≥0，即 ．因此选B．

15.正方形的面积为S 1 ，圆形的面积为S 2 ，如果正方形和圆形的周长相等，则S 1 与S 2 的大小关系是______．

（分数：2.21）

 A.S1＞S2

 B.S1＜S2 √

 C.S1=S2

 D.无法比较

解析： 依题意，正方形的周长为 ，圆的周长为 ．正方形与圆形的周长相等，即 ，化简得 ，所以S 1 ＜S 2 ．

16.对于每个非零自然数n，抛物线 与x轴交于A n 、B n 两点，以A n B n 表示两点间的距离，则A 1 B 1 +A 2 B 2 +…+A 2009 B 2009 的值为______． 

A． 

B． 

C． 

D． 

（分数：2.21）

 A.

 B.

 C.

 D. √

解析： 抛物线可化为，因此与x轴的交点为、两点，则，故

17.i是虚数单位，若集合S={-1，0，1}，则______． 

A．i 3 ∈S 

B．i∈S 

C．i 2 ∈S 

D． 

（分数：2.21）

 A.

 B.

 C. √

 D.

解析： ，故A项错误； ，故B项错误；i 2 =-1∈S，故C项正确； ，故D项错误．因此选C．

18.若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为______．

（分数：2.21）

 A.84 √

 B.36

 C.-84

 D.-36

解析： 依题意知2 n =512，则n=9， ，令18-3r=0，得r=6，所以展开式的常数项 ．

19.曲线 在点 处的切线的斜率为______． 

A． 

B． 

C． 

D． 

（分数：2.21）

 A.

 B. √

 C.

 D.

解析： ，所以曲线在点处的切线斜率为．

20.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离大于1，便称其为“安全飞行”，则这只小蜜蜂“安全飞行”的概率为______． 

A． 

B． 

C． 

D． 

（分数：2.21）

 A.

 B.

 C.

 D. √

解析： 依题意可知。小蜜蜂的“安全飞行”区域为棱长为1的正方体，因此“安全飞行”的概率为两个正方体的体积之比，即．

三、第二部分 主观题(总题数：0，分数：0.00)

四、填空题 (总题数：5，分数：19.80)

21.某班学生在植树节义务植树240棵，原计划每小时植树a棵，实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 1小时完成任务．(用含a的代数式表示) 

（分数：3.96）

解析：[解析] 原计划需用时植完，实际需用时，所以提前植完．

22.甲和乙玩一个游戏，三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3．将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和．如果和为奇数，则乙胜，和为偶数，则甲胜．该游戏对双方 1．(填“公平”或“不公平”) 

（分数：3.96）

解析：不公平 [解析] 依题意，列表如下： 

所以甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，因为 ，所以游戏不公平．

23.将全体正整数排成一个三角形数阵． 

按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为 1． 

（分数：3.96）

解析：[解析] 由排列的规律可知，第n-1行最后一个数是，所以第n行从左向右第3个数是．

24.在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在边AB、BC上移动，则线段AT长度的最大值和最小值之和为 1．(计算结果不取近似值) 

（分数：3.96）

解析： [解析] 如图，因为限定端点M、N分别在边AB、BC上移动，当点M与点A重合时，AT长度最大．因为△ATB为等腰直角三角形，所以AT max =6；当点N与点C重合时，AT长度最小，在Rt△NTD中，ND=AB=6，CT=CB=8，由勾股定理得， ，所以 ，故 

25.已知椭圆 上一点P到其左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足 (其中O为坐标原点)，则 

（分数：3.96）

解析：2[解析] 由题意可知，左焦点F的坐标为(-3，0)，左准线为，点M为PF的中点，设点P的坐标为(x，y)(-5≤x≤5)，所以有，即或(舍去)；又因为点P在椭圆上，将代入椭圆方程，得，所以点P的坐标为．根据中点坐标公式得，点M的坐标为，所以．

五、解答题(总题数：4，分数：36.00)

有20张卡片，每张上有一个大于0的自然数，且任意9张上写的自然数的和都不大于63，如果写有大于7的自然数的卡片称为“龙卡”．

(1).这20张卡片中“龙卡”最多有多少张?

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正确答案：()

解析：因为“龙卡”上的数最小为8，8×8=＞63不合题意， 

所以最多有7张“龙卡”；

(2).所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少?

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正确答案：()

解析：设7张“龙卡”上写的自然数之和为S，则再取两张小于8的卡片，组成9张． 

当所取的小于8的卡片取最小值时，7张“龙卡”的和才会最大． 

因为每张卡片上的数都是大于0的自然数， 

所以这两张卡片上的数都取1时，7张“龙卡”的和最大． 

又因为任意9张上写的自然数的和都不大于63， 

所以7张“龙卡”的和的最大值为63-2=61．

在平面直角坐标系中，已知A(-4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D．

(1).求过A，B，C三点的抛物线的解析式；

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正确答案：()

解析：设抛物线解析式为y=ax 2 +bx+c， 

依题意有 解得 ， ，c=2． 

所以过A，B，C三点的抛物线的解析式是 ．

(2).求点D的坐标． 

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正确答案：()

解析：以AB为直径的圆的圆心坐标为 ， 

所以 ， 

因为CD为⊙O′的切线， 

所以OC′⊥CD， 

所以∠O′CO+∠DCO=90°，∠CO′O+∠O′CO=90°， 

所以∠CO′O=∠DCO， 

所以△O′CO∽△CDO， 

所以 ，即 ， 

所以 ，所以点D坐标为 ．

在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．

(1).求证：AE与⊙O相切；

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正确答案：()

解析：连接OM，则OM=OB， 

所以∠OBM=∠OMB， 

因为BM平分∠ABC， 

所以∠OBM=∠MBC， 

所以∠OMB=∠MBC， 

所以OM∥BC， 

所以∠AMO=∠AEB． 

在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线， 

所以AE⊥BC， 

所以∠AEB=90°． 

所以∠AMO=90°， 

所以AE与⊙O相切．

(2).当BC=4，，求⊙O的半径．

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正确答案：()

解析：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线， 

所以 ，∠ABC=∠C， 

所以 ． 

在△ABE中，∠AEB=90°， 

所以 ． 

设⊙O的半径为r，则AO=6-r， 

因为OM∥BC， 

所以△AOM∽△ABE． 

所以 ，即 ， 

解得 ， 

所以⊙O的半径为 ．

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，a 2 =6，a 3 =11，且(5n-8)S n+1 -(5n+2)S n =An+B，n=1、2、3…，其中A，B为常数，（分数：9.99）

(1).证明：数列{a n }为等差数列；（分数：3.33）

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正确答案：()

解析：得(5n-8)S n+1 -(5n+2)S n =-20n-8①， 

所以(5n-3)S n+2 -(5n+7)S n+1 =-20n-28②． 

②-①得：(5n-3)S n+2 -(10n-1)S n+1 +(5n+2)S n =-20③， 

所以(5n+2)S n+3 -(10n+9)S n+2 +(5n+7)S n+1 =-20④． 

④-③得：(5n+2)S n+3 -(15n+6)S n+2 +(15n+6)S n+1 -(5n+2)Sn=0⑤． 

又因为a n+1 =S n+1 -S n ， 

所以由⑤有(5n+2)a n+3 -(10n+4)a n+2 +(5n+2)a n+1 =0． 

因为5n+2≠0， 

所以a n+3 -2a n+2 +a n+1 =0． 

所以a n+3 -a n+2 =a n+2 -a n+1 ，n≥1， 

又因为a 3 -a 2 =a 2 -a 1 =5， 

所以数列{a n }是首项为1，公差为5的等差数列．

(2).证明：不等式对任何正整数m、n都成立．（分数：3.33）

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正确答案：()

解析：知，a n =1+5(n-1)=5n-4， 

要证 ， 

只需证 ． 

因为a m a n =(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16，a mn =5mn-4， 

所以只需证 ， 

即只需证 ． 

因为 ． 

又因为m、n为正整数，所以15m+15n-29≥1，所以 ， 

所以不等式 对任意的正整数m，n都成立．

(3).求A与B的值；（分数：3.33）

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正确答案：()

解析：解：依题意有S 1 =a 1 =1，S 2 =a 1 +a 2 =7，S 3 =a 1 +a 2 +a 3 =18． 

因为(5n-8)S n+1 -(5n+2)S n =An+B， 

所以 ．即 

所以A=-20，B=-8．