高中数学高考题详解-基本不等式

一、选择题

1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3）的最大值为 (   )

A.         B.          C.         D. 

【解题指南】直接利用基本不等式求解.

【解析】选B. 当或时, ，当时, ,当且仅当即时取等号.

2. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时，的最大值为（   ）                 

 A.0        B.1          C.       D.3 

【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y来表示z，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入，进而再利用基本不等式求出的最值.

【解析】选B. 由，得.

所以，当且仅当，即时取等号此时， . .

3. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（  ）

A.0    B.     C.2     D.

【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y来表示z，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入，进而再利用基本不等式求出的最值.

【解析】 选C. 由，得.

所以，当且仅当，

即时取等号此时，

所以，

当且仅当y=2-y时取等号.

4.(2013·福建高考文科·T7)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是　(　　)

A．          B．            C．          D．

【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式.

【解析】选D. ≤2x+2y=1,所以2x+y≤,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2.

二、填空题

5. （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数在时取得最小值，则____________。

【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将代入即可.

【解析】由题，根据基本不等式，当且仅当时取等号，而由题知当时取得最小值，即.

【答案】36

6.（2013·天津高考文科·Ｔ14）设a + b = 2, b>0, 则的最小值为       . 

【解题指南】将中的1由a + b代换，再由均值不等式求解.

【解析】因为a + b = 2, b>0，所以

，当且仅当时等号成立，此时，或，

若，则，若，则所以的最小值为

【答案】

7. （2013·天津高考理科·Ｔ14）设a + b = 2, b>0, 则当a =       时, 取得最小值. 

【解题指南】将中的1由a + b代换，再由均值不等式求解.

【解析】因为a + b = 2, b>0，所以

，当且仅当时等号成立，此时，或，

若，则，若，则所以取最小值时，.

【答案】-2

8.（2013·上海高考文科·T13）设常数a＞0.若对一切正实数x成立，则a的取值范围为       .

【解析】 考查均值不等式的应用，

【答案】 

9. （2013·陕西高考文科·Ｔ14）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为        (m).

【解题指南】设出矩形的高y，由题目已知列出x，y的关系式，整理后利用均值不等式解决应用问题.

【解析】设矩形高为y, 由三角形相似得: 

.

【答案】20.

2014年全国高考理科数学试题：不等式选讲

一、填空题

 1．（2014年广州数学（理）试题）不等式的解集为              。

 2．（2014年高考陕西卷（理））(不等式选做题)设，且，则的最小值为___________________

 3．（2014年高考江西卷（理））对任意,的最小值为（ ）

      A.               B.               C.               D.

 4．（2014年高考安徽卷（理）若函数的最小值3，则实数的值为（    ）

              A.5或8    B.或5    C. 或    D.或

5.（2014年高考湖南卷（理）若关于x的不等式的解集为，则a=_________________        

6.（2014年高考重庆卷（理）设函数f(x)＝｜x－1｜，则不等式的解集为_________________.

二、解答题

 1．（2014年高考新课标2（理））（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲

设函数=

（Ⅰ）证明：2；

（Ⅱ）若，求的取值范围.

2. （2014年辽宁数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲

设函数，记的解集为M，的解集为N. （1）求M； （2）当时，证明：

3 ．（2014年福建数学（理）试题（纯WORD版））选修 4 -5:不等式选讲

已知定义在 R 上的函数 的最小值为 a.

(Ⅰ) 求 a 的值;

(Ⅱ) 若 p, q, r 是正实数, 且满足 p+q+r = a, 求证:.

 4．（2014年高考新课标1（理））（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

若，且.

(Ⅰ) 求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.

二．只涉及两个绝对值，不再有其它项时，用平方法去绝对值

1.（2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是______.

2.【2012高考真题湖南理10】不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.

三．涉及两个且另有一常数时，用分段讨论法去绝对值

1.【2012高考真题广东理9】不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____．

2. (2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为

（A）[-5.7]                          （B）[-4,6]   

（C）               （D）

3.【2012高考真题江西理16】（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。

4. (2011年高考天津卷理科13)

已知集合，则集合=________.

5【2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修：不等式选讲

    已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求的取值范围.

6．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.

（I）证明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.

四：利用数轴法求解

1.【2012高考真题陕西理15】A.（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是           .

2.若不等式对所有的都恒成立，则的取值范围是              

3．（2009辽宁选作24）

    设函数

   （I）若；

   （II）如果的取值范围。

五．涉及绝对值不等式的恒成立问题，方法：分段去绝对值

1．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数。

（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

2．(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是            

3.【2012高考真题辽宁理24】(本小题满分10分)选修45：不等式选讲

  已知，不等式的解集为。

   (Ⅰ)求a的值；

   (Ⅱ)若恒成立，求k的取值范围。

六：性质：，运用

1. (2010年高考福建卷理科)对于实数x，y，若，，则的最大值为            .

2.【2012高考江苏24】[选修4 - 5：不等式选讲] （10分）已知实数x，y满足：求证：．

2. 比较法解不等式

1．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

设不等式的解集为M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．

2．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

设a、b是非负实数，求证：。

3.均值不等式及其推广的运用

1.【2012高考真题福建理23】（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若a，b，c∈R，且

3．（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。