北师大版九年级上册数学全册综合测试试题

一．选择题（每题4分共48分）

1．方程x（x﹣1）＝0的根是（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1

2．如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

3．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（　　）

A．30° B．25° C．20° D．15°

4．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（　　）

A．可能有5次正面朝上 B．必有5次正面朝上

C．掷2次必有1次正面朝上 D．不可能10次正面朝上

5．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．点A（a，﹣1），在双曲线y＝上，则a的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3

7．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（　　）

A．4：9 B．2：3 C．： D．16：81

8．如图，某大楼DE的顶部竖有一块广告牌CD，小林在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i＝1：2.4，AB＝26米，AE＝30米．则广告牌CD的高度约为（　　）（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

A．35 B．30 C．24 D．20

9．某时刻，测得身高1.8米的人在阳光下的影长是1.5米，同一时刻，测得某旗杆的影长为12米，则该旗杆的高度是（　　）

A．10米 B．12米 C．14.4米 D．15米

10．下列说法中，错误的是（　　）

A．平行四边形的对角线互相平分

B．菱形的对角线互相垂直平分

C．矩形的对角线互相垂直

D．正方形的对角线相等

11．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．

12．若反比例函数y＝（a＞1，x＜0）图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），设m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则y＝mx﹣m不经过第（　　）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

二．填空题（每题4分共24分）

13．如果，那么＝　   　．

14．如图，矩形的对角线AC和BD相交于O，∠BOC＝120°，AB＝3，则BD的长是　   　

15．如果方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　   　．

16．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中有　   　个红球．

17．如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于C，与y轴交于D，以CD为边作矩形CDAB，点A在x轴上，双曲线y＝（k＜0）经过点B与直线CD交于E，EM⊥x轴于M，则S四边形BEMC＝　   　．

18．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：

①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；

②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；

③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；

④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．

以上结论正确的有　   　（把所有正确结论的序号都填上）．

三．解答题（共78分）

19．（6分）计算：cos245°﹣4sin30°tan45°

20．（6分）解方程：x2﹣4＝3（x﹣2）

21．（6分）如图，在菱形ABCD中，CE＝CF，求证：AE＝AF．

22．（8分）如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点分别为T（1，1），A（2，3），B（4，2）．

（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）3：1的位似中心的同侧将TAB放大为△TA′B′，放大后点A，B的对应点分别为A′，B′，画出△TA′B′，并写出点A′，B′的坐标；

（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．

23．（8分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

24．（10分）A，B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．

（1）从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是　   　；

（2）从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率．

25．（10分）如图，在长为50米，宽为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392平方米．

（1）求道路宽多少米；

（2）现需要A、B两种类型的步道砖，A种类型的步道砖每平方米原价300元，现打八折出售，B种类型的步道板每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，（不考虑步道砖损失的情况下）最多选A种类型步道砖多少平方米？

26．（12分）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．

（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；

（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；

（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．

27．（12分）问题提出

（1）如图①，Rt△ABC中AB＝3，平面内有一点D且AD＝1，则点D到BC的距离DE的最小值为　   　；

问题探究

（2）如图②，矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，点E在边AB上且BE＝1，点F是边BC上的点，将△EFB沿EF所在直线折叠到△EFO处，连接AO、CO，四边形AOCD的面积是否存在最小值，若存在，求出并说明理由．

（3）如图③，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝6，点E、F分别在边BC、CD上，且线段EF＝2，点G是EF中点，连接BG交CD于点H，过G做CD的平行线交BD于点I，连接HI，则△BHI的面积是否存在最小值，若存在，求出并说明理由．

参与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．方程x（x﹣1）＝0的根是（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1

【分析】由题意推出x＝0，或（x﹣1）＝0，解方程即可求出x的值．

【解答】解：∵x（x﹣1）＝0，

∴x1＝0，x2＝1，

故选：C．

【点评】本题主要考查解一元二次方程，关键在于根据题意推出x＝0，或（x﹣1）＝0即可．

2．如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线．

【解答】解：图中几何体的左视图如图所示：

故选：D．

【点评】本题主要考查的是几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．

3．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（　　）

A．30° B．25° C．20° D．15°

【分析】直接利用菱形的性质得出DC∥AB，∠DAC＝∠1，进而结合平行四边形的性质得出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴DC∥AB，∠DAC＝∠1，

∵∠D＝130°，

∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，

∴∠1＝∠DAB＝25°．

故选：B．

【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确得出∠DAB的度数是解题关键．

4．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（　　）

A．可能有5次正面朝上 B．必有5次正面朝上

C．掷2次必有1次正面朝上 D．不可能10次正面朝上

【分析】根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案．

【解答】解：A、是随机事件，故A正确；

B、不是必然事件，故B错误；

C、不是必然事件，故C错误；

D、是随机事件，故D错误；

故选：A．

【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算．

【解答】解：∵AD∥BE∥CF，

∴＝，

∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，

∴EF＝＝4，

故选：C．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

6．点A（a，﹣1），在双曲线y＝上，则a的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3

【分析】把点A（a，﹣1）代入y＝即可得到结论．

【解答】解：把点A（a，﹣1）代入y＝得，﹣a＝3，

∴a＝﹣3，

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图形上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

7．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（　　）

A．4：9 B．2：3 C．： D．16：81

【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．

【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，

∴两个相似多边形周长的比等于2：3，

∴这两个相似多边形周长的比是2：3．

故选：B．

【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

8．如图，某大楼DE的顶部竖有一块广告牌CD，小林在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i＝1：2.4，AB＝26米，AE＝30米．则广告牌CD的高度约为（　　）（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

A．35 B．30 C．24 D．20

【分析】过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，由坡度的定义求出BH＝10，AH＝24，求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，则CG＝BG＝54，再求出DE的长，即可得出答案．

【解答】解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，如图：

则BG＝AH+AE，GE＝BH，

在Rt△ABF中，i＝tan∠BAH＝1：2.4＝，

∴AH＝2.4BH，

∴AB＝＝2.6BH＝26，

∴BH＝10，AH＝24，

∴BG＝AH+AE＝24+30＝54，

在Rt△BGC中，∠CBG＝45°，

∴CG＝BG＝54．

在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，

∴∠ADE＝90°＝53°＝37°，

∵tan∠ADE＝＝tan37°≈0.75，

∴DE＝AE＝40．

∴CD＝CG+GE﹣DE＝54+10﹣40＝24（米）；

即广告牌CD的高度约为24米；

故选：C．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．

9．某时刻，测得身高1.8米的人在阳光下的影长是1.5米，同一时刻，测得某旗杆的影长为12米，则该旗杆的高度是（　　）

A．10米 B．12米 C．14.4米 D．15米

【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．

【解答】解：∵同一时刻物高与影长成正比例．

∴1.8：1.5＝旗杆的高度：12

∴旗杆的高度为14.4米

故选：C．

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．

10．下列说法中，错误的是（　　）

A．平行四边形的对角线互相平分

B．菱形的对角线互相垂直平分

C．矩形的对角线互相垂直

D．正方形的对角线相等

【分析】利用正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质依次判断可求解．

【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，故选项A不符合题意；

B、菱形的对角线互相垂直平分，故选项B不符合题意；

C、矩形的对角线相等且互相平分，故选项C符合题意；

D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，掌握这些性质是本题的关键．

11．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．

【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，

∴AC＝＝＝5．

∴sin∠BAC＝＝．

故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．

12．若反比例函数y＝（a＞1，x＜0）图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），设m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则y＝mx﹣m不经过第（　　）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

【分析】利用反比例函数的性质判断出m的正负，再根据一次函数的性质即可判断．

【解答】解：∵y＝（a＞1，x＜0），

∴a﹣1＞0，

∴y＝（a＞1，x＜0）图象在三象限，且y随x的增大而减小，

∵图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），x1与y1同负，x2与y2同负，

∴m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，

∴y＝mx﹣m的图象经过一，二、四象限，不经过三象限，

故选：C．

【点评】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

二．填空题（共7小题）

13．如果，那么＝　　．

【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．

【解答】解：∵＝，

∴a＝b，

∴＝＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．

14．如图，矩形的对角线AC和BD相交于O，∠BOC＝120°，AB＝3，则BD的长是　6　

【分析】根据矩形的性质，因为矩形的对角线相等且互相平分，则△AOB是等腰三角形．

【解答】解：∵∠BOC＝120°，

∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO＝BO＝OD，

∴△AOB是等边三角形，

∴AO＝OB＝AB＝3，

∴BD＝2OB＝6．

故答案为：6

【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．

15．如果方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　　．

【分析】由方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，即可得根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，即可得方程9﹣4m＝0，解此方程即可求得答案．

【解答】解：∵方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＝0，

解得：m＝．

故答案为：．

【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．

16．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中有　6　个红球．

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．

【解答】解：设袋中有x个红球．

由题意可得：＝20%，

解得：x＝6，

故答案为：6．

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．

17．如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于C，与y轴交于D，以CD为边作矩形CDAB，点A在x轴上，双曲线y＝（k＜0）经过点B与直线CD交于E，EM⊥x轴于M，则S四边形BEMC＝　　．

【分析】欲求S四BEMC，可将化为求S△BEC和S△EMC，根据题意，两三角形均为直角三角形，故只需求出B到CD的距离和E、C两点的坐标即可．

【解答】解：根据题意，直线y＝﹣x+2与x轴交于C，与y轴交于D，

分别令x＝0，y＝0，

得y＝2，x＝4，

即D（0，2），C（4，0），

即DC＝2，

又AD⊥DC且过点D，

所以直线AD所在函数解析式为：y＝2x+2，

令y＝0，得x＝﹣1，

即A（﹣1，0），

同理可得B点的坐标为B（3，﹣2）

又B为双曲线（k＜0）上，

代入得k＝﹣6．

即双曲线的解析式为

与直线DC联立，

，

得和

根据题意，不合题意，

故点E的坐标为（6，﹣1）．

所以BC＝，CE＝，

CM＝2，EM＝1，

所以S△BEC＝×BC×EC＝，

S△EMC＝×EM×CM＝1，

故S四边形BEMC＝S△BEC+S△EMC＝．

故答案为：．

【点评】本题综合考查了直线方程和双曲线方程的解答，以及对四边形面积的求解．

18．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：

①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；

②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；

③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；

④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．

以上结论正确的有　①②④　（把所有正确结论的序号都填上）．

【分析】①正确．证明∠ADM＝30°，即可得出结论．

②正确．证明△DHM是等腰直角三角形即可．

③错误．首先证明四边形CEMD是平行四边形，再证明，DM＞CD即可判断．

④正确．证明∠AHM＜∠BAC＝45°，即可判断．

【解答】解：如图，连接DH，HM．

由题可得，AM＝BE，

∴AB＝EM＝AD，

∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，

∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，

∴EH＝AH，

∴△MEH≌△DAH（SAS），

∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，

∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，

∴DM＝HM，故②正确；

当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，

∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，

∴Rt△ADM中，DM＝2AM，

即DM＝2BE，故①正确；

∵CD∥EM，EC∥DM，

∴四边形CEMD是平行四边形，

∵DM＞AD，AD＝CD，

∴DM＞CD，

∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，

∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，

∴∠AHM＜∠BAC＝45°，

∴∠CHM＞135°，故④正确；

由上可得正确结论的序号为①②④．

故答案为①②④．

【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

四．解答题（共9小题）

19．计算：cos245°﹣4sin30°tan45°=

20．解方程：x2﹣4＝3（x﹣2） 

21．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF，求证：AE＝AF．

【分析】由四边形ABCD为菱形，可得AD＝AB＝CD＝CB，∠B＝∠D．又因为CE＝CF，所以CD﹣CE＝CB﹣CF，即DE＝BF．可证△ADE≌△ABF，所以AE＝AF．

【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴AD＝AB＝CD＝CB，∠B＝∠D．

又∵CE＝CF，

∴CD﹣CE＝CB﹣CF，

即DE＝BF．

在△ADE和△ABF中

∴△ADE≌△ABF（SAS）．

∴AE＝AF．

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．

22．如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点分别为T（1，1），A（2，3），B（4，2）．

（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）3：1的位似中心的同侧将TAB放大为△TA′B′，放大后点A，B的对应点分别为A′，B′，画出△TA′B′，并写出点A′，B′的坐标；

（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．

【分析】（1）根据题目的叙述，正确地作出图形，然后确定各点的坐标即可．

（2）根据（1）中变换的规律，即可写出变化后点C的对应点C′的坐标．

【解答】解：（1）所画图形如下所示：

点A′，B′的坐标分别为：A′（4，7），B′（10，4）；

（2）变化后点C的对应点C′的坐标为：C′（3a﹣2，3b﹣2）或填

C′（3（a﹣1）+1，3（b﹣1）+1）．

【点评】本题考查位似变换作图的问题，正确理解位似变换的定义，会进行位似变换的作图是解题的关键．

23．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

【分析】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走的距离为AC+BC的长，利用角的正弦值和余弦值即可算出．

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地要走的距离为AB的长，汽车从A地到B地比原来少走的路程为AC+BC﹣AB的长，利用角的余弦值和正切值即可算出．

【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，

∴CD＝BC•sin30°＝80×＝40（千米），AC＝＝＝40（千米），

∴AC+BC＝80+40≈1.41×40+80＝136.4（千米）．

∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．

（2）∵cos30°＝，BC＝80千米，

∴BD＝BC•cos30°＝80×＝40（千米），

∵tan45°＝，CD＝40（千米），

∴AD＝＝＝40（千米），

∴AB＝AD+BD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米）．

∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：

AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．

∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．

【点评】本题主要考查了三角函数在解直角三角形中的应用，明确三角函数的定义式及其变形是解题的关键．

24．A，B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．

（1）从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是　　；

（2）从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率．

【分析】（1）由概率公式即可得出结果；

（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的情况，再由概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率为；

故答案为：；

（2）画树状图得：

共有9种等可能的结果，抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的有3种情况，

∴两次抽取的卡片上数字之和大于7的概率为＝．

【点评】本题考查了列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

25．如图，在长为50米，宽为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392平方米．

（1）求道路宽多少米；

（2）现需要A、B两种类型的步道砖，A种类型的步道砖每平方米原价300元，现打八折出售，B种类型的步道板每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，（不考虑步道砖损失的情况下）最多选A种类型步道砖多少平方米？

【分析】（1）设道路宽x米，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．

（2）设选A种类型步道砖y平方米，根据铺路费用不高于23600元，列出不等式求解即可．

【解答】解：（1）设道路宽x米，根据题意得：

（50﹣2x）（30﹣x）＝1392，

整理得：x2﹣55x+54＝0，

解得：x＝1或x＝54（不合题意，舍去），

故道路宽1米．

（2）设选A种类型步道砖y平方米，根据题意得：

300×0.8y+200×[50×1+（30﹣1）×1×2﹣y]≤23600，

解得：y≤50．

故最多选A种类型步道砖50平方米．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．

26．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．

（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；

（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；

（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；

（2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出S△ACP＝×3×|n+1|，S△BDP＝×1×|3﹣n|，进而建立方程求解即可得出结论；

（3）设出点M坐标，表示出MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，

∴﹣a+2＝3，﹣3+2＝b，

∴a＝﹣1，b＝﹣1，

∴A（﹣1，3），B（3，﹣1），

∵点A（﹣1，3）在反比例函数y＝上，

∴k＝﹣1×3＝﹣3，

∴反比例函数解析式为y＝﹣；

（2）设点P（n，﹣n+2），

∵A（﹣1，3），

∴C（﹣1，0），

∵B（3，﹣1），

∴D（3，0），

∴S△ACP＝AC×|xP﹣xA|＝×3×|n+1|，S△BDP＝BD×|xB﹣xP|＝×1×|3﹣n|，

∵S△ACP＝S△BDP，

∴×3×|n+1|＝×1×|3﹣n|，

∴n＝0或n＝﹣3，

∴P（0，2）或（﹣3，5）；

（3）设M（m，0）（m＞0），

∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），

∴MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝（3+1）2+（﹣1﹣3）2＝32，

∵△MAB是等腰三角形，

∴①当MA＝MB时，

∴（m+1）2+9＝（m﹣3）2+1，

∴m＝0，（舍）

②当MA＝AB时，

∴（m+1）2+9＝32，

∴m＝﹣1+或m＝﹣1﹣（舍），

∴M（﹣1+，0）

③当MB＝AB时，（m﹣3）2+1＝32，

∴m＝3+或m＝3﹣（舍），

∴M（3+，0）

即：满足条件的M（﹣1+，0）或（3+，0）．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．

27．问题提出

（1）如图①，Rt△ABC中AB＝3，平面内有一点D且AD＝1，则点D到BC的距离DE的最小值为　2　；

问题探究

（2）如图②，矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，点E在边AB上且BE＝1，点F是边BC上的点，将△EFB沿EF所在直线折叠到△EFO处，连接AO、CO，四边形AOCD的面积是否存在最小值，若存在，求出并说明理由．

（3）如图③，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝6，点E、F分别在边BC、CD上，且线段EF＝2，点G是EF中点，连接BG交CD于点H，过G做CD的平行线交BD于点I，连接HI，则△BHI的面积是否存在最小值，若存在，求出并说明理由．

【分析】（1）如图①中，根据垂线段最短，构建不等式解决问题即可．

（2）存在．如图②中，连接AC，过点E作EH⊥AC于H，过点O作OJ⊥AC于J．求出OJ的最小值即可解决问题．

（3）存在．如图③中，连接CG，过点G作GJ⊥BD于J，根点C作CK⊥BD于K．由题意S△BIH＝•GI•AD＝GI，推出GI的值最小时，△BIH的面积最小，根据垂线段最短，构建不等式求出GJ的最小值即可解决问题．

【解答】解：（1）如图①中，

∵DE⊥BC，AB⊥BC，

∴AD+DE≥AB，

∴1+DE≥3，

∴DE≥2，

∴DE的最小值为2．

故答案为2．

（2）存在．

理由：如图②中，连接AC，过点E作EH⊥AC于H，过点O作OJ⊥AC于J．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∵AB＝3，BC＝4，

∴AC＝＝＝5，

∵BE＝1，

∴AE＝AB﹣BE＝2，

∵sin∠BAC＝＝，

∴＝，

∴EH＝，

∵OJ⊥AC，EH⊥AC，

∴EO+OJ≥EH，

∴1+OJ≥，

∴OJ≥，

∴OJ的最小值为，

∴△AOC的面积的最小值为×5×＝，

∴四边形ADCO的面积的最小值为+×3×4＝．

（3）存在．

理由：如图③中，连接CG，过点G作GJ⊥BD于J，根点C作CK⊥BD于K．

∵GI∥CD，AB∥CD，

∴GI∥AB，

∴S△BIH＝•GI•AD＝GI，

∴GI的值最小时，△BIH的面积最小，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∴tan∠ABD＝＝，

∴∠ABD＝30°，BD＝2AD＝4，

∵CK⊥BD，

∴S△BCD＝•CD•CB＝•BD•CK，

∴CK＝3，

∵GI∥AB，

∴∠GIJ＝∠ABD＝30°，

∵∠GJI＝90°，

∴GJ＝GI，

∵GJ⊥BD，CK⊥BD，

∴CG+GJ≥CK，

∵∠ECF＝90°，EF＝2，FG＝EG，

∴CG＝EF＝1，

∴1+GJ≥3，

∴GJ≥2，

∴GJ的最小值为2，

∴IG的最小值为4，

∴△BHI的面积的最小值为4．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，垂线段最短，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短，解决最值问题，属于中考压轴题．