高考真题——三角函数与解三角形真题(加答案)

三角函数

一、三角恒等变换（ 3 题）

1.（2015 年1 卷2）o o o o

sin20cos10cos160sin10=（）

（A）

3

2

（B）

3

2

（C）

1

2

（D）

1

2

【解析】原式= o o o o

sin20cos10cos20sin10=

o

sin30=

1

2

，故选 D.

考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.

2.（2016 年3 卷）（5）若tan 3

4

，则2

cos2sin2（）

(A)

25

(B)

48

25

(C) 1 (D)

16

25

【解析】由tan 3

4

，得

34

sin,cos

55

或

34

sin,cos

55

，所以

21612

cos2sin24

252525

，故选A．

考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．

3.（2016 年2 卷9）若cos π3

45

，则sin2=

（A）7

25

（B）

1

5

（C）

1

5

（D）

7

25

【解析】∵cos

3

45

，

ππ7

2

sin2cos22cos1

2425

，故选D．

二、三角函数性质（ 5 题）

4.（2017年3卷6）设函数

π

f(x)cos(x)，则下列结论错误的是（）

3

A．f(x)的一个周期为2πB．y f(x)的图像关于直线

8π

x对称

3

C．f(x)的一个零点为

π

x D．f(x)在

6

π

(,π)

2

单调递减

【解析】函数π

f x cos x的图象可由y cos x向左平移

3π

个单位得到，3

如图可知，f x在π

,π

2

上先递减后递增，D选项错误，故选 D.y

O x

-

6

5（. 2017 年2 卷14）函数23

f x sin x3cos x（x0,）的最大值是．

42

【解析】2321

f x1cos x3cos x cos x3cos x

44 2

3

cos1

x，x0,，则cos x0,1，当22cos

3

x时，取得最大值 1.

2

6．（2015 年1 卷8）函数f(x)= cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）

（A）(1,3),

k k k Z

44

（B）

13

(2k,2k),k Z

44

（C）

13

(k,k),k Z 44

（D）

13

(2k,2k),k Z

44

【解析】由五点作图知，1

+

42

53

+

42

，解得=，=

4

，所以f(x)cos(x)，

4

令22,

k x k k Z，解得

4

1

2k＜x＜

4

3

2k k Z

4

（

1

2k，

4

3

2k），k Z，故选D. 考点：三角函数图像与性质

45.（2015 年2 卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2 ，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P 到A、B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则f（x）的图像大致为

的运动过程可以看出，轨迹关于直线B．x对称，且f()f()，且轨迹非线型，故选242

6.（2016 年1 卷12）已知函数f(x)sin(x+)(0，),x为f(x)的零

24

点, x为y f(x)图像的对称轴,且f(x)在4

5

，单调,则的最大值为1836

（A）11 （B）9 （C）7 （D）5 考点：三角函数的性质三、三角函数图像变换（ 3 题）

7.（2016 年2 卷7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移

π

个单位长度，则平移后图象的对12

称轴为

（A）

k

ππ

x k Z （B）

26

k

ππ

x k Z

26

（C）

k

ππ

x k Z （D）

212

k

ππ

x k

212

Z

【解析】平移后图像表达式为

π

y2sin2x，令

12

ππ

2x kπ+，得对称轴方程：

122

k

ππ

x k Z ，故选B．

26

8.（2016 年 3 卷14）函数y sin x3cos x错误！未找到引用源。的图像可由函数y sin x3cos x

错误！未找到引用源。的图像至少向右平移_____________ 个单位长度得到．

考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．

9.（2017 年1 卷9）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2π

)，则下面结论正确的是3

A．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线C2

B．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π12

个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π

6

个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12个单位长度，得到曲线C2

【解析】：熟悉两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一致。

先变周期：

2

y cosx sin x y sin2x y sin2x sin2x

223122先变相位：

2 2

y cos x sin x y sin x sin x y sin2x

22633

选D。【考点】：三角函数的变换。

解三角形（8 题，3 小5 大）

一、解三角形（知一求一、知二求最值、知三可解）

1（.2016 年2 卷13）△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若

4

cos A，cos

5

5

C，

13

a1，则b．

【解析】∵

cos

4

A，

5

5

cosC，

13

sin

3

A，

5

sin

12

C，

13

63

sin B sin A C sin A cosC cos A sinC，由正弦定理得：

65

b a

sin B sin A

解得

21

b．

13

10.（2017 年2 卷17）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

B 2

sin A C8sin．

2

(1)求cos B;

(2)若a c6，△ABC的面积为2，求b.

解析（1）依题得2B1cos B

sin B8sin84(1cos B)．

22

因为22

sin B cos B1，所以

22

16(1cos B)cos B1，所以(17cos B15)(cos B1)0，得

cos B1（舍去）或

15 cosB.

17

（2）由⑴可知sin

8

B，因为S ABC2

△，所以

17

1

2

ac sin B2，即

18

ac2，得

217

17

ac.

2

因为

15

cos

B，所以

17

22215

a c b

2ac17

，即22215

a c b，从而

22

(a c)2ac b15，

即2

3617b15，解得b2．

11.（2016 年 1 卷 17）

ABC 的内角 A,B ,C 的对边分别为a , b ,c,已知

2cos C( acos B+b cos A) c.

（I ）求 C ；

3 3 （II ）若 c 7, ABC 的面积为

2

,求 ABC 的周长． 【解析】 (1)2cosC(acosB+bcosA)=c, 由正弦定理得 :2cosC(sinA · cosB+sinB · cosA)=sinC,

2cosC ·sin(A+B)=sinC. 因为A +B+C=π ,A,B,C ∈ (0, π所),以 sin(A+B)=sinC>0,

所以 2cosC=1,cosC= 1 2

.因为C ∈ (0, π所),以 C= π .

3

(2) 由余弦定理得 :c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC,7=a 2+b 2-2ab ·1

2=a 2+b 2-2ab ·cosC,7=a 2+b 2-2ab ·1

2

,(a+b)

2-3ab=7, S= 1 2

ab ·sinC= 3 4 ab= 3 3 2 ,所以 ab=6, 所以 (a+b) 2-18=7,a+b=5, 所以△ ABC 的周长为a +b+c=5+ 7 .

12. （2017 年 1 卷 17）△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 △ ABC 的

2

a 面积为

3sin

A .

（1）求 sinBsinC 的值； （2）若 6cosB c osC

1， a 3，求 △ ABC 的周长 .

解析 （1）因为△ ABC 的面积S

2

a 3sinA 且

1

S bc sin A ，所以 2

2 1 a

bcsin A

，即

3sin A 2

2

3 2 a bc sin A .由正弦定理得 2 2 sin Bsin C . 3

2

3 2 sin A sin B sin C sin A ，由 sin A 0 ，得

2 （2）由（ 1）得 2 sin B sin C ，又 3

1 cos Bcos C ，因为A B C π，

6

所以

1 cos cos π cos sin sinC cos cos

A B C B C B B C .

2

又因为A 0，π ，所以 A 60 ， sin 3 A ， cos A .

1

2

2

由余弦定理得 a 2

b 2

c 2 bc 9

①

a 由正弦定理得

b sin B sin A a

， c sin C sin A

，所以 2

a bc 2

sinB sin C 8

sin A

②

由①，②，得 b c

33 ，所以 a b c 3 33 ，即 △ABC 周长为3

33 .

【解析1】如图所示，延长BA，CD 交于E，平移AD ，当 A 与D 重合与 E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，

BC=2，由正弦定理可得

BC BE

sin E sin C

，即

2BE

o o

sin30sin75

，

解得BE= 6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此

时与AB 交于F，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，

由正弦定理知，

BF BC

sin FCB sin BFC ，即

BF2

o o

sin30sin75

，

解得BF= 62，所以AB 的取值范围为（62，6+2）. 考点：正余弦定理；数形结合思想

二、分割两个三角形的解三角形问题

14.（2016 年3 卷8）在△ABC 中，

π

B=，BC边上的高等于

4

1

3

BC,则cosA=（）

（A）

310

10（B）

10

10

（C）

10

-（D）

10

-

310

10

【解析】设BC边上的高线为AD，则BC3AD，所以AC AD2DC25AD

，AB2AD．由余弦定理，知

cos A22222529210

AB AC BC AD AD AD

2AB AC22AD5AD10

，故选C．考点：余弦定理．

7（. 2017 年3 卷17）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin A3cosA0，a27，b2．

（1）求c；

（2）设D为B C边上一点，且AD AC，求△ABD的面积．

解析（1）由sin A3cos A0，得

π

2sin A0，即

3

π

A k k Z ，

π

3

又A0,π，所以

π

Aπ，得

3

2π

A.由余弦定理得

3

222

a b c2bc cos A.

又因为

1

a27,b2,cos A代入并整理得

2

2

c125，解得c4.

（2）因为AC2,BC27,AB4，由余弦定理得cosC

222

a b c

27

.2ab7

因为 AC AD ，即 △ACD 为直角三角形，则A C CD cosC ，得 CD 7 .

从而点 D 为 BC 的中点， 1 1 1

S

S AB

AC sin A

3

△ . ABD

ABC

2

2 2

15.（2015 年 2 卷 17）?ABC 中，D 是 BC 上的点， AD 平分∠ BAC ，?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ)求

s in sin B

C

(Ⅱ) 若

2

AD

1，DC

，求 BD 和 AC 的长

2

【解析】 (1)S

△ABD

= 1 2

错误！未找到引用源。

AB · ADsin ∠BAD,S △ADC =

1 2

错误！未找到引用 源。AC · ADsin ∠CAD, 因为 S

△ ABD

=2S △ ADC ,∠BAD= ∠CAD, 所以 AB=2AC. 由正弦定理可得 错

误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。 .

△ABD

∶ S

(2)因为 S △ ADC

=BD ∶ DC,所以 BD= 错误！未找到引用源。 .在△ ABD 和△ ADC 中,由

余弦定理知 ,

AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ∠ADB,AC 2=AD 2+DC 2

-2AD ·DCcos ∠ADC,

2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6.由(1)知

AB=2AC, 所以 AC=1.

故 AB