一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1.复数z=的辐角为（ ）
A.arctan B.-arctan C. D.
2.方程Rez2=1所表示的平面曲线为（ ）
A.圆 B.直线 C.椭圆 D.双曲线
3.复数z=的三角表示式为（ ）
A. B.
C. D.
4.设z=cosi，则（ ）
A.Imz=0 B.Rez= C.|z|=0 D.argz=
5.复数e3+i所对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.设w=Ln(1-i)，则Imw等于（ ）
A. B. C. D.
7.函数w=z2把Z平面上的扇形区域：0 A. B. C. D. 9.设C为正向圆周|z+1|=2，n为正整数，则积分等于（ ） A.1 B. C.0 D. 10.设C为正向圆周|z|=1，则积分等于（ ） A.0 B. C. D. 11.设函数，则f(z)等于（ ） A.zez+ez+1 B.zez+ez-1 C.-zez+ez-1 D.zez-ez+1 12.设积分路线C是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则等于（ ） A. B. C. D. 13.幂级数的收敛区域为（ ） A.0<|z|<+ B.|z|<+ C.0<|z|<1 D.|z|<1 14.z=是函数f(z)=的（ ） A.一阶极点 B.可去奇点 C.一阶零点 D.本性奇点 15.z=-1是函数的（ ） A.3阶极点 B.4阶极点 C.5阶极点 D.6阶极点 16.幂级数的收敛半径为（ ） A.0 B.1 C.2 D. 17.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)=，则Res[f(z),0]等于（ ） A.Q(0) B.-Q(0) C. D. 18.下列积分中，积分值不为零的是（ ） A.，其中C为正向圆周|z-1|=2 B.，其中C为正向圆周|z|=5 C.，其中C为正向圆周|z|=1 D.，其中C为正向圆周|z|=2 19.映射w=z2+2z在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ） A.|z+1|> B.|z+1|< C.|z|> D.|z|< 20.下列映射中，把角形域0 21.复数z=4+i的模|z|= . 22.设z=(1+i)100，则Imz= . 23.设z=e2+i，则argz= . 24.f(z)=的可导处为 . 25.方程lnz=的解为 . 26.设C为正向圆周|z|=1，则 . 27.设C为正向圆周|z-i|=，则积分 . 28.设C为正向圆周||=2，f(z)=，其中|z|<2，则 . 29.幂级数的收敛半径为 . 30.函数f(z)=在点z=0处的留数为 . 三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 31.求u=x2+2xy-y2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 32.计算积分I=的值，其中C为正向圆周|z|=2. 33.试求函数f(z)=在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域. 34.计算积分I=的值，其中C为正向圆周|z-1|=3. 四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分）。 35.利用留数求积分I=的值. 36.设Z平面上的区域为D：|z+i|>，|z-i|<，试求下列保角映射： （1）w1=f1(z)把D映射成W1平面上的角形域D1： （4）w=f(z)把D映射成G. 37.积分变换 （1） （2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题： 第一部分 选择题 (共30分) 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（ ） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 2．下列等式中，对任意复数z都成立的等式是（ ） A.z·=Re(z·) B. z·=Im(z·) C. z·=arg(z·) D. z·=|z| 3．不等式所表示的区域为（ ） A.角形区域 B.圆环内部 C.圆的内部 D.椭圆内部 4．函数把Z平面上的单位圆周|z|=1变成W平面上的（ ） A.不过原点的直线 B.双曲线 C.椭圆 D.单位圆周 5．下列函数中，不解析的函数是（ ） A.w= B.w=z2 C.w=ez D.w=z+cosz 6．在复平面上，下列关于正弦函数sinz的命题中，错误的是（ ） A.sinz是周期函数 B.sinz是解析函数C.|sinz| D. 7．在下列复数中，使得ez=2成立的是（ ） A.z=2 B.z=ln2+2 C.z= D.z=ln2+ 8．若f(z)在D内解析，为f(z)的一个原函数，则（ ） A. B. C. D. 9．设C为正向圆周|z|=1,则等于（ ） A.0 B. C. D. 10．对于复数项级数，以下命题正确的是（ ） A.级数是条件收敛的 B.级数是绝对收敛的 C.级数的和为 D.级数的和不存在，也不为 11．级数的和为（ ） A.0 B.不存在 C.i D.-i 12．对于幂级数，下列命题正确的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数条件收敛 B.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 C.在收敛圆周上，幂级数必处处收敛 D.在收敛圆周上，幂级数必处处发散 13．z=0是函数的（ ） A.本性奇点 B.极点C.连续点 D.可去奇点 14．在点z=0处的留数为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 15．将点，0，1分别映射成点0，1，的分式线性映射是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 （共70分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16．设,则Rez=____________. 17.f(z)=(x2-y2-x)+i(2xy-y2)在复平面上可导的点集为_________. 18.设C为正向圆周|z-|=1,则积分____________. 19.函数在奇点z=0附近的罗朗级数的收敛圆环域为_______. 20.在点z=1处的留数为____________. 三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21．设,求z+和z-. 22. 设. (1)求f(z)的解析区域，（2）求 23.设f(z)=x2-2xy-y2-i(x2-y2). 求出使f(z)可导的点, (2)求f(z)的解析区域. 24.设z=x+iy,L为从原点到1+i的直线段.求 25.计算积分 26.设C为正向圆周|z-1|=3,计算积分I= 27.将函数f(z)=在圆环0<|z|<1内展开成罗朗级数. 28.将函数f(z)=ln(3-2z)在点z=0处展开为泰勒级数，并求其收敛半径. 四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题，需考《积分变换》者做31题，其他考生做30题，两题都做者按31题给分。每题10分，共20分） 29．利用留数定理计算积分I= 30.试求一函数w=f(z),它将Z平面上的区域0 (1)e-2tf(t), (2)sin2t， (3)g(t)=e-2tf(t)+3sin2t. 1．复数方程z=2+ (为实参数，0≤<2)所表示的曲线为（ ） A．直线 B．圆C．椭圆 D．抛物线 2．已知，则argz=（ ） A． B． C． D． 3．Re(cosi)= （ ） A． B． C． D． 4．设f(z)=(1-z)e-z，则=（ ） A．(1-z)e-z B．(z-1)e-z C．(2-z)e-z D．(z-2)e-z 5．设ez=，则Imz为（ ） A．ln2 B． C．2k,k=… D． +2k,k=0,… 6．设C为正向圆周|z|=1，则（ ） A． B．2 C．0 D．1 7．设C为正向圆周|z-1|=1，则积分等于（ ） A．5 B．7 C．10 D．20 8．设C为正向圆周||=1.则当|z|>1时，f(z)=（ ） A．0 B．1 C． D． 9．设f(z)=的罗朗级数展开式为，则它的收敛圆环域为（ ） A．0<|z|<2或2<|z|<+ B．0<|z-2|<2或2<|z-2|<+ C．0<|z-2|<+ D．0<|z-2|<2 10．幂级数在点z=处（ ） A．发散 B．条件收敛 C．绝对收敛 D．不绝对收敛 11．z=0是的（ ） A．解析点 B．本性奇点 C．一阶极点 D．二阶极点 12．设z=x+iy，则w=将圆周x2+y2=2映射为（ ） A．通过w=0的直线B．圆周|w|=C．圆周|w-2|=2 D．圆周|w|=2 13．Res[]=（ ） A．2i B．-2i C．-1 D．1 14．z2sin在z=0点的留数为（ ） A．-1 B． C． D．0 15．w=iz将z平面上的第一象限保角映射为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 第二部分 非选择题（共70分） 三、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 16．在复数域内，方程cosz=0的全部解为 。 17．设C为自点z1=-i至点z2=0的直线段，则 . 18．设z=x+iy，Re(iez)= 。 19．若C为正向圆周|z-3|=2，则 . 20．f(z)在单连通区域D内解析，是f(z)的一个原函数，C为D内一条正向闭曲线，则 . 三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21．求出复数z=的模和辐角. 22．设z=x+iy，满足Re(z2+3)=4，求x与y的关系式. 23．设u=ax3-3xy2，v=3x2y-y3，z=x+iy.问当a取何值时，v是u的共轭调和函数，并求出以u为实部的解析函数f(z). 24．求积分I=的值，其中C为从-2到2的上半圆周. 25．设C为正向圆周|z|=R(R1)，计算积分I=. 26．求幂级数的收敛半径. 27．将函数f(z)=在区域2<|z-i|<+内展开成为罗朗级数. 28．讨论f(z)=的孤立奇点. 若为极点，求极点的阶数. 四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题。每小题10分，共20分） 29．利用留数计算积分I=. 30．求下列保角映射： （1）把Z平面上的区域D:|z|<2，|z+1|>1映射成W1平面上的区域D1:0 （4）综合以上三步求出把Z平面上的区域D映射成W平面的上半平面的保角映射. 31．（1）求sint的拉氏变换 [sint]； （2）设F(p)= [y(t)]，若函数y(t)可导，而且y(0)=0，求 []； （3）利用拉氏变换解常微分方程的初值问题 1．设z=3+4i,，则Re z2=( ) A．-7 B．9 C．16 D．25 2．下列复数中，使等式=-z成立的是( ) A．z=e2i B．z=eI C．z= D．z= 3．设0 C．z=t+ D．z=2cost+i3sint 4．下列区域为有界单连通区域的是( ) A．0<|z-i|<1 B．0 A． B． C． D． 6．设f(z)=在整个复平面上解析，则常数A=( ) A．0 B．e-1 C．1 D．e 7．设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b为( ) A．a=-1,b=1 B．a=1, b=1 C．a=-1,b=-1 D．a=1,b=-1 8．设z为复数，则e-iz=( ) A．cosz+isinz B．sinz+icosz C．cosz-isinz D．sinz-icosz 9．设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C上连续，则下列式子错误的是( ) A． B． 其中C－为C的反向曲线 C． D． 10．设C为从-I到I的左半单位圆周，则( ) A．i B．2i C．-i D．-2i 11． 设C为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为0的是( ) A． B． C． D． 12．设D是单连通区域，C是D内的正向简单闭曲线，则对D内的任意解析函数f(z)恒有( ) A．f(z)=, z在C的外部 B．f(n)(z)=，z在C的内部，n≥2 C．f(n)(z)=，z在C的内部，n≥2 D．f(n)(z)=，z在C的内部，n≥2 13．复数列的极限是( ) A．1+i B． C．1 D．0 14．z=i是f(z)=的( ) A．一阶极点 B．二阶极点 C．本性奇点 D．解析点 15．映射w=2z+z2在点z0=1+i处的伸缩率为( ) A．2 B．3 C．2 D．5 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 16．arg(1+i)= . 17．设z=x+iy, 则曲线|z-1|=1的直角坐标方程为 . 18．设f(z)=zez, 则 . 19．设函数f(z)在单连通区域D内解析，且F(z)=, 其中z,0, 则= . 20．Res= . 三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 21．求方程cosz=5在复平面上的全部解. 22．讨论函数w=xy-x+iy2的可导性，并在可导点处求其导数. 23．设Ｃ为正向圆周|z-2|=1,计算I=. 24．设C为从0到1+2i的直线段，计算积分I=. 25．(1)将函数在点z=-1处展开为泰勒级数； (2)利用以上结果，将函数f(z)=在点z=-1处展开为泰勒级数. 26．求函数f(z)=的全部孤立奇点. 若为极点，则指出其阶数. 27．将函数f(z)=在圆环域1<|z|<2内展开为罗朗级数. 28．设f(z)=. (1)计算Res[f(z),0] (2)利用以上结果，计算积分I=, 其中C为正向圆周|z|=1. 四、综合题(下列3小题中，29题必做，30、31题中选做一题。每小题10分，共20分) 29．(1)求f(z)=在上半平面内所有的孤立奇点，并说明它们的类型； (2)计算f(z)在上半平面内各个孤立奇点的留数； (3)利用以上结果计算广义积分I=. 30．设D为Z平面上的带形域0 (4)综合以上三步，求保角映射w=f(z)把D映射成单位圆盘|w|<1. 31．(1)求cost的拉氏变换F[cost] (2)设F(p)=F[[y(t)], 其中函数y(t)可导，而且y(0)=0.求F[[]. (3)利用拉氏变换解常微分方程的初值问题 1.设z=1+2i，则Im z3=（ ） A.-2 B.1 C.8 D.14 2.z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（ ） A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 3.ln(-1)为（ ） A.无定义的 B.0 C.πi D.(2k+1)πi(k为整数) 4.设z=x+iy,则（1+i）z2的实部为（ ） A.x2-y2+2xy B.x2-y2-2xy C.x2+y2+2xy D.x2+y2-2xy 5.设z=x+iy，解析函数f(z)的虚部为v=y3-3x2y，则f(z)的实部u可取为（ ） A.x2-3xy2 B.3xy2-x3 C.3x2y-y3 D.3y3-3x3 6.设C为正向圆周|z|=1，则（ ） A.0 B.1 C.πi D.2πi 7.设C为从-i到i的直线段，则（ ） A.i B.2i C.-i D.-2i 8.设C为正向圆周|z|=1，则（ ） A.2πi·sin 1 B.-2πi C.0 D.2πi 9.复数列的极限为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.不存在 10.以z=0为本性奇点的函数是（ ） A. B. C. D. 11.在z=πi处的泰勒级数的收敛半径为（ ） A.πi B.2πi C.π D.2π 12.设，则f(10)(0)为（ ） A.0 B. C.1 D.10！ 13.设函数，则Res[f(z),-i]=（ ） A.0 B. C. D. 14.把点z=1，i,-1分别映射为点w=∞,-1,0的分式线性映射为（ ） A. B. C. D. 15.w=ez把带形区域0 C.割去负实轴及原点的复平面 D.割去正实轴及原点的复平面 二、填空题（本大题共5小题，每小题2 分，共10分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 16.arg(3-i)=___________. 17.对数函数w=ln z的解析区域为___________. 18.设C为正向圆周|z|=1，则积分___________. 19.设，则幂级数的收敛半径为___________. 20.设C为正向圆周___________. 三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21.求方程z3+8=0的所有复根. 22.设u=x2-y2+xy是解析函数f(z)的实部，其中z=x+iy.求f′(z)并将它表示成z的函数形式. 23.设v=eaxsiny，求常数a使v成为调和函数. 24.设C为正向圆周|z|=1，计算积分 25.计算积分，其中C为正向圆周|z|=1，|a|≠1. 26.(1)求在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式； (2)求在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式. 27.求f(z)=ln z在点z=2的泰勒级数展开式，并求其收敛半径. 28.计算积分，其中C为正向圆周|z|=2. 四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中选做一题。每小题10分，共20分） 29.（1）求在上半平面的所有孤立奇点； （2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数； （3）利用以上结果计算积分. 30.设D是上半单位圆：Im z>0,|z|<1，求下列保角映射： （1）w1=f(z)把D映射为第Ⅱ象限D1，且f(1)=0； （2）w2=g(w1)把D1映射为第Ⅰ象限D2； （3）w=h(w2)把D2映射为上半平面D3； （4）求把D映射为D3的保角映射w=F(z). 31.求函数的傅氏变换，其中 1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 2.设v(x,y)=eaxsiny是调和函数，则常数a=（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 3.设f(z)=z3+8iz+4i，则f′(1-i)=（ ） A.-2i B.2i C.-2 D.2 4.设C为正向圆周|z-a|=a(a>0)，则积分=（ ） A. B. C. D. 5.设C为正向圆周|z-1|=1，则（ ） A.0 B.πi C.2πi D.6πi 6.f(z)=在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（ ） A. B.1 C. D. 7.下列级数中绝对收敛的是（ ） A. B. C. D. 8.可以使f(z)=在点z=0处的罗朗展开式收敛的区域是（ ） A.0<|z|<2或2<|z|<+∞ B. 0<|z|<+∞ C. 0<|z-2|<2 D. 0<|z-2|<+∞ 9.点z=-1是f(z)=(z+1)5sin的（ ） A.可去奇点 B.二阶极点 C.五阶零点 D.本性奇点 10.设C为正向圆周|z|=1，则（ ） A.-2πi B. 2πi C. -2π D. 2π 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.arg (-1+3i)= . 12.已知f(z)=u+iv是解析函数，其中u=,则 . 13.设C为正向圆周|z|=1,则 . 14.z=0是f(z)=的奇点，其类型为 . 15. f(z)=在圆环域0<|z|<1内的罗朗展开式为 . 16.设f(z)=,则Res[f(z),1]= . 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17．（本题6分）求z=（-1+i）6 的共轭复数及共轭复数的模||. 18．(本题6分) 设t为实参数，求曲线z=reit+3 (0≤t＜2π的直角坐标方程. 19．(本题6分) 设C为正向圆周|z|=1，求I=. 20．(本题6分) 求在z=0处的泰勒展开式. 21．(本题7分) 求方程sin z+cos z=0 的全部根. 22．(本题7分) 设u=e2xcos 2y 是解析函数f(z)的实部，求f(z). 23．(本题7分) 设C为正向圆周|z-i|=,求I=. 24．(本题7分)设C为正向圆周|z|=1，求I=. 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分） 25．（1）求f(z)=在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型； （2）求f(z)eiz在以上奇点的留数； （3）利用以上结果，求I=. 26．设D为Z平面的单位圆盘去掉原点及正实轴的区域. 求下列保角映射： （1）w1=f1(z)把D映射成W1平面的上半单位圆盘D1； （2）w=f2(w1)把D1映射成W平面的第一象限； （3）w=f(z)把D映射成W平面的第一象限. 27．求函数3f(t)+2sint的付氏变换， 其中 f(t)= . 1．设z为非零复数，a,b为实数，若，则a2+b2的值（ ） A．等于0 B．等于1 C．小于1 D．大于1 2．设,则（ ） A． B． C． D． 3．（ ） A． B． C． D． 4．设C为正向圆周|z|=1,则=（ ） A． B． C． D．0 5．设C为正向圆周|z-1|=2,则=（ ） A．e2 B． C． D． 6．设C为正向圆周|z|=2，则=（ ） A． B． C． D． 7．的幂级数展开式在z=-4处（ ） A．绝对收敛 B．条件收敛 C．发散 D．收敛于 8．幂级数的收敛半径为（ ） A． B．1 C． D．0 9．函数在z=0点的留数为（ ） A．2 B．i C．1 D．0 10．函数(a、b为实数,a≠b)在z=0点的留数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．设，则____________. 12．方程的解为____________. 13．设C为从i到1+i的直线段，则____________. 14．设C为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分____________. 15．设C为正向圆周|z|=2，则____________. 16．若在幂级数中，，则该幂级数的收敛半径为____________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17．（本小题6分）设复数 （1）求z的实部和虚部；（2）求z的模；（3）指出z是第几象限的点. 18．（本小题6分） 设.将方程表示为关于x,y的二元方程，并说明它是何种曲线. 19．(本小题7分) 设为解析函数，试确定a,b,c的值. 20．(本小题7分) 设是解析函数，其中， 求. 21．（本小题6分） 求在圆环域内的罗朗级数展开式. 22．（本小题6分） 设的幂级数展开式为，求它的收敛半径，并计算系数a1,a2. 23．（本小题7分） 设C为正向简单闭曲线，a在C的内部，计算I= 24．（本小题7分） 求在各个孤立奇点处的留数. 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，两题都做按前一题评分。每小题8分，共16分） 25．利用留数计算积分. 26．设D为Z平面上的扇形区域求下列保角映射： （1）把D映射为W1平面的上半单位圆盘D1； （2）把D1映射为W平面上的第一象限； （3）把D映射为W平面上的第一象限. 27．求函数的拉氏逆变换. 1．设z=1-i,则Im()=（ ） A．-1 B．- C． D．1 2．复数z=的幅角主值是（ ） A．0 B． C． D． 3．设n为整数，则Ln（-ie）=（ ） A．1-i B． i C．1+ D．1+ 4．设z=x+iy.若f (z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)为解析函数，则（ ） A．m=-3,n=-3 B．m=-3,n=1 C．m=1,n=-3 D．m=1,n=1 5．积分（ ） A． B．1+i C． D． 6．设C是正向圆周则=（ ） A． B． B． C． D． 7．设C是正向圆周，则=（ ） A． B． C． D．2 8．点z=0是函数的（ ） A．可去奇点 B．一阶极点 C．二阶极点 D．本性奇点 9．函数在的泰勒展开式的收敛圆域为（ ） A．＜2 B．＜2 C．＜3 D．＜3 10．设,则Res[f (z),0]=（ ） A．-1 B．- C． D．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．复数-1-i的指数形式为__________. 12．设z=x+iy满足x-1+i(y+2)=(1+i)(1-i)，则z=__________. 13．区域0 15．函数在圆环域0<<1内的罗朗展开式为__________. 16．设,则Res[f (z),0]=__________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17．（本题6分）将曲线的参数方程z=3eit+e-it（t为实参数）化为直角坐标方程. 18．（本题6分）设C是正向圆周 19．（本题6分）求处的泰勒展开式，并指出收敛圆域. 20．（本题6分）求在圆环域1<<2内的罗朗展开式. 21．（本题7分）计算z=(1+i)2i的值. 22．（本题7分）设v (x,y)=arctan是在右半平面上以v (x,y)为虚部的解析函数，求f (z). 23．（本题7分）设C是正向圆周，计算 24．（本题7分）设C是正向圆周，计算 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分） 25．（1）求在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型； （2）求出在以上奇点处的留数； （3）利用以上结果，求积分 26．设D为Z平面上的带形区域：0 （2）w=f2(w1)将D1映射成W平面的单位圆盘D2∶|w|<1; （3）w=f (z)将D映射成W平面的单位圆盘D2∶|w|<1. 27．求函数的拉普拉斯变换. 1.arg(-1+)=( ) A.- B. C. D. +2nπ 2.w=|z|2在z=0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导 D.解析 3.设z=x+iy，则下列函数为解析函数的是( ) A.f(z)=x2-y2+i2xy B.f(z)=x-iy C.f(z)=x+i2y D.f(z)=2x+iy 4.设C为由z=-1到z=l的上半圆周|z|=1，则=( ) A.2πi B.0 C.1 D.2 5.设C为正向圆周|z|=1，则=( ) A.-πi B.0 C.πi D.2πi 6.设C为正向圆周|z|=2，则dz=( ) A.0 B.e-1 C.2πi D.-πe-1i 7.z=0是的极点，其阶数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.以z=0为本性奇点的函数是( ) A. B. C. D. 9.设f(z)的罗朗展开式为-+(z-1)+2(z-l)2+…+n(z-1)n+…则Res[f(z),1]=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 10.设z=a为解析函数f(z)的m阶零点，则函数在z=a的留数为( ) A.-m B.-m+l C.m-1 D.m 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.|z-i|=|z-1|的图形是_______________. 12.设z=ii，则Im z=_______________. 13.设C为由点z=-l-i到点z=l+i的直线段，则dz=_______________. 14.设C是顶点为z=±,z=±的菱形的正向边界，则dz=______________. 15.设C为正向圆周|z|=1，则cos zdz=_________. 16.函数在点z=4的泰勒级数的收敛半径为_________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17.设z=x+iy,求复数的实部与虚部.（6分） 18.求复数i8-4i25+i的模.(6分) 19.求f(z)=(z-1)2ez在z=1的泰勒展开式.(6分) 20.求f(z)=在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分) 21.求解方程cos z=2.（7分） 22.设z=x+iy,试证v(x,y)=x2+2xy-y2为调和函数，并求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y).(7分) 23.设C为正向圆周|z-2|=1,求dz.(7分) 24.设C为正向圆周|z|=1，求dz.(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分） 25.（1）指出f(z)=在上半平面内的所有奇点及类型； （2）计算f(z)在以上奇点的留数； （3）利用以上结果计算实积分dx. 26.设D为Z平面上的扇形区域0 （2）w=f2(w1)把Im w1>0映射为W平面上的单位圆盘|w|<1，并且满足f2(2i)=0; （3）w=f(z)把Z平面上的区域D映射为W平面上的单位圆盘|w|<1. 27.用拉普拉斯变换解方程y(t)=sin t-2
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