2020-2021学年广东省佛山市高一上学期期末考试数学试卷及答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}32A x x =∈-<0B x x =∈≥Z ，则A B ⋂=（）

A ．{}0,1,2

B ．{}

2,0,1-C ．{}0D ．{}

0,12．已知3

cos 25

πα⎛⎫+=

⎪⎝⎭，那么sin α=（）

A ．45-

B ．

45

C ．35

-

D ．

35

3．已知实数x ，y ，则“x y >”>）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．设0.3

2a =，0.5

12b -⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，ln 2c =，则（）

A ．c b a

<<<<<5．已知a ，0x 均为实数，且函数()sin f x x x a =++，若()()004f x f x +-=，则a =（）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

6．已知三个函数a

y x =，x

y a =，log a y x =，则（）

A ．对任意的a >0，三个函数定义域都为R

B ．存在a >0，三个函数值域都为R

C ．对任意的a >0，三个函数都是奇函数

D ．存在a >0，三个函数在其定义域上都是增函数

7．已知函数()y f x =（x ∈R ）满足()()12f x f x +=，且()()5332f f =+，则()4f =（）

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2

8．在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累

计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯．收入首次多于不改造的累计纯．收入时，x =（）

A ．18

B ．19

C ．20

D ．21

二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知θ为第二象限角，则下列结论正确的是（）

A ．cos 0θ>

B ．()cos 0πθ->

C ．()cos 0

πθ+>D ．cos 02πθ⎛⎫+>

⎪⎝⎭

10．已知函数()sin f x x =，则下列说法正确的是（）

A ．()f x 的图像关于直线2

x π

=

对称B ．(),0π是()f x 图像的一个对称中心C ．()f x 的周期为πD ．()f x 在区间,02π⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

单调递减11．已知函数()y f x =是定义在[]1,1-上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-，则下列说法正确的是（

）

A ．函数()y f x =有2个零点

B ．当0x <时，()()1f x x x =--

C ．不等式()0f x <的解集是()

0,1D ．1x ∀，[]11,1x ∈-，都有()()1212

f x f x -≤

12．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（）

A ．{}M x x =<0，{}

N x x =>0是一个戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素

D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素

第Ⅱ卷(非选择题)

三、填空题：

13．设幂函数()y f x =的图像过点22⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

，则()9f =______．

14．已知函数()()cos f x x ωϕ=+相邻对称轴为14x π=-和234x π

=，且对任意的x 都有()34

f x f π

⎛⎫≥ ⎪⎝⎭

，则函数()f x 的单调递增区间是______．

15．已知函数()(

)217,0

3log 1,0

x

x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+≥⎩，若()02f x <，则实数0x 的取值范围是______．

16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜．税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间

税率（%）

速算扣除数

1[0,36000]302(36000,144000]1025203(144000,300000]2016924(300000,420000]253192

5

(420000,660000]

30

N

小华的全年应纳税所得额为100000元，则全年应缴个税为360003%00010%7480⨯+⨯=元．还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额

对应档的税率

对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为

10000010%25207480⨯-=元．按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个

税为______，表中的N =______.

四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数()2sin 23f x x π⎛

⎫

=+

⎪⎝

⎭

，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期；

（2）求使函数()f x 取最大值时自变量x 的集合．18．在①A B ⋂=∅，②()

R A B A ⋂=ð，③A B A ⋂=

这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，

并求解下列问题：

已知集合{}

123A x a x a =-<<+，{}

74B x x =-≤≤，若______，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．已知函数()21,0

log ,0ax x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩

．

（1）当2a =-时，在给定的平面直角坐标系中作出函数()f x 的图像，并写出它的单调递减区间；（2）若()02f x =，求实数0x

．

20．已知函数()2

23f x ax x =++（a ∈R ）．

（1）当1a =-时，求不等式()0f x >的解集；（2）解不等式()0f x >．

21．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f 是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W （单位：g ）与脉搏率f 存在着一定的关系．表1给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W 与脉搏率f 的散点图，图2画出了lg W 与lg f 的散点图．动物名体重脉搏率鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔2000200小狗

5000

120

大狗3000085羊50000

70

表1

为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：①f kW b

=+②lg lg f k W b

=+（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；

（2）不妨取表1中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出f 关于W 的函数解析式；（3）若马的体重是兔的256倍，根据（2）的结论，预计马的脉搏率．（参考数据：lg 20.3≈，lg30.5≈．）

22．已知函数()x

x

f x e ae -=+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．

（1）若函数()y f x =在区间()0,+∞内有零点，求a 的取值范围；（2）当4a =时，()0,x ∀∈+∞，()3x

mf x e

m -≥+，求实数m 的取值范围．

数学试题参

1-8DCABB DCB

9-12BC ACD BCD

BD

13．

1314．72,244k k ππππ⎡⎤++⎢

⎥⎣⎦

，k ∈Z 15．()

2,3-16．23080

52920

17．（1）()f x 的最小正周期为22

T π

π==；（2）依题意得，2232x k πππ+

=+，k ∈Z ，解得12

x k π

π=+，k ∈Z ．所以函数()f x 取最大值时自变量x 的集合,12x x k k ππ⎧⎫

=+∈⎨⎬⎩⎭

Z ．

18．若选择①A B ⋂=∅，则当A =∅时，即123a a -≥+，即4a ≤-时，满足题意，

当4a >-时，应满足4237a a >-⎧⎨+≤-⎩或4

14a a >-⎧⎨-≥⎩

解得：5a ≥，

综上知，实数a 的取值范围是：(][),45,-∞-⋃+∞.

若选择②()R A B A ⋂=ð，则A 是R B ð的子集，()()R ,74,B =-∞-⋃+∞ð，当123a a -≥+，即4a ≤-时，A =∅，满足题意；

当4a >-时，4237a a >-⎧⎨+≤-⎩或4

14a a >-⎧⎨->⎩

解得：5a ≥，

综合得a 的取值范围是：(][),45,-∞-⋃+∞．若选择③A B A ⋂=，则A B ⊆，

当123a a -≥+，即4a ≤-时，A =∅，满足题意；

当当4a >-时，17234a a -≥-⎧⎨+≤⎩解得：1

62a -≤≤；

综上知，实数a 的取值范围是1,2⎛

⎤-∞ ⎥⎝⎦

．

数学参与评分标准第2页（共4页）

19．（1）当2a =-时，()221,0

log ,0x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩

，图象如下图所示，

由图可知()f x 的单调递减区间为(],0-∞和(]0,1.

（单调区间写成(),0-∞，(0,1)均给分）

（2）依题意，当00x ≤时，012ax +=，即01ax =，

若0a ≥，方程无解；若0a <，得01x a

=；当00x >时，2log 2x =，即20log 2x =±，解得04x =或014

x =

.综上所述，当0a ≥时，04x =或014x =；当0a <时，01x a =或04x =或014x =.20.（1）当1a =-时，()223f x x x =-++.

()0f x >即2230x x -++>，可化为2230x x --<.

方程2230x x --=的根为：11x =-，23

x =所以，不等式的解为：13x -<<.

因此()0f x >的解为{}13x x -<<.

（2）2230

ax x ++>①当0a =时，不等式化为230x +>，解得32

x >-.②当0a >时，开口向上，此时412a

∆=-(i)0∆<，即13a >时，方程2230ax x ++=无解，不等式解为：R .(ii)0∆=，即13

a =时，方程2230ax x ++=有唯一解，3x =-，不等式解为：3x ≠-.

(iii)0∆>，即103a <<

时，方程2230ax x ++=有两解，1113a x a --=，2113a x a

-+=，且12x x <

不等式解为1x a --<或1x a -+>.③0a <时，开口向下，此时412a ∆=-，显然0∆>，方程2230ax x ++=有两解，

11x a --=，21x a

-+=，且12x x >.

不等式解为

11x a a -+-<<.综上所述，

当0a <时，不等式解集为113a x a ⎧--⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭

当0a =时，不等式解集为32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩

⎭

当103a <<时，不等式解集为11x x x a a ⎧--+⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭

或当13a <时，不等式解集为{}3x x ≠-当13

a >时，不等式解集为R .21.（1）模型②lg lg f k W

b =+最符合实际

根据散点图的特征，图2基本上呈直线形式，所以可以选择一次函数来刻画lg W 和lg f 的关系.

（2）由题意知，lg 300lg 300lg 200lg 2000k b k b

=+⎧⎨=+⎩因为lg 200lg 22 2.3=+≈，lg 2000lg 23 3.3=+≈，lg300lg32 2.5=+≈.

解得14258k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即lg 25lg 48W f =+，所以f 关于W 的函数解析式为2518410f W -=⋅.

（3）设马的体重和脉搏率为1W ，1f ，设兔的体重和脉搏率为2W ，2f ，由题意12

256W W =，()()11

1

1

44811144122421

25624f W W f W W -----⎛⎫===== ⎪⎝⎭

，

因为2200f =，则150f =，即马的脉搏率为50.

22．（1）解法①当0a ≥时，()0x x x f x e ae e -=+≥>，没有零点；当0a <时，函数()y f x =是增函数，则需要()10a

f e e =+<，解得2a e <-.

此时()()()()ln ln 2ln 10a a f a e ae a e ----=+=-->-1>，满足零点存在定理()()()1ln 0f f a -<.

因此函数()y f x =在区间()1,+∞内有一个零点综上所述，a 的取值范围为()2,e -∞-.

解法②()y f x =的零点就是方程0x x e ae -+=的解，即0x x e ae -+=在区间()1,+∞上有解

方程0x x e ae -+=变形得2x e a =-e ，

当0a ≥时，方程无解，

当0a <时，解为()ln 2a x -=，则()ln 12a ->，解得2a e <-，综上所述，a 的取值范围为()

2,e -∞-（2）解法①由题意知，()43x x x m e e e m --+≥+，即()43x x x m e e e --+-≥

因为4331x x e e -+-≥-=，则43

x

x x e m e e --≥+-，又214334

x x x x x e e e e e ---=+--+，令x e t =，()1,t ∈+∞，则2221114343473724

x x e e t t t -==≤-+-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（当且仅当32t =时等号成立），所以47m ≥，即m 的取值范围是4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

.解法②由题意知，()43x x x m e e e m --+≥+，即23410x x me me m -+-≥，

令x e t =，()1,t ∈+∞，即23410mt mt m -+-≥，当0m ≤时，显然不成立，因此0m >.

对于函数()2341f t mt mt m =-+-，()1,t ∈+∞，

()min 37124m f t f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭

，则7104m -≥，解得47m ≥，即m m 的取值范围是4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.