高考数列专题讲解(含答案)

题型一、数列的综合问题

【例1】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.

解　(1)设等比数列{an}的公比为q，

因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，

所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，

于是q2＝＝.

又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.

故等比数列{an}的通项公式为an＝×

＝(－1)n－1·.

(2)由(1)得Sn＝1－＝

当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，

所以1故0当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，

所以＝S2≤Sn<1，

故0>Sn－≥S2－＝－＝－.

综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.

所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.

【分析】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.

【即时应用】已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5－2a2＝25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设Tn是数列的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

解　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，

∴

解得a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1.

∵b1＝a1＝3，b2＝a4＝9，

∴等比数列{bn}的公比q＝3，∴bn＝3n.

(2)不存在.理由如下：

∵＝＝，

∴Tn＝

＝，

∴1－2Tk＝＋(k∈N*)，

易知数列为单调递减数列，

∴<1－2Tk≤，又＝∈，

∴不存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立.

题型二、数列的通项、求和

求和要善于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常用求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.

【例2】设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

(1)解　由题意有

即

解得或

故或

(2)解　由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，

故cn＝，

于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①

Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②

①－②可得

Tn＝2＋＋＋…＋－

＝3－，

故Tn＝6－.

【分析】用错位相减法解决数列求和的模板

第一步：(判断结构)

若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.

第二步：(乘公比)

设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.

第三步：(错位相减)

乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差.

第四步：(求和)

将作差后的结果求和，从而表示出Tn.

【即时应用】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.

(1)证明：an＋2＝3an；

(2)求S2n.

(1)证明　由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，

因而对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.

两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，

即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，

所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1，

故对一切n∈N*，an＋2＝3an.

(2)解　由(1)知，an≠0，所以＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列.

因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.

于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n

＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)

＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)

＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝(3n－1).

题型三、数列的综合应用

3.1　数列与函数的综合问题

【例3】 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).

(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；

(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.

解　(1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，

有2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2.

所以，Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.

(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，

它在x轴上的截距为a2－.

由题意知，a2－＝2－，

解得a2＝2.

所以，d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，

所以Tn＝＋＋＋…＋＋，

2Tn＝＋＋＋…＋

因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－

＝2－－＝.

所以，Tn＝.

热点3.2　数列与不等式的综合问题

【例4】 在等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围.

解　(1)设公差为d，由题意得：

解得∴an＝3n.

(2)∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，

∴Tn＝，Tn＋1＝，

∴Tn＋1－Tn＝－

＝，

∴当n≥3时，Tn>Tn＋1，且T1＝1∴Tn的最大值是，故实数m的取值范围是.