2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷(理科)

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设z•i=2i+1，则z=（）

A. 2+i

B. 2-i

C. -2+i

D. -2-i

2.已知集合A={（x，y）|y=2x}，B={（x，y）|y=x+1}，则A∩B中元素的个数为（）

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

3.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若绕点O逆时针旋转60°得

到向量，则=（）

A. （0，1）

B. （1，0）

C.

D.

4.已知b＞a＞0，则（）

A. |1-a|＞|1-b|

B.

C. lg a＜lg b

D.

5.椭圆2x2-my2=1的一个焦点坐标为（0，），则实数m=（）

A. B. C. D.

6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c既是等差数列又是等比

数列，则角B的值为（）

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=BC，则异面直

线AB1和BC1所成角的余弦值为（）

A.

B.

C.

D.

8.函数y=sin x，在[0，π]中随机取一个数x，使的概率为（）

A. B. C. D.

9.已知x+2y=xy（x＞0，y＞0），则2x+y的最小值为（）

A. 10

B. 9

C. 8

D. 7

10.已知曲线C1：y=sin x，则下面结论正确的是（）A. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平

移个单位长度，得到曲线C2

B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平

移个单位长度，得到曲线C2

C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平

移个单位长度，得到曲线C2

D. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平

移个单位长度，得到曲线C2

11.设f（x）为R上的奇函数，满足f（2-x）=f（2+x），且当0≤x≤2时，f（x）=xe x，

则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=（）

A. 2e+2e2

B. 50e+50e2

C. 100e+100e2

D. -2e-2e2

12.已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的

圆交双曲线C于P，Q，M，N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为（）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.曲线y=x•ln x在点（1，0）处的切线的方程为______．

14.已知cos2x-sin2x=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0），则A=______，b=______．

15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域

函数”．试写出的一个“同域函数”的解析式为______．

16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主

要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．f（x）

=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0

改写成以下形式：

f（x）=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0

=（a n x n-1+a n-1x n-2+a n-2x n-3+…+a1）x+a0

=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a3x+a2）x+a1）x+a0

⋮

=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0

若，则=______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是D1C1的中点，

AB=2，BC=BB1=1．

（Ⅰ）求证：平面DB1C1⊥平面DCC1D1；

（Ⅱ）求二面角D-EB1-C1的余弦值．18.甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各

人是否答对每道题互不影响．

（Ⅰ）用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设A为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A发生的概率．

19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n-2n-1，（n∈N+）．

（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．

20.已知f（x）=e x，g（x）=ln（x+2）．

（Ⅰ）f（x）和g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x），令h（x）=f'（x）-g'（x），判断h（x）在（-2，+∞）上零点个数；

（Ⅱ）当x＞-2时，证明f（x）＞g（x）．

21.如图，过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交抛物线C

于不同两点A，B，P为拋物线上任意一点（与A，B

不重合），直线PA，PB分别交抛物线的准线l于点M，

N．

（Ⅰ）写出焦点F的坐标和准线l的方程；

（Ⅱ）求证：MF⊥NF．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程（β为参数）．直线l的参

数方程（t为参数）．

（Ⅰ）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；

（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时，求直线l的倾斜角．

23 已知函数f（x）=|x-a|（x-2）+|x-2|（x-a）．

（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜0的解集；

（Ⅱ）若x∈（0，2）时f（x）≥0，求a的取值范围．

2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）

答案和解析

【答案】

1. B

2. B

3. A

4. C

5. A

6. C

7. D

8. C9. B10. D11. A12. A

13. x-y-1=015. y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]或…

16. 0

17. 解：（I）证明：

∵ABCD-A1B1C1D1是长

方体，

∴B1C1⊥平面DCC1D1，

又B1C1⊂平面DB1C1，

∴平面DB1C1⊥平面

DCC1D1．

（II）解：方法一：取G、M、H分别是AB、EB1、

A1B1的中点，

连接DG、GM、MH、GH、A1E．

∵B=2，BC=BB1=1，A1E⊥EB1，即HM⊥EB1，

又∵GH⊥EB1，∴∠GMH或其补角是二面角D-EB1-C1的平面角．

又∵，

∴．

∴二面角D-EB1-C1的余弦值为．

方法二：以D1为坐标原点，以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

D（0，0，1），B1（1，2，0），E（0，1，0），．

设n=（x0，y0，z0）是平面DEB1的一个法向量，

∵，∴，

令z0=1，则x0=-1，y0=1．n=（-1，1，1），

平面EB1C1的一个法向量，．

显然，二面角D-EB1-C1是钝角，

∴二面角D-EB1-C1的余弦值为．

18. 解：（I）X的取值为0，1，2，3，

，

，

，

．

因此X的分布列为

X0123P

．

（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，

即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，∴事件A发生的概率为：

．

19. 解：（I）证明：令n=1，则a1=3．

∵S n=2a n-2n-1，（n∈N+）①

∴S n-1=2a n-1-2（n-1）-1，（n≥2，n∈N+）②

①-②得：a n=2a n-2a n-1-2，a n=2a n-1+2，

∴，

∴{a n+2}是等比数列．

（II）由（I）知：数列{a n+2}是首项为：a1+2=5，公比为2的等比数列．

∴，

∴，

设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则③∴④

③-④得：=，

∴．

20. 解（I）∵，

∴

∵h（x）在（-2，+∞）内单调递增，

又∵，

∴h（x）在（-2，+∞）内有且只有一个零点．

（II）令H（x）=f（x）-g（x）=e x-ln（x+2），．

由（I）可知：存在x0∈（-1，0）使得，即．

当x∈（-2，x0）时，H'（x）＜0，

当x∈（x0，+∞）时，H'（x）＞

0.==，

∴f（x）＞g（x）．

（II）由（I）知，设直线AB的方程为：x-2=my（m∈R）．

令P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由，

消去x得：y2-8my-16=0，

由根与系数的关系得：y1y2=-16．

直线PB方程为：，即

===．

当x=-2时，

∴，

同理得：，

∴，

∴==

=，

∴，

∴MF⊥NF．

22. 解：（I）由曲线C的参数方程，（β为参数）．

得：

∴曲线C的参数方程化为普通方程为：．

（II）解法一：中点极坐标化成直角坐标为．

设直线l与曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，．则

②-①得，

化简得：．

即．

又∵α∈（0，π），∴直线l的倾斜角为．

解法二：中点极坐标化成直角坐标为，

将分别代入，

得．

∴，

∴，

即．

∴，即

又∵α∈（0，π），

∴直线l的倾斜角为．

23. 解：（I）当a=2时，f（x）=|x-2|（x-2）+|x-2|（x-2），

由f（x）＜0得|x-2|（x-2）+|x-2|（x-2）＜0．

①当x≥2时，原不等式可化为：2（x-2）2＜0，

解之得：x∈∅．

②当x＜2时，原不等式可化为：-2（x-2）2＜0，

解之得x∈R且x≠2，∴x＜2．

因此f（x）＜0的解集为：{x|x＜2}．

（II）当x∈（0，2）时，f（x）=|x-a|（x-2）+|x-2|（x-a）=（x-2）[|x-a|-（x-a）]．由f（x）≥0得（x-2）[|x-a|-（x-a）]≥0，

∴|x-a|≤x-a，

∴x-a≥0，

∴a≤x，x∈（0，2），

∴a≤0，

∴a的取值范围为（-∞，0]．

【解析】

1. 解：由z•i=2i+1，得z=．

故选：B．

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．

2. 解：∵集合A={（x，y）|y=2x}，

B={（x，y）|y=x+1}，

∴A∩B={（x，y）|}，

作出y=2x和y=x+1的图象如下

图：

结合图象得y=2x和y=x+1有两

个交点，

∴A∩B中元素的个数为2．

故选：B．

出y=2x和y=x+1的图象，结合图象得y=2x和y=x+1有两个交点，由此能求出A∩B中元素的个数．

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3. 解：∵平面直角坐标系中，O为坐标原点，

∴sin∠AOx=，cos∠AOx=，∴和x轴的夹角为∠AOx=30°．

若绕点O逆时针旋转60°得到向量，∴∠BOx=30°+60°=90°．

设=（0，b），则=1•1•cos60°=0+b，

∴b=1，即=（0，1），

故选：A．

由题意求得∠BOx=30°+60°=90°，设=（0，b），再利用两个向量的数量积的定义和公

式，求得b的值，可得结论．

本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．

4. 解：b＞a＞0，则|1-a|＜|1-b|，＞，lg a＜lg b，＞．

故选：C．

由b＞a＞0，利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出正误．

本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5. 解：椭圆2x2-my2=1的标准方程为：，一个焦点坐标为（0，），

可得，解得m=，

故选：A．

利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可．

本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．

6. 解：由题意，a，b，c既是等差数列又是等比数列，

则a，b，c是常数数列，即a=b=c．

故A=B=C，

∵180°=A+B+C=3B，

∴B=60°．

故选：C．

本题首先根据a，b，c既是等差数列又是等比数列判断出a，b，c是常数数列，即a=b=c．则有A=B=C，再根据三角形内角和知识可得角B的值．

本题主要考查等差数列和等比数列的综合，以及三角形的基础知识．本题属基础题．7. 解：如图所示建立空间直角坐标系，

不妨设AA1=AB=AC=BC=2．

则A（0，-1，2），B1（，0，0），B（，0，2），C1（0，

1，0），

∴=（，1，-2），=（-，1，-2），

∴cos＜，＞===．如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1=AB=AC=BC=2．利用cos＜，＞=

即可得出．

本题考查了异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8. 解：解三角不等式0≤sin x≤（x∈[0，π]，

得：0≤x或≤x≤π，

由几何概型中的线段型可得：

事件发生的概率为=，

故选：C．

由三角不等式的解法得：0≤x或≤x≤π，由几何概型中的线段型可得事件发

生的概率

本题考查了三角不等式的解法及几何概型中的线段型，属简单题

9. 解：由x+2y=xy（x＞0，y＞0），可得=1，

则2x+y=（2x+y）（）=5+≥5+4=9，

当且仅当且=1，即x=3，y=3时取等号，此时取得最小值9．

故选：B．

利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题

10. 解：结合函数的图象的变换可知，把y=sin x上纵坐标不变，各点横坐标伸长到原来

的2倍可得，y=sin，

再把，y=sin向左平移个单位可得y=sin=sin（）=sin（+）=cos（）．

综上可知，D正确．

故选：D．

结合正弦函数的图象的变换，结合选项中的变换顺序即可判断》

本题主要考查了正弦函数的图象的变换，属于基础试题．

11. 解：由f（2-x）=f（2+x），f（x+2）=-f（x-2），

f（x+4）=-f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=-f（x+4）=f（x），

故f（x）周期为8的奇函数，

f（0）=0，f（1）=e，f（2）=2e2，f（3）=f（1）=e，

f（4）=f（0）=0，f（5）=f（-1）=-f（1）=-e，

f（6）=f（-2）=-2e2，f（7）=f（-1）=-f（1）=-e，f（8）=f（0）=0，

所以f（1）+…+f（8）=e+2e2+e+0-e-2e2-e+0=0

f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=0+f（97）+f（98）+f（99）+f（100）=0+f（1）+f （2）+f（3）+f（4）=e+e+2e2+0=2e2+2e，先判断函数的周期为8，根据题意，结合奇函数求出f（1）到f（8）的值，代入求出即可．

考查函数的周期性和奇偶性的应用，中档题．

12. 解：设MN与x轴交于E，因为四边形

PQMN为正方形，所以△OEN为等腰直角三

角形，所以OE=NE=，由题意可得半径

ON=c，

所以N坐标（c，c），而N是F1F2为直

径的圆交双曲线C的交点，

代入双曲线方程可得：，而b2=c2-a2，

整理可得：c4-4a2c2+2a4=0，离心率e=

所以可得：e4-4e2+2=0，解得e2=2+，所以e=，

故选：A．

由题意画图可得：△ONE为等腰直角三角形，由题意可得N的坐标，而N是以F1F2为直径的圆交双曲线C的交点，代入曲线方程求出a，c之间的关系，再由a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．

考查双曲线的性质，属于中档题．

13. 解：由f（x）=x lnx，得

，

∴f′（1）=ln1+1=1，

即曲线f（x）=x lnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，

则曲线f（x）=x lnx在点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），

整理得：x-y-1=0．

故答案为：x-y-1=0．

求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．

本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．

14. 解：因为cos2x-sin2x==，

=[-sin2x+cos2x]+，

=+，其中cosφ=-，sinφ=．

故A=，b=．

故答案为：，．

由已知结合二倍角公式及辅助角公式先对函数进行化简，然后比对系数即可求解．

本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角函数化简中的应用，属于基础试题．15. 解：因为，所以x≥1且x≤2，所以函数的定义域为[1，2]．

下面求函数y的值域，不妨先求函数y2的值域，令，令g（x）=（x-1）（2-x），x∈[1，2]，所以g（x）∈[0，]，

从而得出f（x）∈[0，1]，所以y∈[-1，1]，即函数的值域为[-1，1]．

只要满足定义域为[1，2]，且值域为[-1，1]的函数均符合题意，例如y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]……

故答案为：y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]或

……（符合题意即可）

分别求出已知函数的定义域和值域，在本题中，求函数的值域相对有一定难度，考虑到函数的解析式中包含根式，所以不妨将其平方，再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数均符合题意．

本题考查了求函数定义域和值域的方法，再者开放性试题还考查到学生对基本初等函数概念与性质的熟练程度，属于基础题．

16. 解：=（（（（（2+）x+1+）x+1+）x+1+）x+1+）x-1

则=0．

故答案为：0．

=

（（（（（2+）x+1+）x+1+）x+1+）x+1+）x-1x=2-代入即可得出．本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

17. （I）由B1C1⊥平面DCC1D1，即可得平面DB1C1⊥平面DCC1D1．

（II）方法一：取G、M、H分别是AB、EB1、A1B1的中点，

连接DG、GM、MH、GH、A1E．可得GMH或其补角是二面角D-EB1-C1的平面角．解三角形即可求二面角D-EB1-C1的余弦值．

方法二：以D1为坐标原点，以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

求得平面DEB1的一个法向量和平面EB1C1的一个法向量即可得二面角D-EB1-C1的余弦值．

本题考查了面面垂直的判定、二面角的求解，属于中档题．

18. （I）X的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，由此能求出事件A发生的概率．

本题考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查相互事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19. （I）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；

（II）运用等比数列的通项公式和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．

本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题．

20. （I）先对函数h（x）求导，然后结合导数研究单调性，进而结合函数的零点判定定理可求；

（II）要证明x＞-2时，f（x）＞g（x），转化为证明H（x）=f（x）-g（x）＞0恒成立，结合导数转化为求函数的最值．

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解零点个数，综合考查了导数与函数性质的综合应用．

21. （Ⅰ）由抛物线的定义可得焦点F的坐标和准线l的方程；

（Ⅱ）设P，A，B的坐标，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之积，再求直线

PA，PB的方程，进而求出M，N 的坐标，求出数量积为0可得MF⊥NF．

考查抛物线的定义及直线与抛物线的综合，属于中档题．

22. （I）由曲线C 的参数方程，（β为参数）．利用平方关系即可得出．（II ）解法一：中点极坐标化成直角坐标为．设直线l与曲线C相交于A （x1，y1），B（x2，y2）两点，．

把A（x1，y1），B（x2，y2）两点坐标代入椭圆方程化简，可得直线的斜率．

解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得，

利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．

本题考查了参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系、参数的意义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

23. （Ⅰ）将a=2代入，分类讨论解不等式即可；

（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质进一步可得|x-a|≤x-a，由此得解．

本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查分类讨论思想及运算能力，属于基础题．

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