走向成功 上海2009高考二模闵行区(文理)

数学试卷（文理科）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚．

2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．

一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，考生应在答题纸上相应编号的空格内

直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．方程的解                   .

2．（理）若直线经过点，且法向量为，则直线的方程是              

（结果用直线的一般式表示）.

（文）计算                   .

3．（理）若函数则                 .

（文）若，则                   .

4．（理）若是偶函数，则实数                   .

（文）若直线经过点，且法向量为，则直线的方程是              

（结果用直线的一般式表示）.

5．（理）在极坐标系中，两点的极坐标分别为、，为极点，则面积为              .

（文）若，则函数的最大值为           .

6．（理）无穷数列的各项和为                   .

（文）若是偶函数，则实数                   .

7．根据右面的框图，该程序运行后输出的结果为       .

8．（理）已知地球半径为公里，位于赤道上两点、分别在东经和上，则、两点的球面距离为           公里（取3.14，结果精确到1公里）. 

（文）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为            .

9．（理）一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球和2个红球，将它们充分混合后，摸得一个白球计1分，摸得一个绿球计2分，摸得一个红球计4分，记随机摸出一个球的得分为，则随机变量的数学期望              .

（文）在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施道程序，则满足程序只能出现在最后一步，且程序和程序必须相邻实施的概率为               .

10．（理）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是              . 

（文）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是              .

11．（理）对于任意，不等式恒成立，则实数的范围为              .

（文）对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为              .

12．（理）通过研究函数在实数范围内的零点个数，进一步研究可得在实数范围内的零点个数为          .

（文）通过研究方程在实数范围内的解的个数，进一步研究可得函数在实数范围内的零点个数为          . 

二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位.

13．（理）“”是“”的                      [答]（    ）

(A) 充分非必要条件.                (B) 必要非充分条件.

(C) 充要条件.                      (D) 既非充分也非必要条件.

（文）“”是“”的                            [答]（    ）

(A) 充分非必要条件.                (B) 必要非充分条件.

(C) 充要条件.                      (D) 既非充分也非必要条件.

14．（理）若，且，则的取值范围是   [答]（    ）

(A).       (B).        (C).       (D).

（文）若，且，则的最大值是                   [答]（    ）

(A) 2.            (B) 3.            (C) 4.            (D) 5.

15．函数图像上的动点到直线的距离为，点到轴的距离为，则                                           [答]（    ）

(A) 5.            (B).          (C).         (D) 不确定的正数.

16．（理）已知椭圆（为参数）上的点到它的两个焦点、的距离之比，且，则的最大值为[答]（    ）

(A).            (B).            (C).            (D).

（文）椭圆上的点到它的两个焦点、的距离之比，且，则的最大值为   [答]（    ）

(A).            (B).            (C).            (D).

三.     解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．

17.（本题满分12分）

（理）已知的最大值为2，求实数的值．

（文）已知的最大值为2，求实数的值．

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

（理）在长方体中，，，，点在棱上移动.

（1）探求等于何值时，直线与平面成角；

（2）点移动为棱中点时，求点到平面的距离．

（文）如图几何体是由一个棱长为2的正方体与一个侧棱长为2的正四棱锥组合而成.

（1）求该几何体的主视图的面积；

（2）若点是棱的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）.

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

课本中介绍了诺贝尔奖，其发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达万美元，假设基金平均年利率为.

（1）请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？

（2）设表示为第()年诺贝尔奖发奖后的基金总额(1998年记为),试求函数的表达式.并据此判断新民网一则新闻 “2008年度诺贝尔奖各项奖金高达168万美元”是否与计算结果相符，并说明理由.

20.（本题满分17分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分7分．

（理）斜率为1的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点、.

（1）若，求的值；

（2）将直线按向量平移得直线，是上的动点，求的最小值．

（3）设，为抛物线上一动点，是否存在直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.

（文）斜率为1的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点、．

（1）求的值；

（2）将直线按向量平移得直线，是上的动点，求的最小值．

（3）设，为抛物线上一动点，证明：存在一条定直线：，使得被以为直径的圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程．

21.（本题满分17分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．

对于数列

（1）当满足（常数）且（常数），

证明：为非零常数列.

（2）当满足（常数）且（常数），

判断是否为非零常数列，并说明理由.

（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广,写出推广后的一个正确结论,并说明理由.

（文）本题共有3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分7分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．

对于数列

（1）当满足（常数）且（常数），

证明：为非零常数列.

（2）当满足（常数）且（常数），

判断是否为非零常数列，并说明理由.

（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广,写出推广后的一个正确结论（不用说明理由）.

闵行区2008学年第二学期高三年级质量调研考试

数学试卷参和评分标准

一、填空题：（每题5分）

1.；        2. 理：、文：；                  　3. 理：0、文：0；

4.理：0、文：；     5.理：；文：40；   6.理：、文：0；

7.；          8.理：、文：；             9.理：、文：；

10.理：、文：；   11.理：、文：0；   12.理：当为大于3的偶数时，个零点；当为大于或等于3的奇数时，个零点、文：个零点.

二、选择题：（每题4分）13.；  14.；  15.； 16. 

三、解答题：

17.（本题满分12分）

(理) 解：按行列式展开可得：

  (3分)

  (6分)

，(9分)

从而可得： ．(12分)

 (文) 解：按行列式展开可得           (3分)

        (6分)

由题意得：   (9分)   ．(12分)

18.（本题满分14分）

（理）解：（1）法一：长方体中，因为点E在棱AB上移动，所以平面，从而为直线与平面所成的平面角，(3分)

中， .  (6分)

法二：以为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴,建立空间直角坐标系，则点，平面的法向量为，设，得，(3分)由，得，故    (6分)

（2）以为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点，，，

从而，，      (3分)

设平面的法向量为，由

令， (5分)

所以点到平面的距离为.  (8分)

（文）解：（1）画出其主视图（如下图）， 

可知其面积为三角形与正方形面积之和.

在正四棱锥中，棱锥的高， (2分)

. (6分)

（2）取中点，联结， 

则为异面直线与所成角.        (2分)

在中，，

又在正四棱锥中，斜高为， (4分)

由余弦定理可得                    (6分)

所以，异面直线与所成的角为.  (8分)

19.（本题满分14分）

解：（1）由题意知：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为

万美元；  (3分)

每项奖金发放额为万美元；  (6分)

（2）由题意知：，

，

所以，（）.       (5分)

2007年诺贝尔奖发奖后基金总额为

2008年度诺贝尔奖各项奖金额为万美元，

与168万美元相比少了34万美元，计算结果与新闻不符.                (8分)

1千万瑞典克朗怎么换成美元成了，137，154，168万美元？

20.（本题满分17分）

（理）

解：（1）设，时，直线：代入中

可得：                                            （2分）

则，由定义可得：.                 （4分）

（2）直线：，代入中，可得： 

则，，设，

则

即  （2分）

由                     （4分）

则

当时，的最小值为．                            （6分）

（3）假设满足条件的直线存在，其方程为，

设的中点为，与以为直径的圆相交于点、，设的中点为，

则，点的坐标为．

，

，                                  （2分）

，

．                    （5分）

令，得，此时为定值， 

故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线． （7分）

（文）（1）设，直线：代入中

可得：                                            （2分）

则，由定义可得：.                 （4分）

（2）由（1）可设，

则

即  （2分）

由，，                       （4分）

则

当时，的最小值为．                              （6分）

（3）设的中点为，与以为直径的圆相交于点、，

设的中点为，则，点的坐标为．

，

，                                （2分）

，

．                         （5分）

令，得，此时为定值， 

故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．   （7分）

21.（本题满分17分）

（理）解：（1）（法一）

当时，，所以；

当时，是一常数，矛盾，所以为非零常数列；      （4分）

（法二）设，则有：，

即

所以，解得.由此可知数列为非零常数列；     （4分）

（2）记，由（1）证明的结论知：为非零常数列.          （2分）

显然，为非零常数列时，不一定为非零常数列,如:非常数数列（为大于的正常数）和常数列为非零常数）均满足题意要求. （5分）

（3）根据不同思维层次表现予以不同评分．

仅推广到3次方或4次方的结论或者是特殊次方的结论     （结论1分，解答1分）

满足（常数）且（常数），则当为奇数时，必为非零常数列；当为偶数时，不一定为非零常数列. 

事实上，记，由（1）证明的结论知：为非零常数列，即为非零常数列.所以当为奇数时，为非零常数列；当为偶数时，不一定为非零常数列.                                             （结论2分，解答2分）

或者：设，即，则,即对一切均为常数，则必有，即有，当为奇数时，，当为偶数时，或者.

满足（常数）且（常数），且为整数，

当均为奇数时，必为非零常数列；否则不一定为常数列. 

事实上，条件（正常数）可以转化为（常数），整个问题转化为，结论显然成立.                                （结论3分，解答3分）

或者：设,即，当为奇数时，有,则，即对一切均为常数，则必有，即有，则，当为偶数时，如反例： ,它既满足次方后是等差数列，又是（不管为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列.

满足（常数）且（常数）,为有理数，, 则必为非零常数列；否则不一定为常数列. 

证明过程同                                      （结论4分，解答3分）

满足（常数）且（常数），且为实数，,

是不等于1的正数数列，则必为非零且不等于1的常数列；否则不一定为常数列. 

事实上，当，为实数时，条件同样可以转化为,记，由第（1）题的结论知：必为不等于1的正常数数列，也即为不等于1的正常数数列，，从而也是不等于1的正常数数列.

（结论5分，解答3分） 

（文）解：（1）（法一）  （2分）

当时，，所以；

当时，是一常数，矛盾，所以为非零常数列；      （5分）

（法二）设，则有：，

即                                         （2分）

所以，解得.由此可知数列为非零常数列；     （5分）

（2）记，由（1）证明的结论知：为非零常数列.          （2分）

显然，为非零常数列时，不一定为非零常数列,如:非常数数列（为大于的正常数）和常数列为非零常数）均满足题意要求. （5分）

（3）根据不同思维层次表现予以不同评分．

仅推广到3次方或4次方的结论或者是特殊次方的结论               （结论1分）

满足（常数）且（常数），则当为奇数时，必为非零常数列；当为偶数时，不一定为非零常数列. 

事实上，记，由（1）证明的结论知：为非零常数列，即为非零常数列.所以当为奇数时，为非零常数列；当为偶数时，不一定为非零常数列.                                                     （结论3分）

或者：设，即，则,即对一切均为常数，则必有，即有，当为奇数时，，当为偶数时，或者.

满足（常数）且（常数），且为整数，

当均为奇数时，必为非零常数列；否则不一定为常数列. 

事实上，条件（正常数）可以转化为（常数），整个问题转化为，结论显然成立.                                        （结论5分）

或者：设,即，当为奇数时，有,则，即对一切均为常数，则必有，即有，则，当为偶数时，如反例： ,它既满足次方后是等差数列，又是（不管为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列.

满足（常数）且（常数）,为有理数，, 则必为非零常数列；否则不一定为常数列. 

证明过程同                                                （结论6分）

满足（常数）且（常数），且为实数，,

是不等于1的正数数列，则必为非零且不等于1的常数列；否则不一定为常数列. 

事实上，当，为实数时，条件同样可以转化为,记，由第（1）题的结论知：必为不等于1的正常数数列，也即为不等于1的正常数数列，，从而也是不等于1的正常数数列.

（结论7分）