《圆和圆的位置关系》教学设计与反思

一、教学目标

（一）知识技能

1．掌握圆和圆的五种位置关系。

2．观察两圆位置关系的变化过程，感受在两圆和各种关系中两圆的半径与圆心距之间的数量关系，从而得到图形的“位置关系”与“数量关系”之间的联系。

（二）数学思考

从运用数量关系来刻画图形位置关系的活动中，进一步增强数感，发展空间观念，同时提高学生用运动变化的观点观察和分析问题的能力。

（三）解决问题

1．让学生经历观察、探究、归纳、总结等过程，从而得到两圆的“位置关系”与“数量关系”之间的联系。能够用“位置关系”得出“数量关系”或是用“数量关系”来判断“位置关系”。

2．在解决问题的过程中，体会“连心线”是研究两圆相交的桥梁。

（四）情感态度

学生经过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索两圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，感受数学中的美感．让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作意识，勇于创新和实践的科学精神。

二、教学重点

圆和圆的“位置关系”所对应的“数量关系”。

三、教学难点

圆与圆的位置关系的等价条件的归纳过程。

四、教学方法

学生动手实践，小组合作学习，教师引导归纳总结。

五、教学媒体

多媒体

六、学生特征分析：

由于九（1）班有44名学生，他们中一半的学习基础较好，学习的能力也比较强，能在课前对将要教学内容进行预习，在课堂上也能积极发言，作业也能完成；但也有部分学困生在知识的理解和动手的能力上存在问题。因此要求他们对本课的内容进行预习熟知。通过预习将教学的重点和难点应放在两圆圆心距与两圆半径间的数量关系的推导总结上。

大部分学生对这节课的学习有很高积极性，加上课件动画中图片和总结圆和圆的位置关系的定义、圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系动画效果采用，学生的学习主动性和探求知识的情绪也会很高，运用课件也能激发他们学习的欲望。

　　但本班学习相对较困难的学生，对重点和难点的理解可能存在一定困惑。对这种个别现象，不做强制性要求，只帮助他们能理解圆和圆的位置关系并记住两圆圆心距与两圆半径间的数量关系即可。

六、教学过程

一、复习导入：请说出点与圆；直线与圆的位置关系，并分别说出判定方法

情景创设：我们生活在丰富多彩的图形世界里，圆与圆组成的图形是我们生活中最常见的画面。比如：自行车的两个轮子、奥运会的会标、皮带轮、红绿灯等照片（大屏幕演示），你还能举出两个圆组成的图形吗？（学生举例）。

设计意图：展现生活中圆与圆组成的图形并由学生举出实例，丰富学生对客观世界中两个圆之间多种不同位置关系的感受，为学生自主探索提供可能。

二、新授

［活动一］

问题1，圆和圆有哪些位置关系？（分组讨论）

教师课前布置好：每人都在纸上画两个半径不等的圆，每个人都准备在纸上移动其中一个圆，让学生观察两圆的位置关系和公共点的个数。

让学生自己画出可能会出现的几种情况，并标清交点的个数（按从远到近的顺序）

设计意图：让学生体会用运动的观点全面观察，正确归纳两圆的位置关系。

问题2，试一试你能不能描述两圆的各种位置关系？

学生思考回答，师生共同总结：

1．两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，如上图中的（1）、（5）、（6），它们又有何区别？讨论得出其中（1）叫外离，（5）（6）叫内含，（6）是两圆同心，是两圆内含的一种特殊情况。

2．两圆只有一个公共点，就说这两圆相切，如上图是的（2）（4），同样找出它们的区别，其中（2）叫外切，（4）叫内切。

3．两圆有两个公共点，就说这两个圆相交，如上图（3）。因此两园的位置关系为：（大屏幕投影）

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．（图1）　

(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．（图2） 

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．（图3）

(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．（图4）

(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图5）．两圆同心是两圆内含的一个特例．（图6）

设计意图：创设一种活动情境让学生依照两圆公共点个数，将两圆的位置进行分类，得到相离、相切、相交，然后引导学生讨论，如何准确的描述两圆更具体的位置关系，学生观察讨论，（1）与（5）、（2）与（4）的区别，从面得出两圆的五种位置关系。

教师重点关注：学生的语言表述能力即表达的准确性。

大屏幕展示圆和圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。

温馨提示：两圆相交连接两个交点的弦叫两圆的公共弦，两个圆相交也有两种情况：即两圆的圆心在公共弦的两侧，两个圆的圆心在公共弦的同侧。教师给出图形。

设计意图：随着学习的深入，知识拓展的宽度逐渐增大，一些问题同学们考虑相交的两种情况，才能全面正确的解决问题。

问题3，两个圆的位置关系发生变化的时候，圆心距d与两个圆的半径R与r（R＞r）之间有没有内在的联系？请同学们交流一下（给出一定的时间）大屏幕演示两圆由远到近的运动情形，让学生观察圆心距d的变化，然后让学生进行归纳。

教师重点关注：学生思考问题的全面性和准确性，尤其是对两圆相交时的圆心距的范围考虑的是否到位。（教师可提示利用三角形三边之间的关系来解决问题）

师生共同总结：（大屏幕出示）

两圆外离d＞R+r

两圆外切d＝R+r

两圆相交R－r＜d＜R+r  (R＞r)

两圆内切d＝R－r (R＞r)

两圆内含d＜R－r(R＞r) 

温馨提示：当R＝r时，两个圆只有外离、外切和相交三种情况，不可能有内切和内含，只可能是重合。

设计意图：让学生感知图形的“位置关系”与“数量关系”常常是相互联系的，“位置关系”决定“数量关系”。反之，“数量关系”又是刻画“位置关系”的一种简明的符号语言，并得到两个圆五种位置关系的判定。　

［活动二］

练习巩固，大屏幕出示：

1、若两圆有唯一公共点，且两圆半径分别为5和2，则两圆圆心距为         。

2、设⊙O和⊙P的半径分别为R、r，圆心距为d。在下列情况下，两圆的位置关系怎样？

（1）R=6，r=3，d=4

（2）R=5，r=2，d=1

（3）R=7，r=3，d

（4）R=5，r=2，d=7

（5）R=4, r=1, d=6

教师重点关注：学生应用 “数量关系”判定两圆“位置关系”的准确性，尤其注意，只有d＞R－ r 或只有d＜R+ r时不能判定两个圆是相交的，只有 R－r＜d＜R+r（R＞r）时才能判定两个圆是相交的。

设计意图：进一步让学生理解新知，并能熟练准确的应用新知，培养学生全面细致的良好思维品质。

3、大屏幕出示问题：

例 如图，OO的半径为4cm，点P是OO外一点，OP=6cm。求

（1）以P为圆心作OP OP与OO外切，小圆OP的半径是多少？

（2）以P为圆心作OP与OO内切，大圆OP的半径是多少？

教师给出图形、板书解答过程。

教师重点关注提醒：学生是否考虑到两圆相切的两种情况，还有就是两圆内切时，因为不知道两圆半径的大小，还要分两种情况进行讨论。

设计意图：培养学生严谨缜密的思维品质，加强“分类讨论”数学思想的训练。

4、拓展联系

试一试：

一块铁板，上面有A、B、C三个点，经测量，AB=13cm,BC=14cm,CA=9cm,以各顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的半径。

教师重点关注：应用新知解决问题的能力，进一步巩固新知。

设计意图：渗透三圆相切的情况，培养学生分析、探究问题的能力。

［活动三］

拓展探索：

两个圆组成的图形是轴对称吗？如果是那么对称轴是什么？如果两圆相切，切点与对称轴有什么关系？提示，学生可以用折纸方法进行探究。（学生分组讨论，小组选代表回答问题）

大屏幕出示：正确结论。

两圆组成的图形是轴对称图形，对称轴是通过两圆圆心的直线（连心线），两圆相切时，因为切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在连心线上即对称轴上。

设计意图：设计折纸活动实质上是让学生感知两圆组成的图形是轴对称图形，并让学生通过自己的活动从心理上认同经过两圆圆心的直线（即连心线）是两圆组成图形的对称轴为探索两相切、两圆相交的性质创设学习情境。

七、小结

这节课你有哪些收获？有何体会？你认为自己的表现如何？

引导学生回顾、思考、交流。

重点关注：

1．学生的归纳总结能力。

2．能否对问题有进一步的思考。

3．能否发表自己的见解，倾听他人的意见，反思学习过程。

4．学生对两圆位置及数量关系的掌握及熟练程度，对拓展知识的理解程度。

设计意图：回顾、总结、矫正、提高学生的自觉形成本节课的知识网络。

八、作业：

1、课本51页，习题3、4、5。

       2、课下探究：相交两圆的连心线与公共弦有什么样的结论。

       3、写一篇数学日记，并解决2—3个问题。

九、板书设计

圆和圆的位置关系

两圆的位置关系           d与r1 、r2 之间的关系            例题板书

外离                         d＞r1＋r2

外切                         d＝r1 ＋r2

相交                  r1 －r2＜d＜r1 ＋r2

内切                         d＝r1 －r2

内含                         d＜r1 －r2

十、教学反思

由于本节圆与圆的位置关系是新课，这节课的内容与上节“直线和圆的位置关系”有密切的联系，但这节课的两圆位置关系远比直线与圆的位置关系复杂。因此，我通过让学生动手操作类比直线与圆的位置关系，猜测两圆可能存在的位置关系，然后经过讨论，归纳确定两圆位置关系的各种情况。在与两圆位置关系相应的三量的数量关系的研究中，鉴于学生已有直线与圆的位置关系中两量（半径、圆心到直线的距离）的数量关系的认知基础，就只运用了类比迁移的方法。这些方法的运用，都是为了充分发挥学生在探求新知过程中的主体作用。

与五种位置关系相应的三量的数量关系的研究中，我采用“先易后难，突破关键”的教学策略。先让学生动手操作解决易于解决的“外离”、“外切”、“内切”时的三量的数量关系，再解决“内含”时的三量的数量关系，最后突破相交时三量的数量关系：r2－r1当然也有不足之处，比如：虽然我竭力提醒自己要体现出以学生为本的课改精神，但在具体操作中还是会不自觉地喜欢代学生表达观点，往往会发生，学生还没把话说完，我已经急着归纳了。今后我会更加努力，争取向课堂要效率。