2018-2019学年重庆一中七年级(下)期末数学试卷

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡中对应的位置.

1．（4分）的相反数是（　　）

A．﹣    B．    C．﹣2    D．

2．（4分）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．（4分）计算：（a2b）3的结果是（　　）

A．a6b    B．a6b3    C．a5b3    D．a2b3

4．（4分）下列事件中，必然事件是（　　）

A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上    

B．打开电视正在播放甲型H1N1流感的相关知识    

C．某射击运动员射击一次，命中靶心    

D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球

5．（4分）估计+1的值（　　）

A．在1和2之间    B．在2和3之间    C．在3和4之间    D．在4和5之间

6．（4分）下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（　　）

A．13cm、7cm、5cm    B．5cm、7cm、3cm    

C．7cm、5cm、12cm    D．5cm、15cm、9cm

7．（4分）要使函数y＝有意义，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥1    B．x≤1    C．x＞1    D．x＜1

8．（4分）如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（　　）

A．95°    B．120°    C．135°    D．无法确定

9．（4分）已知：（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，则x2+3xy+y2的值为（　　）

A．8    B．10    C．12    D．14

10．（4分）如图是由一些长度相等的小木棍组成的图形，图（1）（2）（3）需要的小木棍数量分别为3根、7根、15根，按照这种方式摆下去，第（6）个图形需要的木棍数量为（　　）

A．60根    B．63根    C．127根    D．130根

11．（4分）如图，∠A＝∠EGF，点F为BE、CG的中点，DB＝4，DE＝7，则EG长为（　　）

A．1.5    B．2    C．3    D．5.5

12．（4分）当x＝2+时，代数式x3﹣4x2+4x的值为（　　）

A．0    B．4+2    C．4+4    D．2

二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上.

13．（4分）计算：+（3﹣π）0＝　   　．

14．（4分）前不久我市共有319000人参加了中考，数据319000用科学记数法表示为　   　．

15．（4分）如图，随机向“4×5”的长方形内丢一粒豆子（将豆子看做点），那么这粒豆子落入阴影部分的概率为　   　．

16．（4分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，交BC、AB分别于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝20°，则∠EFB＝　   　度．

17．（4分）如图，在△ABC中，D是AC上一点，AD＝3CD，将△BCD沿BD翻折，得到△BFD，BF交AC于E，连接AF，若BE＝2FE，△ABC的面积为2，则△AEF的面积为　   　．

18．（4分）如图，Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，AD平分∠BAC，点E为AC上一点，且AE＝3CE，在AC上找一点F，AD上找一点P，连接EP、FP，则EP+FP的最小值为　   　．

三、解答题；（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

19．（8分）计算：

（1）（﹣）×2

（2）[（x﹣y）2﹣3y（y﹣x）﹣（x+y）（x﹣y）]．

20．（8分）如图，AB∥CD，GE＝GF，∠NFG＝110°，EG平分∠BEF，求∠DFG的度数．

21．（8分）重庆一中初一年级在“六一儿童节”举行了“礼成人生，礼达天下”的成长仪式，随后在本年级学生中进行了满意度调查，采取随机抽样的调查方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D；并根据调查结果绘制如图两幅不完整统计图：

（1）这次一共调查了　   　名学生，并将条形统计图补充完整；

（2）请在参与调查的这些学生中，随机抽取一名学生，求抽取到的学生对这次成长仪式满意度是“比较喜欢”或“感觉一般”的概率．

四、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

22．（10分）如图，点A，C，D在同一条直线上，BC与AF交于点E，AF＝AC，AD＝BC，AE＝EC．

（1）求证：FD＝AB

（2）若∠B＝50°，∠F＝110°，求∠BCD的度数．

23．（10分）甲从A地出发，匀速步行到B地，同时，乙从B地出发，匀速步行到A地，甲乙两人与A地的距离S（米）与出发时间t（分钟）的关系如图：

（1）直接写出甲、乙两人与A地距离S（米）与出发时间t（分钟）的关系式；

（2）当两人相距2500米时，t为多少分钟？

24．（10分）如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．

（1）求△CDE的面积；

（2）证明：DF+CF＝EF．

五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

25．（12分）材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数．

材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）

（1）17　   　“明三礼”数（填“是”或“不是”）；721是“明　   　礼”数；

（2）求出最小的三位“明三礼”数；

（3）一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32，求出这两个数．

26．（12分）如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、E在边BC上，连接AD、AE，且∠DAE＝45°．

（1）如图1，若∠BAD＝20°，求∠AED的度数；

（2）如图2，若∠BAD＝15°，证明：DE＝2BD；

（3）如图3，过点C作CF⊥AC交AE延长线于点F，再过点F作MF⊥CF交BC于点M，证明：BD＝MD．

2018-2019学年重庆一中七年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡中对应的位置.

1．（4分）的相反数是（　　）

A．﹣    B．    C．﹣2    D．

【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．

【解答】解：根据相反数的含义，可得

的相反数是﹣．

故选：A．

【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．

2．（4分）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，故此选项正确；

故选：D．

【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

3．（4分）计算：（a2b）3的结果是（　　）

A．a6b    B．a6b3    C．a5b3    D．a2b3

【分析】根据幂的乘方和积的乘方，即可解答．

【解答】解：（a2b）3＝a6b3，故选：B．

【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方．

4．（4分）下列事件中，必然事件是（　　）

A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上    

B．打开电视正在播放甲型H1N1流感的相关知识    

C．某射击运动员射击一次，命中靶心    

D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球

【分析】找到一定会发生的事件的选项即可．

【解答】解：A、任意掷一枚均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，是随机事件；

B、打开电视，可能正在播放甲型H1N1流感的相关知识，也可能正在播放其它内容，是随机事件；

C、某射击运动员射击一次，可能命中靶心，也可能脱靶，是随机事件；

D、在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球，是必然事件．

故选：D．

【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．

①必然事件指在一定条件下一定发生的事件；

②不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；

③不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5．（4分）估计+1的值（　　）

A．在1和2之间    B．在2和3之间    C．在3和4之间    D．在4和5之间

【分析】直接利用已知无理数得出的取值范围，进而得出答案．

【解答】解：∵2＜＜3，

∴3＜+1＜4，

∴+1在3和4之间．

故选：C．

【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出的取值范围是解题关键．

6．（4分）下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（　　）

A．13cm、7cm、5cm    B．5cm、7cm、3cm    

C．7cm、5cm、12cm    D．5cm、15cm、9cm

【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．

【解答】解：A、5+7＜13，不能组成三角形，故本选项错误；

B、5+3＞7，能组成三角形，故本选项正确；

C、5+7＝12，不能能组成三角形，故本选项错误；

D、5+9＜15，不能能组成三角形，故本选项错误．

故选：B．

【点评】考查了三角形的三边关系，一定注意构成三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

7．（4分）要使函数y＝有意义，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥1    B．x≤1    C．x＞1    D．x＜1

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．

【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，

解得，x≥1，

故选：A．

【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

8．（4分）如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（　　）

A．95°    B．120°    C．135°    D．无法确定

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据∠BOC+（∠OBC+∠OCB）＝180°即可得出结论．

【解答】解：∵∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，

∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠A﹣∠1﹣∠2＝180°﹣80°﹣15°﹣40°＝45°，

∵∠BOC+（∠OBC+∠OCB）＝180°，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣45°＝135°．

故选：C．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．

9．（4分）已知：（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，则x2+3xy+y2的值为（　　）

A．8    B．10    C．12    D．14

【分析】由于（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，两式相加可得x2+y2的值，两式相减可得xy的值，再整体代入计算即可求解．

【解答】解：∵（x+y）2＝12①，（x﹣y）2＝4②，

∴①+②得2（x2+y2）＝16，解得x2+y2＝8，

①﹣②得4xy＝8，解得xy＝2，

∴x2+3xy+y2＝8+3×2＝14．

故选：D．

【点评】考查了完全平方公式．关键是根据已知条件两式相加求得x2+y2的值，两式相减得xy的值．

10．（4分）如图是由一些长度相等的小木棍组成的图形，图（1）（2）（3）需要的小木棍数量分别为3根、7根、15根，按照这种方式摆下去，第（6）个图形需要的木棍数量为（　　）

A．60根    B．63根    C．127根    D．130根

【分析】由图（1）中木棍数3＝1+2，图（2）中木棍数7＝1+2+2×2，图（3）中木棍数15＝1+2+2×2+2×2×2，得出图（6）中木棍数为1+2+22+23+24+25+26＝127．

【解答】解：∵图（1）中木棍数3＝1+2，

图（2）中木棍数7＝1+2+2×2，

图（3）中木棍数15＝1+2+2×2+2×2×2，

……

∴图（6）中木棍数为1+2+22+23+24+25+26＝127，

故选：C．

【点评】此题考查图形的变化规律，从简单入手，找出图形蕴含的规律，利用规律解决问题．

11．（4分）如图，∠A＝∠EGF，点F为BE、CG的中点，DB＝4，DE＝7，则EG长为（　　）

A．1.5    B．2    C．3    D．5.5

【分析】先证明△ADG和△ABC是等腰三角形，再证明△EGF≌△BCF（SAS），设AD＝x，则DG＝x，根据DE＝7，列方程可得结论．

【解答】解：∵∠A＝∠EGF，∠AGD＝∠EGF，

∴∠A＝∠AGD，

∴AD＝DG，

设AD＝x，则DG＝x，

在△EGF和△BCF中，

∵，

∴△EGF≌△BCF（SAS），

∴BC＝EG，∠E＝∠EBC，

∴EG∥BC，

∴∠AGD＝∠C＝∠A，

∴BC＝AB＝x+4＝EG，

∵DE＝7，

∴x+x+4＝7，

x＝，

∴EG＝x+4＝＝5.5．

故选：D．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．

12．（4分）当x＝2+时，代数式x3﹣4x2+4x的值为（　　）

A．0    B．4+2    C．4+4    D．2

【分析】根据题目中的x的值，可以求得所求代数式的值．

【解答】解：∵x＝2+，

∴x3﹣4x2+4x

＝x（x2﹣4x+4）

＝x（x﹣2）2

＝（2+）×（2+﹣2）2

＝（2+）×2

＝4+2，

故选：B．

【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．

二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上.

13．（4分）计算：+（3﹣π）0＝　3　．

【分析】直接利用立方根的性质和零指数幂的性质化简得出答案．

【解答】解：原式＝2+1

＝3．

故答案为：3．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

14．（4分）前不久我市共有319000人参加了中考，数据319000用科学记数法表示为　3.19×105　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：数据319000用科学记数法表示为3.19×105．

故答案为：3.19×105．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

15．（4分）如图，随机向“4×5”的长方形内丢一粒豆子（将豆子看做点），那么这粒豆子落入阴影部分的概率为　　．

【分析】根据题意，判断概率类型，分别算出长方形面积和阴影面积，再利用几何概型公式加以计算，即可得到所求概率．

【解答】解：阴影面积＝，

长方形面积＝4×5＝20，

这粒豆子落入阴影部分的概率为，

故答案为：

【点评】本题给出丢豆子的事件，求豆子落入指定区域的概率．着重考查了长方形、三角形面积公式和几何概型的计算等知识，属于基础题．

16．（4分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，交BC、AB分别于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝20°，则∠EFB＝　60　度．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．

【解答】解：∵DE垂直平分BC，

∴BE＝EC，

∵BE＝AC，

∴CE＝AC，

∴△ACE是等腰三角形，

∵∠ACE＝20°，

∴∠AEC＝∠A＝80°，

∵BE＝CE，

∴∠EBC＝∠ECB＝，

∵BF平分∠ABC，

∴∠EBF＝，

∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝80°﹣20°＝60°，

故答案为：60

【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答．

17．（4分）如图，在△ABC中，D是AC上一点，AD＝3CD，将△BCD沿BD翻折，得到△BFD，BF交AC于E，连接AF，若BE＝2FE，△ABC的面积为2，则△AEF的面积为　　．

【分析】依据AD＝3CD，△ABC的面积为2，可得S△BFD＝S△DBC＝，依据BE＝2FE，可得S△BDE＝S△BFD＝，S△BCE＝，S△ABE＝2﹣＝，再根据BE＝2FE，即可得到S△AEF＝S△ABE＝．

【解答】解：∵AD＝3CD，△ABC的面积为2，

∴S△BCD＝S△ABC＝×2＝，

由折叠可得，S△BFD＝S△DBC＝，

又∵BE＝2FE，

∴S△BDE＝S△BFD＝×＝，

∴S△BCE＝，

∴S△ABE＝2﹣＝，

又∵BE＝2FE，

∴S△AEF＝S△ABE＝×＝，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了折叠问题，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

18．（4分）如图，Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，AD平分∠BAC，点E为AC上一点，且AE＝3CE，在AC上找一点F，AD上找一点P，连接EP、FP，则EP+FP的最小值为　3.6　．

【分析】如图，作EH⊥AB于H，交AD于G，作F关于AD的对称点F′，连接PF′．因为PF+PE＝PE+PF′，根据垂线段最短可知，当F′与H重合，P与G重合时，PE+PF′最短．

【解答】解：如图，作EH⊥AB于H，交AD于G，作F关于AD的对称点F′，连接PF′．

∵PF+PE＝PE+PF′，

根据垂线段最短可知，当F′与H重合，P与G重合时，PE+PF′最短．

在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，

∵AE＝3EC，

∴AE＝6，

∵∠EAH＝∠BAC，∠EHA＝∠C＝90°，

∴△AEH∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∴EH＝3.6，

∴PF+PE的最小值为3.6．

故答案为3.6．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，角平分线的性质、垂线段最短、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．

三、解答题；（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

19．（8分）计算：

（1）（﹣）×2

（2）[（x﹣y）2﹣3y（y﹣x）﹣（x+y）（x﹣y）]．

【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的乘除法则计算；

（2）先利用乘法公式计算，然后把括号内合并后进行整式的除法运算．

【解答】解：（1）原式＝（4﹣3）÷+2

＝÷+2

＝1+2；

（2）原式＝（x2﹣2xy+y2﹣3y2+3xy﹣x2+y2）÷

＝（﹣y2+xy）÷

＝﹣2y+2x．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了整式的混合运算．

20．（8分）如图，AB∥CD，GE＝GF，∠NFG＝110°，EG平分∠BEF，求∠DFG的度数．

【分析】先根据等腰三角形的性质，得到∠EFG＝70°＝∠FEG，再根据EG平分∠BEF，即可得出∠BEM＝40°，再根据AB∥CD，可得∠DFE＝∠BEM＝40°，最后根据∠DFG＝180°﹣∠DFE﹣∠NFG进行计算即可．

【解答】解：∵GE＝GF，∠NFG＝110°，

∴∠EFG＝70°＝∠FEG，

又∵EG平分∠BEF，

∴∠BEF＝2∠FEG＝140°，

∴∠BEM＝40°，

∵AB∥CD，

∴∠DFE＝∠BEM＝40°，

∴∠DFG＝180°﹣∠DFE﹣∠NFG＝180°﹣40°﹣110°＝30°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

21．（8分）重庆一中初一年级在“六一儿童节”举行了“礼成人生，礼达天下”的成长仪式，随后在本年级学生中进行了满意度调查，采取随机抽样的调查方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D；并根据调查结果绘制如图两幅不完整统计图：

（1）这次一共调查了　50　名学生，并将条形统计图补充完整；

（2）请在参与调查的这些学生中，随机抽取一名学生，求抽取到的学生对这次成长仪式满意度是“比较喜欢”或“感觉一般”的概率．

【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数，计算出选择C的学生数，从而可以将统计图补充完整；

（2）根据统计图中的数据可以分别求得抽取到的学生对这次成长仪式满意度是“比较喜欢”或“感觉一般”的概率．

【解答】解：（1）由题意可得，

本次调查的学生是：15÷30%＝50（名），

故答案为：50，

选择C的学生有：50﹣15﹣20﹣5＝10，补全的条形统计图如右图所示；

（2）由题意可得，

比较喜欢的概率是：，感觉一般的概率是：，

答：抽取到的学生对这次成长仪式满意度是“比较喜欢”的概率是0.4，“感觉一般”的概率是0.2．

【点评】本题考查概率公式、全面调查与抽样调查、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

四、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

22．（10分）如图，点A，C，D在同一条直线上，BC与AF交于点E，AF＝AC，AD＝BC，AE＝EC．

（1）求证：FD＝AB

（2）若∠B＝50°，∠F＝110°，求∠BCD的度数．

【分析】（1）根据SAS即可证明；

（2）利用全等三角形的性质，求出∠BAC，根据∠BCD＝∠B+∠BAC即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵EA＝EC，

∴∠EAC＝∠ECA，

在△AFD和△CAB中，

，

∴△AFD≌△CAB，

∴FD＝AB．

（2）解：∵△AFD≌△CAB，

∴∠BAC＝∠F＝110°，

∴∠BCD＝∠B+∠BAC＝50°+110°＝160°．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．

23．（10分）甲从A地出发，匀速步行到B地，同时，乙从B地出发，匀速步行到A地，甲乙两人与A地的距离S（米）与出发时间t（分钟）的关系如图：

（1）直接写出甲、乙两人与A地距离S（米）与出发时间t（分钟）的关系式；

（2）当两人相距2500米时，t为多少分钟？

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求出甲、乙两人与A地距离S（米）与出发时间t（分钟）的关系式；

（2）根据题意可以得到相应的方程，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）设甲与A地距离S（米）与出发时间t（分钟）的关系式是S＝kt，

20k＝3000，得k＝150，

即甲与A地距离S（米）与出发时间t（分钟）的关系式是S＝150t，

设乙与A地距离S（米）与出发时间t（分钟）的关系式是S＝at+b，

，得，

即乙与A地距离S（米）与出发时间t（分钟）的关系式是S＝﹣100t+3000；

（2）由题意可得，

|150t﹣（﹣100t+3000）|＝2500，

解得，t1＝2，t2＝22，

∵当t＝20时，甲到达A地，

∴将S＝500代入S＝﹣100t+3000，得t＝25，

答：当两人相距2500米时，t为2分钟或25分钟．

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

24．（10分）如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．

（1）求△CDE的面积；

（2）证明：DF+CF＝EF．

【分析】（1）在Rt△ACD中，求出CD即可解决问题；

（2）在EF上取一点M，使得EM＝DF，只要证明△MCF是等边三角形即可解决问题．

【解答】（1）解：在Rt△ADC中，∵AD＝2，∠ADC＝60°，

∴∠ACD＝30°，

∴CD＝CE＝2AD＝4，

∵EC⊥CD，

∴∠ECD＝90°，

∴S△ECD＝•CD•CE＝×4×4＝8．

（2）证明：在EF上取一点M，使得EM＝DF，

∵EC＝CD，∠E＝∠CDF＝45°，

∴△ECM≌△DCF，

∴CM＝CF，

∵∠ADC＝60°，

∠FDB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，

∴∠DFB＝∠CFM＝180°﹣75°﹣45°＝60°，

∴△CFM是等边三角形，

∴CF＝MF，

∴EF＝EM+MF＝DF+CF．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

25．（12分）材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数．

材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）

（1）17　不是　“明三礼”数（填“是”或“不是”）；721是“明　六　礼”数；

（2）求出最小的三位“明三礼”数；

（3）一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32，求出这两个数．

【分析】本题是一道材料阅读题，解答时只需紧扣材料中“明N礼”数的定义和表示方法即可．

【解答】解：（1）17÷3＝5余2，故不是“明三礼”数．

721÷2＝360余1，721÷3＝240余1，721÷4＝180余1，721÷5＝144余1，721÷6＝120余1，

721÷7＝103，故721是“明六礼”数．

（2）可知3和2的最小公倍数是6，

故设此“明三礼”数为6n+1，其中n是正整数．

当它是最小的三位数时，则满足：6n+1≥100，

从而可得：n≥16.5，

∴满足上述条件的最小正整数是17．

所以，最小的三位“明三礼”数是6×17+1＝103．

（3）3和2的最小公倍数是6，3、2的最小公倍数是12，

 故设这个“明三礼”数为6m+1，“明四礼”数为12n+1，其中m，n为正整数．

∵它们的和是32，

∴6m+1+12n+1＝32，

∴m+2n＝5，

又∵m和n是正整数，

∴m＝1，n＝2或m＝3，n＝1，

∴这个“明三礼”数为7，“明四礼”数为25 或“明三礼”数为19，“明四礼”数为13．

【点评】本题重点考查学生对阅读材料的理解和运用，只要把握“明N礼”数的定义和表示方法，便可解决问题．

26．（12分）如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、E在边BC上，连接AD、AE，且∠DAE＝45°．

（1）如图1，若∠BAD＝20°，求∠AED的度数；

（2）如图2，若∠BAD＝15°，证明：DE＝2BD；

（3）如图3，过点C作CF⊥AC交AE延长线于点F，再过点F作MF⊥CF交BC于点M，证明：BD＝MD．

【分析】（1）求出∠EAC，根据∠AED＝∠C+∠EAC计算即可；

（2）如图2中，将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，连接DK．由△DAK≌△DAE，推出∠ADE＝∠ADK＝∠ABD+∠BAD＝60°，DK＝DE，推出∠KDB＝60°，由∠ABK＝∠ABC＝45°，推出∠KBD＝90°，推出∠BKD＝30°，可得DK＝2BD，由此即可解决问题；

（3）延长FM交AB于H，连接DF、DH．只要证明△AHD≌△FMD即可解决问题；

【解答】（1）解：如图1中，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠C＝45°，

∵∠DAE＝45°，∠BAD＝20°，

∴∠EAC＝90°﹣20°﹣45°＝25°，

∴∠AED＝∠C+∠EAC＝25°+45°＝70°．

（2）证明：如图2中，将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，连接DK．

∵∠BAK+∠BAD＝∠BAD+∠EAC＝90°﹣45°＝45°，

∴∠DAK＝∠DAE，

∵AD＝AD，AK＝AE，

∴△DAK≌△DAE，

∴∠ADE＝∠ADK＝∠ABD+∠BAD＝60°，DK＝DE，

∴∠KDB＝60°，

∵∠ABK＝∠ABC＝45°，

∴∠KBD＝90°，

∴∠BKD＝30°，

∴DK＝2BD，

∵DK＝DE，

∴DE＝2BD．

（3）证明：如图3中，延长FM交AB于H，连接DF、DH．

∵CF⊥AC，

∴∠ACF＝90°，

∴∠ACB＝∠FCE＝45°，

∵∠DAE＝45°，

∴∠DAE＝∠FCE，

∵∠AED＝∠CEF，

∴△AED∽△CEF，

∴＝，

∴＝，∵∠AEC＝∠DEF，

∴△AEC∽△DEF，

∴∠DFE＝∠ACE＝45°，

∴∠DAF＝∠DFE＝45°，

∴△ADF是等腰直角三角形，

∴∠ADF＝90°，AD＝DF，

∵FM⊥CF，易证四边形AHCF是矩形，

∴AH＝CF＝FM，∠AHF＝∠ADF，易证∠HAD＝∠DFM，

∴△AHD≌△FMD，

∴DH＝DM，

∵∠DMH＝∠FMC＝45°，

∴△DHM是等腰直角三角形，

∴HD⊥BM，

∵∠B＝45°，

∴BD＝DH＝DM，

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定，矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．