成都市2017届高中毕业班摸底测试文科数学试题成都市零诊试题及参

数学试题(文科)

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1.某班50名学生中有女生20名,按男女比例用分层抽样的方法,从全班学生中抽取部分学生进行调查,已知抽到的女生有4名,则本次调查抽取的人数是( )

A.8

B.10

C.12

D.15

2.对抛物线212x y =,下列判断正确的是( )

A.焦点坐标是(3,0)

B.焦点坐标是(0,3)-

C.准线方程是3y =-

D.准线方程是3x =

3.计算0000sin5cos55cos5sin55+的结果是( ) A.12- B.12

C.2-

D.2

4.已知,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,若,m n αβ⊥⊥,且βα⊥,则下列结论一定正确的是( )

A.m n ⊥

B.//m n

C.m 与n 相交

D.m 与n 异面

5.若实数,x y 满足条件0222x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩

,则2z x y =+的最大值是( )

A.10

B.8

C.6

D.4

6.曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是( )

A.2y x ππ=-+

B.2y x ππ=+

C.2y x ππ=--

D.2y x ππ=-

7.已知数列{}n a 是等比数列,则“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的( )

A.充分不必要条件

B.充分必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

8.若定义在R 上的奇函数()f x 满足：12,x x R ∀∈,且12x x ≠,都有1212

()()0f x f x x x ->-,则称该函数为满足约

束条件K 的一个“K 函数”,有下列函数：①()1f x x =+；②3()f x x =-；③1()f x x =；④()f x x x =,其中为“K 函数”的是( )

A.①

B.②

C.③

D.④

9.设命题0:(0,)p x ∃∈+∞,00132016x x +=；命题1:0,2q x x x

∀>+≥,则下列命题为真命题的是( ) A.p q ∧ B.()p q ⌝∧ C.()p q ∧⌝ D.()()p q ⌝∧⌝

10.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2B C =,2cos 2cos b C c B a -=,则tan C =( )

B. C. 11.已知O 为坐标原点,M 是双曲线22:4C x y -=上的任意一点,过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂

线,垂足为N ,则ON MN ∙的值为( )

A.1

B.2

C.4

D.5

12. 如图1,已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ,,,M N Q 分别是线段1111,,AD B C C D 上的动点,当三棱锥Q BMN -的俯视图如图2所示时,三棱锥Q BMN -四个面中面积最大的是( )

A.MNQ ∆

B.BMN ∆

C.BMQ ∆

D.BNQ ∆

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.计算：lg 42lg5+=_____________.

14.函数32

()44f x x x x =-+的极小值是_____________.

15.已知圆22:2410C x y x y +--+=上存在两点关于直线:10l x my ++=对称,则实数m =_________.

16.已知函数()f x 的导函数为'()f x ,e 为自然对数的底数,若函数()f x 满足'ln ()()x xf x f x x

+=,且1()f e e =,则不等式1()f x x e e

->-的解集是_____________. 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2111,66a S ==.

(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足2n a

n b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .

18.(本小题满分12分)王师傅为响应国家开展全民健身运动的号召,每天坚持“健步走”,并用计步器对每天的“健步走”步数进行统计,他从某个月中随机抽取10天“健步走”的步数,绘制出的频率分布直方图如图所示.(1)试估计该月王师傅每天“健步走”的步数的中位数及平均数(精确到小数点后1位)；

(2)某健康组织对“健步走”结果的评价标准为：

现从这10天中评价级别是“良好”或“及格”的天数里随机抽取2天,求这2天的“健步走”结果属于同一评价级别的概率.

19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,已知

090BAC ∠=,1AB AC ==,12BB =,0160ABB ∠=.(1)证明：1AB B C ⊥；(2)若12B C =,求三棱锥11B CC A -的体积.

20.(本小题满分12分)已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的焦距为2,焦距为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 在y 轴正半轴上的顶点为P ,若直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ,

椭圆C 的左焦点1F 恰为

PAB ∆的垂心(即PAB ∆三条高所在直线的交点),求直线l 的方程.

21.(本小题满分12分)已知函数()x f x e ax =-,其中, 2.71828a R e ∈=为自然对数的底数.

(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若1a =,证明：当12x x ≠,且12()()f x f x =时,120x x +<.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩

(α为参数),在以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标

方程为sin()42

π

ρθ-=.(1)求曲线C 在直角坐标系中的普通方程和直线l 的倾斜角； (2)设点(0,1)P ,若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ,求PA PB +的值.

成都市2014级高中毕业班摸底测试

数学试题(文科)参

一、选择题：1-5.BCDAC 6-10.ACDBA 11-12.BD

二、填空题：13. 2 14. 0 15. -1 16. (0,)e

三、解答题：

17.解：(1)∵1161166S a ==,∴66a =.设公差为d ,∴6155a a d -==,∴1d =.

∴1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⨯=.

(2)由(1),得2n n b =.∴1212(12)2222212n n n n T +-=++

+==--. 18.解：(1)12.3(步) 11.8(步)

(2)则从这4天中任意抽取2天,总的抽法有：121112212212,,,,,a a a b a b a b a b bb ,共6种.

所抽取的2天属于同一评价级别的情况只有12a a ,12b b ,共2种.

∴从统计的这10天中评价级别是“良好”或“及格”的天数里随机抽取的2天,属于同一评价级别的概率是

13.

19.解:(1)在1ABB ∆中,∵22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-∙∙∠=∴1AB =.

又11,2AB BB ==,∴由勾股定理的逆定理,得1ABB ∆为直角三角形.∴1B A AB ⊥.

又CA AB ⊥,1CA B A A =,∴AB ⊥平面1ABC .∵1B C ⊂平面1ABC

∴AB ⊥1B C

(2)易知11111B CC A B CC A C ABC B ABC V V V V ----===.在1AB C ∆中,∵1

12,1BC AB AC ===, 则由勾股定理的逆定理,得1AB C ∆为直角三角形,∴1B A AC ⊥.

又1,B A AB AB AC A ⊥=,∴1B A ⊥平面ABC .∴1B A 为三棱锥1B ABC -的高.

∴11111113326B CC A B ABC ABC V V S B A --∆==

∙∙=⨯= 20.解：(1)∵椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的焦距为2, ∴半焦距1c =.

又已知离心率2

c e a ==,∴22a =.∴21b =.∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=. (2)易知P 为(0,1).

∵椭圆C 的左焦点1(1,0)F -恰为PAB ∆的垂心,∴1PF AB ⊥,同理,1BF PA ⊥.

设直线1,PF AB 的斜率分别是1,PF AB k k ,则11PF AB k k ∙=-.

∵11PF k =,∴1AB k =-.设直线l 的方程为y x m =-+,点,A B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y . 联立2222y x m

x y =-+⎧⎨+=⎩消去y ,可得22

34220x mx m -+-=. ∴212212824043223m x x m m x x ⎧⎪∆=-+>⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎪⎩

.由0∆>,可知23m <. ∵1BF PA ⊥,∴1

0F B PA ∙=.∴221211212(1)(1)2(1)()0x x y y x x m x x m m ++-=+-++-=. ∴222242(1)033

m m m m m -∙+-∙+-=.解得1m =或43m =-. 当1m =时,点P 在l 上,不合题意；当43m =-

时,经检验,符合题意. ∴当且仅当直线l 的方程为43y x =--

时,椭圆C 的左焦点1F 恰为PAB ∆的垂心. 21.解：(1)()x f x e ax =-的定义域为(,)-∞+∞,'()x f x e a =-.

①当0a ≤时,'()0f x >在(,)x ∈-∞+∞时成立,∴()f x 在(,)-∞+∞上单调递增.

②当0a >时,由'()0x f x e a =-=,解得ln x a =.

当x 变化时,'()f x ,()f x 变化情况如下表：

综上所述：当0a ≤时,()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >,()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增,在(,ln )a -∞上单调递减.

(2)当1a =时,()x f x e x =-的定义域为(,)-∞+∞,'()1x f x e =-,由'()10x f x e =-=,解得0x =. 当x 变化时,'()f x ,()f x 变化情况如下表：

∵12x x ≠,且12()()f x f x =,则120x x <<(不妨设12x x <).

设函数1()()()()2,0x x x x F x f x f x e x e

x e x x e -=--=--+=--<.∴'1()2x x F x e e =+-. ∵当0x <时,01x e <<,∴12x x e e

+>.∴当0x <时,'()0F x >.∴函数()F x 在(,0)-∞上单调递增. ∴()(0)0F x F <=,即当0x <时,()()f x f x <-.

∵10x <,∴11()()f x f x <-.又12()()f x f x =,∴21()()f x f x <-.

∵()f x 在(0,)+∞上单调递增,20x <,且10x <-,又21()(

)f x f x <-

,∴21x x <-.∴120x x +<

22.解：(1)易得曲线C 的普通方程为2

214

x y +=.

∵直线l 的普通方程为10x y -+=,∴直线l 的倾斜角为

4

π. (2)显然点(0,1)P 在直线:10l x y -+=上. 在平面直角坐标系xOy 中,直线l

的参数方程是21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).

将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程,得250t +=.

此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点,A B 对应的参数,A B t t ,∴A B PA PB t t +=+=