培优专题3 有理数的巧算(含答案)-

    有理数的巧算，实际上是结合算式的特点，灵活运用有理数的运算律，使之避繁就简，从而提高解题的速度和准确率．由于有理数的巧算常常体现出方法和思维的灵活性，因此是初中数学竞赛试题中，作为考察代数运算能力的一个重要内容．

    在有理数的运算中，除了一些常见的巧算方法外，还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等．

    例1  计算：（-1+÷-）÷（-）×1．

    分析  在运算中合理运用运算律，可以达到简化运算的目的．要做到合理，关键是仔细观察题中数之间的联系．

解：原式＝

=

=．

    练习1

    1．-29×12=_________．

2．1995减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…依次类推，一直减到余下的，试求最后剩下的数．

3．计算：472 6342＋472 6352－472 633×472 635－472 634×472 636．

    例2  计算：3-6+9-12+…+1995-1998+2001-2004．

    分析 此题解法较多，如何根据其特点使运算简而巧是关键．这个题的特点是每一个数均是3的倍数，当提取公因数3后，很容易发现这个和实际上是由668个数组成，且可相邻的两个数为一组，组成334组就可解决．

    解法1：原式=3×（1-2+3-4+…+665-666+667-668）

    =3×[（1-2）+（3-4）+…+（665-666）+（667-668）]

    =3×（-334）

    =-1002．

    解法2：原式=（3-6）+（9-12）+…+（1995-1998）+（2001-2004）

    =-3×334

    =-1002．

    练习2

1．计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+1998-1999-2000+2001+2002-2003-2004．

2．计算：999×998 998 999-998×999 999 998．

3．计算：×+．

    例3  计算：Sn=++…++．

    分析 将每一项拆成两项之差，使得总和中构成相反数的项相消．拆项中常常用到：

    ①=-；

    ②=（-）；

    ③=[-]．

    解：先将假分数化成带分数，并适当拆项．

    由＝1+＝1+（-），

    知：＝1+（1-）

    =1+（-）

    …

因此Sn=n+（1-）+（-）+…+（-）+（-）

=n+1+--

=．

    练习3

1．1-22+32-42+…+992-1002+1012．

    2．+++…+=________．

3．已知：P=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．

     那么P的个位数是________．

例4计算：（++…+）（1+++…+）-

（1+++…+）（++…+）．

    分析  四个括号中均包含++…+，我们可以用一个字母表示它，简化计算．

    解：设++…+＝A，则：

    原式＝（A+）（1+A）-（1+A+）·A

        ＝A+A2++A-A-A2-A=．

    练习4

1．求S=1+3+32+33+…+32005．

2．求1++++…+．

3．比较：Sn=+（n是正整数）与2的大小．

    例5  从A、B两地随机抽取10株麦苗，测得它们的株高分别如下：（单位：cm）

    A：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；

    B：82，84，85，，79，80，91，，79，74．

    问：哪个麦地的麦苗长得高．

    分析 这里问哪个麦地的麦苗长得高，实质上是比较其平均数的大小．在求平均数时，若直接将各数相加求和，计算较麻烦．一般是当一组数据x1，x2，x3…xn的各个数值较大且要求它们的和时，我们可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到y1=x1-a，y2=x2-a，y3=x3-a…，yn=xn-a，那么x1+x2+x3+…+xn=na+（y1+y2+y3+…yn）．

    这里应注意的是，常数a的确定要使得新数据的求和运算尽可能简单．

    解：将上述两组数据分别减去85，得到两组新数据：

    A′：-9，5，-1，1，-4，2，1，-3，0，-2；

    B′：-3，-1，0，4，-6，-5，6，4，-6，-11．

    则A组数据的平均数为：

     [85×10+（-9+5-1+1-4+2+1-3+0-2）]

    =（850-10）=84．

    B组数据的平均数为：

     [85×10+（-3-1+0+4-6-5+6+4-6-11）]

    =（850-18）=83.2．

    ∴A地麦苗长得高．

    练习5

    1．已知如下数表：

    1

    2  3  4

    3  4  5  6  7

    4  5  6  7  8  9  10

    …

    那么第200行所有数的和为__________．

    2．对20名儿童的身高测量如下：（单位：cm）

    97，101，104，98，103，101，99，97，102，96，100，102，88，100，101，96，99，102，105，98．则它们的平均身高是________．

    3．计算下列各数的和．

    49.7，50.3，49，49.3，50.5，49.4，49.8，50.2，50，50.4，49.6，49.7，50.2．

    答案:

    练习1

    1．-359．原式=（-30+）×12=360+=359．

    2．1．原式=1995×（1-）×（1-）×…×（1-）

    =1995××…×

    =1．

3．2

原式=472 635×（472 635-472 633）+472 634×（472 634-472 636）

    =472 635×2-472 634×2

    =（472 635-472 634）×2

    =2．

    练习2

    1．-2004．

    原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（1997+1998-1999-2000）+（2001+2002-2003-2004）

    =-4×501=-2004．

    2．1997．原式=（998+1）×998 998 999-998×（998 998 999+1 001 000-1）

    =998×998 998 999+998 998 999-998×998 998 999-998 998 000+998

    =999+998=1997．

    3．

原式=×++

=×(+1)+ 

=×+

=（+1）×

=×=．

    练习3

    1．5151．原式=（1012-1002）+（992-982）+…+（32-22）+1

    =（101+100）×（101-100）+（99+98）×（99-98）+…+（3+2）×（3-2）+1

    =201+197+…+1

    =

    =5151．

    2．  原式=（1-）+（-）+…+（-）

    =1-=．

    3．5．原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）

    =（22-1）（22+1）…（232+1）

    =（232-1）（232+1）=2-1．

    ∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，故2的末尾数字为6，∴原数的末尾数字为5．

    练习4

    1．．3S=3+32+33+…+32006，

    ∴2S=32006-1，∴S=．

    2．2-．设1+++…+=A．

    则2A=2+1+++…+，∴A=2-．

    3．Sn<2． 2Sn=1++++…+．

    ∴2Sn-Sn=1+（-）+（-）+（-）+…+（-）-

    =1++++…+-

    由练2知1++++…+=2-．

    ∴S=2--<2．

    练习5

    1．159201．第200行的数为：200，201，202…598．

      方法1：200+201+…+598==159201．

方法2：每个数都减去399，则得到一组新数据：

-199，-198，-197…，197，198，199，其和为0，

故200+201+…+598=399×399+0=159201．

2．198.9．将每个数据都减去100得到一组新数据，其和为-11，

故原数据和为：100×20-11=19，故平均身高为99.45．

3．8.1．将原数据的每个数据减去50，得到一组新数据，其和为-1.9，

故原数据和为：50×13-1.9=8.1．