光学教程第七章定稿

7－1 KDP对于波长546nm的光波的主折射率分别为，试求光波在晶体内沿着与光轴成45°角的方向传播时两个许可的折射率。

 解：寻常光的折射率不变， 

非寻常光的折射率由公式求得，其中：  

7－2 一束钠黄光以60°角方向入射到方解石晶体上，设光轴与晶体表面平行，并垂直与入射面，问在晶体中o光和e光夹角为多少？（对于钠黄光，方解石的主折射率，＝1.48）。 

 解：根据题意和光在晶体表面折射的性质，在晶体内折射的o光和e光波矢面与入射面截线为同心圆，o光和e光均服从折射定律。

∵ ∴＝1.48

根据折射定律： ∴

 ∴

由于光轴垂直于入射面，因此o光和e光的光线与波法线方向不分离，所以两折射光线的夹角

7－3 证明单轴晶体中e光线与光轴的夹角和e光波阵面法线与光轴的夹角有如下关系：

证明：单轴晶体中e光的各矢量如图所示，表示e光线方向，表示e光波阵面法线方向，，z轴为光轴方向。则：

 由图中几何关系可知：  

∴ ∴

7－4 证明在单轴晶体中，当时（表示e光波阵面法线与光轴的夹角），e光离散角有最大值，并求出最大值的表达式。

  证明：设e光线与光轴的夹角为，则

对微分，得： ∵

∴

当取最大值时，有  

 由上式可得： 

∴ 此时， 

∴ 

∴ 最大离散角为： 

7－5 波长λ＝632.8nm的氦氖激光器垂直入射到方解石晶片（此时，方解石的主折射率，＝1.48），晶片厚度d＝0.02mm，晶片表面与光轴成50°角，试求晶片内o光和e光的夹角及其各自的振动方向，o光和e光通过晶片后的位相差是多少？

 解：由于入射光垂直入射，因此o光将不偏折地通过晶片，e光的波法线方向也遵守折射定律，垂直于晶片表面。光轴与e光波法线（也是o光方向）的夹角：

θ＝90°－50°＝40°

  由公式，得e光线与光轴的夹角： 

 ∴o光和e光的夹角： 

 光和o光的振动方向如右图所示，其中黑点表示振动方向垂直于纸面，线条表示振动方向在图面内。

 ∵ ∴

∴ o光和e光的位相差： 

7－6 一细光束掠入射单轴晶体，晶体的光轴与入射面垂直，晶体的另一面与折射表面平行。已知o、e光在第二个面上分开的距离是3mm，若no＝1.525，ne＝1.479，计算晶体的厚度。

 解：如图所示，入射角i≈90°。根据题意，o光和e光均满足折射定律，且晶体中的o光和e光折射率大小等于其主折射率，其折射角：

  ∴

 ∴

  由于光轴垂直于入射面，因此o光和e光的光线与波法线方向不分离，所以两折射光线的夹角

  根据图中几何关系：  

其中，AB＝3mm

  ∴OA＝

  ∴晶体厚度

7－7 一块晶片的光轴与表面平行，且平行于入射面，试证明晶片内o光线和e光线的折射角之间有如下关系： 

 证明：如图，以负单轴晶体为例，设入射角为，晶片内的o光的折射角为，o光遵守各向同性介质中的折射定理： 

 ∴

  对于e光，设波法线与光轴的夹角为，则e光的折射率为： 

  由折射定理：

∴

∴ ∴

∴e光与光轴的夹角： 

由图可知，  ∴e光折射角为： 

∴  

7－8 一块负单轴晶成的棱镜如图所示，自然光从左方正入射到棱镜。试证明e光线在棱镜斜面上反射后与光轴夹角由下式决定：，并画出o光和e光的光路，决定它们的振动方向。

证明：正入射的光束垂直于光轴，o光和e光以不同的相速度同向传播，o光的振动方向垂直于主截面，e光的振动方向平行于主截面。当在斜面上反射时，o光服从均匀介质的反射定律，其反射角等于入射角，故反射后沿晶体的光轴方向传播；而e光反射后的波法线方向与光轴成角，折射率变为： 

由图中几何关系，反射角为， 根据各向异性介质的反射公式： 

将代入得：

∴ ∴

∴e光与光轴的夹角

e光和o光的振动方向如右图所示，其中黑点表示振动方向垂直于纸面，线条表示振动方向在图面内。

7－9 一块单轴晶体的光轴垂直于表面，晶体的两个主折射率分别为no和ne，证明当平面波以入射角入射到晶体时，晶体内e光的折射角为： 

 证明：设e光波法线与光轴的夹角为，由折射定理： 

其中，在空气中

由此可得： 

∴e光与光轴的夹角

7－10 方解石晶片的光轴与表面成60°，方解石对钠黄光的主折射率为no＝1.6584，ne＝1.48，问钠黄光在多大的角度下入射（晶体光轴在入射面内），可使晶片内不发生双折射？

 解：不发生双折射时，折射光与光轴平行，，由折射定律：

 ∴

  即当入射角为56°时，晶片内不发生双折射。

7－11 用KDP晶成顶角为60°的棱镜，光轴平行于棱镜棱，KDP对于λ＝0.546μm光的主折射率为no＝1.521，ne＝1.47，若入射光以最小偏向角的方向在棱镜内折射，用焦距为0.15m的透镜对出射的o光、e光聚焦，在谱线上形成的谱线间距为多少？

 解：由于棱镜的光轴平行于折射棱，即光轴垂直于入射面，因此晶体内的o光、e光满足通常的折射定律。根据最小偏向角公式：

 对于o光： 

 对于e光： 

 ∴

 ∴谱面上o、e光形成的谱线间距为：

7－12 由方解石晶成的格兰棱镜，对钠黄光的主折射率no＝1.6584，ne＝1.48，加拿大树胶胶合（n＝1.55），问要获得单一束偏振光，棱镜顶角θ至少几度？如果选取θ＝80°，则有效孔径角为多少？

 解：o光在胶合面上相当于从光密介质射向光疏介质，要得到出射的单一束偏振光，则应使o光在胶合面上发生全反射，临界角：

 垂直入射时在BC面上，入射角等于棱镜顶角  ∴棱镜顶角至少为69.17°

 如图，若入射角过大，则 o光在BC面上的入射角可能小于临界角

当∠1刚好等于临界角时： 

由图中几何关系 

由折射定律： 

∴有效孔径角为： 

7－13 用方解石制成的Nicol棱镜（使沿长边方向入射的光束在棱镜中产生o光全反射）如图所示，今有一束强度为I0的线偏振光沿棱镜的长边方向入射，线偏振光的振动方向与棱镜主截面成45°角，问从棱镜另一端透出的光束的强度是多少？

  解：从棱镜透出的是e光，振动方向在主截面内。设入射光束的振幅为A0（），那么出射光束的振幅是： 

 强度为： 

7－14 线偏振光入射到一块表面和光轴平行的晶片，线偏振光的振动方向与晶片光轴成角，试求o光和e光的相对强度。

 解：如图，设光轴方向为y方向，入射面为yoz平面，则o光的振动方向为x方向，e光的振动方向为y方向。垂直入射的线偏振光与光轴成30°角，设该线偏振光的幅度为A，如图所示，则在x、y方向的分量为： 

 即o光和e光的振幅分别为：

  ∴o光和e光的相对强度

7－15 当通过一检偏器观察一束椭圆偏振光时，强度随着检偏器的旋转而改变，当在强度为极小时，在检偏器前插入一块1/4波片，转动1/4波片使它的快轴平行于检偏器的透光轴，再把检偏器沿顺时针方向转动25°就完全消光，问该椭圆偏振光是左旋还是右旋，椭圆长短轴之比是多少？

 解：椭圆偏振光可以看作是一个光矢量沿长轴方向的线偏振光和一个位相相差π/2的光矢量沿短轴方向的线偏振光的合成。即： 

如图，设短轴方向为x轴，长轴方向为y轴。因此，当转动检偏器，使之透光轴平行于x轴时，强度最小。由题意，插入快轴沿x轴的1/4波片后，透射光为线偏振光，振动方向与x轴成65°，此时

∵快轴沿x轴的1/4波片产生的相位差： 

∴椭圆偏振光的初始位相差 

 表示右旋椭圆偏振光，由图可知，椭圆长轴和短轴之比为： 

7－16 在前后两个偏振器之间插入一块石英的波片，两偏振器的偏振轴夹角为60°，波片的光轴与两偏振器的偏振轴都成30°，问当光强为I0的自然光入射这一系统时，通过第二个偏振器后的光强是多少？

 解：右图可知，两偏振器偏振轴与x轴的夹角分别为：

， 

 自然光通过第一个偏振器后光强为

 ∴通过第二个偏振器后的光强为：

7－17 厚为0.05mm的方解石晶片，其表面平行于光轴，置于两平行偏振器之间，晶片的主截面与它们的偏振轴成45°角，试问在可见光范围内（780nm～390nm），哪些波长的光不能通过？（已知no＝1.6584，ne＝1.48）

 解：由题意，设入射偏振光光强为I0，则透过系统的光强为：

∴当时，，相应波长的光不能通过该系统

这些波长是：  

  在可见光内，下列波长的光不能通过： nm，688nm，637nm，593nm，555nm，521nm，491nm，465nm，441nm，419nm，400nm。

7－18 在两个偏振面正交放置的偏振器之间，平行放置一块厚度为0.856mm的石膏片，当μm时，视场全暗，然后改变光的波长，当μm时，视场又一次全暗，假设快、慢轴方向的折射率差在这个波段范围内与波长无关，试求这个折射率差。

 解：两个偏振器的偏振面正交，通过该系统的光强：  

设快慢轴的折射率差为，则当时，，视场全暗。

由题意：

7－19 将一块锲角为的锲形石英晶片放在两垂直偏振器之间，让钠黄光（nm）通过这一系统，可看到一些平行晶片棱边的明暗条纹，已知石英折射率no＝1.544，ne＝1.553，试求条纹的间距。

 解：通过该系统的光强： 

∴出现暗条纹的位置满足： ＝0，1，2，……

∴两相邻暗纹对应的厚度差： 

锲形角度为 

∴条纹间隔： 

7－20  LiNbO3晶体在μm时，no＝2.29， m/V，试讨论其沿y方向外加电压、光沿z方向传播时的电光延迟和相应的半波电压表达式。

解：如图，当LiNbO3晶体沿y方向外加电压时，折射率椭球的三个主轴方向基本不变，只是主折射率大小变化为：

光沿着z方向传播时，由线性电光效应引起的电光延迟为：

 半波电压为： V

7－21 一CdTe电光晶体，外加电场垂直于（110）面，尺寸为40×5×5mm3，对于光波长μm，它的折射率no＝2.67，电光系数m/V。为保证相位延迟，外加电场为多大？

 解：外加电场垂直于（110）面时，三个感应主折射率分别为：

 电光延迟为： 

  ∴当相位延迟为时，  

  ∴外加电场的大小为：U＝97.7 V

7－22 由KDP晶成的双锲形棱镜偏转器， cm，D＝1.5cm，电光系数m/V，no＝1.51，当U＝1kV时，偏转角为多少？为增大偏转角度，可采用如图所示的多级棱镜偏转器，棱镜的厚度方向平行于光轴，前后相邻的两棱镜光轴方向相反，试求当m＝12时，偏转角为多大？

解：双锲形棱镜偏转器的偏转角为：

 采用多级棱镜时，各棱镜的折射率交替为（）和（），故光束通过L＝后的总偏转角为一个单元偏转角的m倍。

  ∴当m＝12时，总偏转角为： 

7－23 在声光介质中，激励超声波的频率为500MHz，声速为3×105cm/s，求波长为0.55μm的光波由该声光介质产生布拉格衍射时的入射角为多少？

 解：激励超声波产生声驻波，声波波长为： 

∴ 布拉格衍射时的入射角： 

7－24 石英对钠黄光的旋光率为21.7，若将一石英晶片垂直其光轴切割，置于两垂直偏振片之间，问石英片多厚时，透过第二块偏振片的光强最大？

 解：当石英晶片使线偏振光旋转90°时，可使透过第二快偏振片后的光强最大，此时石英片的厚度为：