常微分方程课后习题答案.doc

(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：

1、

解：令，则，

两边对x求导，得

从得时，；

从得，

    为参数，为任意常数.

经检验得    ，（）是方程奇解.

2、

解：令，则，

两边对x求导，得

                 ，

解之得，

所以，

且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.

3、

解：这是克莱洛方程，因此它的通解为，

从  中消去c,

得到奇解.

4、

解：这是克莱洛方程，因此它的通解为，

从  中消去c,

得到奇解.

5、

解：令，则，

两边对x求导，得 

                 ，

解之得，

所以，

可知此方程没有奇解.

6、

解：原方程可化为，

这是克莱罗方程，因此其通解为，

从中消去c，得奇解.

7、

解：令，则，

两边对x求导，得，

所以，

可知此方程没有奇解.

8、

解： 

可知此方程没有奇解.

9、

解：令，则，

两边对x求导，得 

解之得，

所以，

且也是方程的解，但不是方程的奇解.

10、

解： 

这是克莱罗方程，因此方程的通解为，

从中消去c,

得方程的奇解.

（二）求下列曲线族的包络.

1、

解:对c求导，得 x+2c=0,  ,

   代入原方程得，，

   经检验得，是原方程的包络.

2、

解：对c求导，得，

代入原方程得，即，

经检验得是原方程的包络.

3、

解：对c求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0,  ,

代入原方程得.

经检验,得是原方程的包络.

4、

解：对c求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2,

代入原方程得，,

经检验，得是原方程的包络.

(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.

解：设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为，

它与X轴、Y轴的截距分别为，，

按条件有，化简得，

这是克莱洛方程，它的通解为一族直线，

它的包络是，

消去c后得我们所求的曲线.

(四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.

证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，

从中消去p后而得的曲线；

 c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程

中消去c而得的曲线，

显然它们的结果是一致的，是一单因式，

因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解.

                           习题4.1

1.设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有常数或常数，则和在区间上线形无关。

证明：假设在，在区间上线形相关

则存在不全为零的常数，，使得

那么不妨设不为零，则有

显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关

2.证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程

                   （1）

                   （2） 

的解，则+是方程   +的解。

证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解

则：             （3）

                （4）

那么由（3）+（4）得：

+

即+是方程是+的解。

3.试验证0的基本解组为，并求方程的通解。

 证明：由题将代入方程0得： -=0,即是该方程的解，

同理求得也是该方程的解

又显然线形无关，故是0的基本解组。                 由题可设所求通解为： ，则有：

解之得： 

故所求通解为： 

4.试验证0有基本解组t，，并求方程

t-1的通解。

解：由题将t代入方程0得：

     ，即t为该方程的解

     同理也是该方程的解，又显然t，线形无关，

     故t，是方程0的基本解组

由题可设所求通解为，则有：

解之得： 

故所求通解为

5.以知方程0的基本解组为，求此方程适合初始条件的基本解组（称为标准基本解组，即有）并求出方程的适合初始条件的解。

 解：时间方程0的基本解组，故存在常数使得： 

于是： 

令t=0,则有方程适合初始条件，于是有：

解得：    故

又该方程适合初始条件，于是：

解得：   故

显然，线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：

，   

而此方程同时满足初始条件，于是：

解得： 

故满足要求的解。

6.设是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为，试证明满足一阶线形方程，因而有：

 解： 

又满足

即

则： 

即       则有： 

即：     

7.假设是二阶齐线形方程（*）的解，这里 

在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：；（2）方程的通解可以表示为：,其中为常数, 

　证：（１）

（２）因为为方程的解，则由刘维尔公式

       两边都乘以则有：，于是：

从而方程的通解可表示为：,其中为常数,。

8.试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。

 证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）的一个解，则：  （1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。

    事实上：假设存在常数，使得：

（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！

从而有

又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，

故有： 

    即（1）是线形无关的。

习题4.2

1.解下列方程

（1）

 解：特征方程

故通解为x=

(2) 

解：特征方程

有三重根

故通解为x=

（3）

解：特征方程

有三重根， 2， -2

故通解为

（4） 

解：特征方程有复数根-1+3i, -1-3i

   故通解为

(5) 

解：特征方程有复数根

故通解为

(6) 

解：特征方程有根a, -a

当时，齐线性方程的通解为s=

代入原方程解得

故通解为s=-

当a=0时,代入原方程解得

故通解为s=-

(7) 

解：特征方程有根2,两重根1

齐线性方程的通解为x=

又因为0不是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=-4，B=-1

故通解为x=-4-t

(8) 

解：特征方程

故齐线性方程的通解为x=

取特解行如代入原方程解得A=1，B=0,C=1

故通解为x=+

(9) 

解：特征方程有复数根

故齐线性方程的通解为

取特解行如代入原方程解得A=

故通解为

(10) 

解：特征方程有根-2, 1

故齐线性方程的通解为x=

因为+-2i不是特征根

取特解行如代入原方程解得A=

故通解为x=

（11）

解：特征方程有复数根

故齐线性方程的通解为    1是特征方程的根，故代入原方程解得A=

故通解为+

（12）

解：特征方程有2重根-a

当a=-1时，齐线性方程的通解为s=,

1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=

通解为s=,

当a-1时，齐线性方程的通解为s=,

1不是特征方程的根，故代入原方程解得A=

故通解为s=+

（13）

解：特征方程有根-1, -5

故齐线性方程的通解为x=

2不是特征方程的根，故代入原方程解得A=

故通解为x=+

（14）

解：特征方程有根-1+i, -1-i

故齐线性方程的通解为

    不是特征方程的根, 取特解行如代入原方程解得A=

故通解为+

(15) 

解：特征方程有根i, - i

故齐线性方程的通解为

,i,是方程的解代入原方程解得

A= B=0 故

    代入原方程解得

A= B=0 故

故通解为

习题5.1

1.给定方程组

x=x   x=       （*）

 a)试验证u(t)=,v(t)=分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)=, v(0)=的解.

 b)试验证w(t)＝cu(t)+cv(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)=的解，其中是任意常数.

 解：a)      u(0)= = 

             u (t)= = u(t)

        又  v(0)= = 

            v (t)= = =v(t)

因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.

b)     w(0)= u(0)+ u(0)= +=

       w (t)= u (t)+ v (t)

           = +

           =

           =

           =w(t)

因此 w(t)是给定方程初值问题的解.

2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：

a) x+2x+7tx=e,x(1)=7, x (1)=-2

b) x+x=te,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0

c) 

           x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1

解：a）令 x＝x, x= x, 得

     即 

又 x＝x(1)=7  x (1)= x (1)=-2

于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：

x＝   x(1)＝

其中 x＝.

   b) 令＝x  ＝  ＝  ＝则得：

     且  (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,

         (0)= (0)=0

于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：

=   x(0)=, 其中 x=.

c) 令w＝x， w＝，w＝y，w＝y，则原初值问题可化为：

    且

  即  w

     w(0)=   其中 w＝

3. 试用逐步逼近法求方程组

             ＝x   x＝

   满足初始条件    

              x(0)= 

  的第三次近似解.

  解： 

习题5.2

02412—02  02412—03

1.试验证=

是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。

解：令的第一列为(t)= ,这时(t)= = (t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)= =  (t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。

2.考虑方程组x=A(t)x        (5.15)其中A(t)是区间a上的连续nn矩阵，它的元素为a (t),i ,j=1,2,…,n

a)如果x (t),x (t),…,x (t)是(5.15)的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式W[x (t),x (t),…,x (t)] W(t)满足下面的一阶线性微分方程W=[a (t)+a (t)+…+a (t)]W

b)解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t)e t,t [a,b]

解：w (t)= + +…+

=+…+=+…+整理后原式变为

（a+…+a）=（a+…+a）w(t)

=（a (t)+…+a (t)）w(t)

b)由于w (t)=[ a (t)+…+a (t)] w(t),即=[ a (t)+…+a (t)]dt

两边从t到t积分ln-ln=即w(t)=w(t)e,t [a,b]

3.设A(t)为区间a上的连续nn实矩阵，为方程x=A(t)x的基解矩阵，而x= (t)为其一解，试证：

a)对于方程y=-A (t)y的任一解y= (t)必有 (t) (t)=常数；

b) (t)为方程y=-A (t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使 (t) (t)=C.

解a)[  (t) (t)] =  (t)+  (t)=  (t)+  (t)A(t) 

又因为=-A (t) (t)，所以=- (t) A(t)

[ (t) (t)] =-  (t) (t)A(t)+  (t) A(t) (t)=0,

所以对于方程y=-A (t)y的任一解y= (t)必有 (t) (t)=常数

b)“”假设为方程y=-A (t)y的基解矩阵，则

[ (t) (t)] = [(t)] + (t) (t)=[- A (t) (t)] +  (t) A (t) ) +  (t)[ A(t) (t)]=-  (t) A (t) + (t) A (t) =0,故 (t) (t)=C

“”若存在非奇异常数矩阵C，detc0,使 (t) (t)=C，

则[ (t) (t)] =  (t)+  (t)=0，故 (t) (t)=-  (t) (t)A(t)  (t)=-  (t) A(t) 所以 (t)=-  (t) A(t),  (t)=-  (t) A (t)即(t)为方程y=-A (t)y的基解矩阵

4.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:

 (t)= (t- t)其中t为某一值. 

证明：（1）, (t- t)是基解矩阵。

   （2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以 (t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时， (t) (t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得 (t)= (t- t)

5.设A(t),f(t)分别为在区间a上连续的nn矩阵和n维列向量，证明方程组x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。

证明：设x,x,…x是x=A(t)x的n个线性无关解，是x=A(t)x+f(t)的一个解，则x+, x+,…, x+,都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数C,(I=1,2,…,n)使得+c=0,从而x+, x+,…, x+,在a上线性相关，此与已知矛盾，因此x+, x+,…, x+,线性无关，所以方程组x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。

6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：

    的解，则是方程组

    的解。    

证明：  （1）      （2）

分别将代入（1）和（2）

则           

则

令

即证   

7．考虑方程组，其中

a)试验证   是的基解矩阵；

b)试求的满足初始条件的解。

证明：a)首先验证它是基解矩阵

以表示的第一列   

则

故是方程的解

如果以表示的第二列  

我们有

故也是方程的解

从而是方程的解矩阵

又

故是的基解矩阵；

b)由常数变易公式可知，方程满足初始条件的解

而

8、试求，其中

满足初始条件

的解。

解：由第7题可知的基解矩阵   

则

若方程满足初始条件

则有

若

则有9、试求下列方程的通解：

a) 

解：易知对应的齐线性方程的基本解组为

这时

由公式得

    通解为

b) 

解：易知对应的齐线性方程的基本解组为

    是方程的特征根

故方程有形如的根

代入得

故方程有通解

c) 

解：易知对应的齐线性方程对应的特征方程为故方程的一个基本解组为

因为是对应的齐线性方程的解

故也是原方程的一个解

故方程的通解为

10、给定方程其中f(t)在上连续，试利用常数变易公式，证明：

a)如果f(t)在上有界，则上面方程的每一个解在上有界；

b)如果当时，，则上面方程的每一个解（当时）。

证明：a) 上有界

    存在M>0,使得

又是齐线性方程组的基本解组

非齐线性方程组的解

又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t)，都存在固定的常数

使得

从而

故上面方程的每一个解在上有界

b) 时， 

当t>N时

由a)的结论

故时，原命题成立 

11、给定方程组           （5.15）

这里A(t)是区间上的连续矩阵，设是（5.15）的一个基解矩阵，n维向量函数F(t,x)在，上连续，试证明初值问题：             （*）

的唯一解是积分方程组

        （**）

的连续解。反之，（**）的连续解也是初值问题（8）的解。

证明：若是（*）的唯一解

则由非齐线性方程组的求解公式

即（*）的解满足（**）

反之，若是（**）的解，则有

两边对t求导：

即（**）的解是（*）的解

习题5.3

1、假设A是nn矩阵，试证：

a)对任意常数、都有

exp(A+A)=expA·expA

b)对任意整数k,都有

(expA) =expkA

                 (当k是负整数时，规定(expA)＝[(expA)])

证明：a) ∵（A）·（A）＝（A）·（A）

 ∴ exp(A+A)= expA·expA

b) k>0时，(expA)＝expA·expA……expA

                  ＝exp（A+A+……+A）

                  ＝expkA

    k<0时，-k>0

            (expA)＝[(expA)] =[exp(-A)] = exp(-A)·exp(-A)……exp(-A)

                   ＝exp[(-A)(-k)]

                   ＝expkA

 故k，都有(expA) =expkA

2、试证：如果是=Ax满足初始条件＝的解，那么

＝[expA(t-t)]

证明：由定理8可知＝Ф(t)Ф-1(t0)＋Ф(t) 

又因为Ф(t)= expAt , Ф-1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0),  f(s)=0,

又因为矩阵 （At）·（- At0）=（- At0）·（At）

所以＝[expA(t-t)]

3、试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量

a）             b）

c）         d）

解：a）det（E－A）==(－5)( +1)=0

∴=5,  =－1

对应于=5的特征向量u=,  ()

对应于=－1的特征向量v=, ()

b)det（E－A）=(+1)( +2)(－2)＝0

∴＝－1，＝2，＝－2

对应于＝－1的特征向量u1＝， （ 0 ）

对应于＝2的特征向量u2＝，  （  ）

对应于＝－2的特征向量u3＝，  （  ）

c）det（E－A）=＝(+1)2(－3)＝0

   ∴＝－1（二重），＝3

对应于＝－1（二重）的特征向量u＝， （ 0 ）

对应于＝3的特征向量v＝,  （  ）

d)det（E－A）==(+3)( +1)( +2)=0

   ∴＝－1，＝－2，＝－3

   对应于＝－1的特征向量u1＝， （ 0 ）

   对应于＝－2的特征向量u2＝，  （  ）

   对应于＝－3的特征向量u3＝，  （  ）

4、试求方程组=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为：

a）         b）

c）       d）

解：a）det（E－A）=0得＝，＝－

对应于的特征向量为u＝， （ 0 ）

对应于的特征向量为v＝，  （  ）

∴u＝，v＝是对应于，的两个线性无关的特征向量

Ф(t)=是一个基解矩阵

 ExpAt=

b)由det（E－A）=0得＝5，＝－1

解得u＝，v＝是对应于，的两个线性无关的特征向量

则基解矩阵为Ф(t)＝

Ф(0)＝     Ф－1(0)＝

则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝

  c） 由det（E－A）=0得＝2，＝－2，＝－1

      解得基解矩阵Ф(t)＝

Ф－1(0)＝

           则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝

d）由det（E－A）=0得＝－3，＝2＋，＝2－

   解得基解矩阵Ф(t)＝

则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝

5、试求方程组=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件

   解：a）由第4题（b）知，基解矩阵为

          所以

b）由第4题（d）知，基解矩阵为

  Ф(t)＝ 

所以

c)由3（c）可知，矩阵A的特征值为＝3，＝－1（二重）

   对应的特征向量为u1＝，u2＝

   ∴＝＋

   解得

＝

6、求方程组=Ax＋f（t）的解：

解：a）令=Ax的基解矩阵为Ф(t)

解得Ф(t)＝， 则Ф－1(t)＝

Ф－1(0)＝

求得＝

b）由det（E－A）=0得＝－1，＝－2，＝－3

   设对应的特征向量为v1，则

   （E－A）v1=0，得v1＝

    取v1＝，同理可得v2 ＝，v3＝

    则Ф(t)＝

从而解得

c）令=Ax的基解矩阵为Ф(t)

由det（E－A）=0得＝1，＝2

解得对应的基解矩阵为Ф(t)＝

∴Ф－1(t)＝  从而Ф－1(0)＝

∴

7、假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐线性方程组

   有一解形如

   其中c，p是常数向量。

   证：要证是否为解，就是能否确定常数向量p

则p（mE－A）＝c

由于m不是A的特征值

故

mE－A存在逆矩阵

那么p＝c（mE－A）－1    这样方程就有形如的解

8、给定方程组

a）试证上面方程组等价于方程组u’=Au,其中

u＝，A=

b）试求a）中的方程组的基解矩阵

c）试求原方程组满足初始条件

x1(0)=0,  x1’(0)=1,  x2(0)=0

的解。

 证：a）令   则方程组①化为

即u’＝  u’=Au   ①

反之，设x1=u1,x1’=u2,x2=u3    则方程组②化为

b）由det（E－A）=0得＝0，＝1，＝2

由  得

同理可求得u2和u3

取

则是一个基解矩阵

c）令，则①化为等价的方程组①且初始条件变为而②满足此初始条件的解为：

    ③

于是根据等价性，①满足初始条件的解为③式

9、试用拉普拉斯变换法解第5题和第6题。

证明：略。

10、求下列初值问题的解：

解：a)根据方程解得＝，＝－

∴＝t＋，＝－t＋

∵

∴0＋＝1   ∴＝1    ∴＝t＋1

∵

∴－0＋＝0    ∴＝0    ∴＝－t

综上：＝t＋1

      ＝－t

b）对方程两边取拉普拉斯变换，得

   解得

∴

c）对方程两边取拉普拉斯变换，得

11、假设y＝是二阶常系数线性微分方程初值问题

         的解，试证是方程

         的解，这里f（x）为已知连续函数。

 证明：y＝

       ∵y’＝ 

∴

习题6.3     

1.试求出下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态

 (1) 

解:  由得奇点(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2)

对于奇点(0,0),   A=    由=0得=1>0, =1/2>0

所以不稳定 

对于奇点(0,2),令X=x,Y=y-2,   则A=    得=-1, =-1/2

所以渐进稳定

同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定

        对于奇点(1/2,1/2),驻定解渐进不稳定

(2) 

解:   由  得奇点(0,0),(1,2),(2,1)

对于奇点(0,0)可知不稳定

对于奇点(1,2)可知不稳定

对于奇点(2,1)可知渐进稳定

(3) 

解:由得奇点(0,0),(-1/,0)

对于奇点(0,0)   驻定解不稳定

对于奇点(-1/,0)   得驻定解不稳定

(4) 

解:   由得奇点(0,0),(1,1)

对于奇点(0,0)得驻定解不稳定

对于奇点(1,1)得驻定渐进稳定

2.研究下列纺车零解的稳定性

(1) 

解: =1>0, =5>0, =6>0

>0 =1>0 所以零解渐进稳定

(2) 

解:A=   由=0得

   得=, =

i)  +1/2<0 即<-1/2,渐进稳定

ii)  +1/2>0 即>-1/2不稳定

iii)  +1/2=0 即=-1/2稳定