2020年高考文科数学全国卷2-答案

文科数学答案解析

一、选择题

1．【答案】D

【解析】解绝对值不等式化简集合的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.

因为，，

所以.

故选：D.

【考点】绝对值不等式的解法，集合交集的定义

2．【答案】A

【解析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.

故选：A.

【考点】复数的乘方运算性质

3．【答案】C

【解析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足，从开始，利用列举法即可解出．

根据题意可知，原位大三和弦满足：．

∴；；；；．

原位小三和弦满足：．

∴；；；；．

故个数之和为10．

故选：C．

【考点】列举法的应用

4．【答案】B

【解析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.

由题意，第二天新增订单数为，

故需要志愿者名.

故选：B

【考点】函数模型的简单应用

5．【答案】D

【解析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.

由已知可得：.

A：因为，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意.

故选：D.

【考点】平面向量数量积的定义和运算性质，两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直

6．【答案】B

【解析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.

设等比数列的公比为，

由可得：，

所以，

因此.

故选：B.

【考点】等比数列的通项公式的基本量计算，等比数列前项和公式的应用

7．【答案】C

【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值.

模拟程序的运行过程

第1次循环，，为否

第2次循环，，为否

第3次循环，，为否

第4次循环，，为是

退出循环

输出.

故选：C.

【考点】求循环框图的输出值

8．【答案】B

【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.

由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为，则圆的半径为，

圆的标准方程为.

由题意可得，

可得，解得或，

所以圆心的坐标为或，

圆心到直线的距离均为；

所以，圆心到直线的距离为.

故选：B.

【考点】圆心到直线距离的计算

9．【答案】B

【解析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.

双曲线的渐近线方程是

直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点

不妨设为在第一象限，在第四象限

联立，解得

故

联立，解得

故

面积为：

双曲线

其焦距为

当且仅当取等号

的焦距的最小值：

故选：B.

【考点】求双曲线焦距的最值问题

10．【答案】A

【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，

再根据函数的单调性法则，即可解出．

因为函数定义域为，其关于原点对称，而，

所以函数为奇函数．

又因为函数在上单调递增，在上单调递增，

而在上单调递减，在上单调递减，

所以函数在上单调递增，在上单调递增．

故选：A．

【考点】利用函数的解析式研究函数的性质

11．【答案】C

【解析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.

设球的半径为，则，解得：.

设外接圆半径为，边长为， 

是面积为的等边三角形，

，解得：，，

球心到平面的距离.

故选：C.

【考点】球的相关问题的求解

12．【答案】A

【解析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.

由得：，

令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，

，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【考点】对数式的大小的判断问题

二、填空题

13．【答案】

【解析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.

.

故答案为：.

【考点】余弦的二倍角公式的应用

14．【答案】25

【解析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.

是等差数列，且，

设等差数列的公差

根据等差数列通项公式：

可得

即：

整理可得：

解得：

根据等差数列前项和公式：

可得：

.

故答案为：.

【考点】求等差数列的前项和

15．【答案】8

【解析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线，在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.

不等式组表示的平面区域为下图所示：

平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，

此时点的坐标是方程组的解，解得：，

因此的最大值为：.

故答案为：.

【考点】线性规划的应用，数形结合思想

16．【答案】①③④

【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.

对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，为真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为：①③④.

【考点】空间中线面关系有关命题真假的判断

三、解答题

17．【答案】（1）

（2）因为，所以，

即①，

又②，将②代入①得，，

即，而，解得，

所以，

故，

即是直角三角形．

【解析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；

因为，所以，

即，

解得，又，

所以；

（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，

再根据勾股定理或正弦定理即可证出．

因为，所以，

即①，

又②，将②代入①得，，

即，而，解得，

所以，

故，

即是直角三角形．

【考点】诱导公式和平方关系的应用

18．【答案】（1）

（2）

（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，

在各层内按比例抽取样本，

在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.

【解析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；

样区野生动物平均数为，

地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为；

（2）利用公式计算即可；

样本的相关系数为

（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.

由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样

先将植物覆盖面积按优中差分成三层，

在各层内按比例抽取样本，

在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.

【考点】平均数的估计值、相关系数的计算，抽样方法的选取

19．【答案】（1）

（2）：，：.

【解析】（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；

解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：，所以抛物线的方程为，其中.

不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，

所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；

又因为抛物线的方程为，所以当时，有，

所以的纵坐标分别为，，故，.

由得，即，解得（舍去），.

所以的离心率为.

（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；

由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.

由已知得，即.

所以的标准方程为，的标准方程为.

【考点】椭圆的离心率，椭圆和抛物线的标准方程，椭圆的四个顶点的坐标，抛物线的准线方程

20．【答案】（1）分别为，的中点，

又

在等边中，为中点，则

又侧面为矩形，

由，平面

平面

又，且平面，平面，

平面

又平面，且平面平面

又平面

平面

平面

平面平面

（2）24

【解析】（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；

分别为，的中点，

又

在等边中，为中点，则

又侧面为矩形，

由，平面

平面

又，且平面，平面，

平面

又平面，且平面平面

又平面

平面

平面

平面平面

（2）根据已知条件求得和到的距离，根据椎体体积公式，即可求得.

过作垂线，交点为，

画出图形，如图

平面

平面，平面平面

又

为的中心.

故：，则，

平面平面，平面平面，

平面

平面

又在等边中

即

由（1）知，四边形为梯形

四边形的面积为：

，

为到的距离，

.

【考点】证明线线平行和面面垂直，求四棱锥的体积

21．【答案】（1）；

（2）在区间和上单调递减，没有递增区间

【解析】（1）不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；

函数的定义域为：

，

设，则有，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以当时，函数有最大值，

即，

要想不等式在上恒成立，

只需；

（2）对函数求导，把导函数分子构成一个新函数，再求导得到，根据的正负，判断的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性.

因此，设，

则有，

当时，，所以，单调递减，因此有，即

，所以单调递减；

当时，，所以，单调递增，因此有，即，所以单调递减，

所以函数在区间和上单调递减，没有递增区间.

【考点】利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数判断含参函数的单调性

22．【答案】（1）；；

（2）.

【解析】（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；

由得的普通方程为：；

由得：，两式作差可得的普通方程为：.

（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.

由得：，即；

设所求圆圆心的直角坐标为，其中，

则，解得：，所求圆的半径，

所求圆的直角坐标方程为：，即，

所求圆的极坐标方程为.

【考点】极坐标与参数方程的综合应用问题

23．【答案】（1）

（2）

【解析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；

当时，.

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为.

（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.

（当且仅当时取等号），

，解得：或，

的取值范围为.

【考点】绝对值不等式的求解，利用绝对值三角不等式求解最值的问题