考研数学一(填空题)模拟试卷45(题后含答案及解析)

题型有：1.  

1． 设随机变量X服从均值为10，均方差为0．02的正态分布，已知，Φ(2．5)=0．9938，则X落在区间(9．95，10．05)内的概率为_______．

正确答案：0．9876

解析：由题意，X～N(10，0．022)，∴P{9．95＜X＜10．05)==Φ(2．5)-Φ(-2．5)=2Φ(2．5)-1=2×0．9938-1=0．9876 知识模块：概率论与数理统计 

2． 设则d2y／dx2=_______．

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学 

3． 函数f(x)=｜4x3—18x2+27｜在区间[0，2]上的最小值为______，最大值为______。

正确答案：0；27

解析：令φ(x)=4x3—18x2+27，则所以φ(x)在[0，2]上单调递减，φ(0)=27，φ(2)= —13，由介值定理知，存在唯一x0∈(0，2)，使φ(x0)=0。且f(0)=27，f(x0)=0，f(2)=13，因此，f(x)在[0，2]上的最小值为0，最大值为27。 知识模块：一元函数微分学 

4． 设∫xf(x)dx=arcsinx+C，则=___________。

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学 

5． 已知随机变量X与Y同分布，且X的分布函数为F(x)，记Z=max(X，Y)，则(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=________．

正确答案：

解析：已知X与Y且有相同分布F(x)，所以(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=P{X≤x，max(X，Y)≤z}=P{X≤x，X≤z，Y≤z} 知识模块：概率与数理统计 

6． 

正确答案：1

解析： 知识模块：一元函数积分学 

7． D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则=________。

正确答案：

解析：圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域可用极坐标表示为 知识模块：高等数学 

8． 积分=__________。

正确答案：1-sin1

解析： 知识模块：高等数学 

9． 设A是3阶实对称矩阵，满足A2＝2A2＋5A－6E，且kE＋A是正定阵，则k的取值范围是_______．

正确答案：k＞2

解析：根据题设条件，则有A3－2A2－5A＋6E＝O，    设A有特征值λ，则人满足条件λ3－2λ2－5λ＋6＝0，将其因式分解可得    λ3－2λ2－5λ＋6＝(λ－1)(λ＋2)(λ－3)＝0，    因此可知矩阵A的特征值分别为1，－2，3，故kE＋A的特征值分别为k＋，k－2，k＋3，且当k＞2时，kE＋A的特征值均为正数．故k＞2． 知识模块：二次型 

10． 设无穷长直线L的线密度为1，引力常数为k，则L对距直线为a的单位质点A的引力为_________．

正确答案：

解析：如图6—3所示．取L为x轴，y轴过点A，在L上任意取小线段[x，x+dx]，它对点A的引力沿y轴方向分量为dFy= 知识模块：多元函数积分学 

11． 设f(x，y)=_____.

正确答案：-1

解析：因为 知识模块：高等数学 

12． 设X服从参数为λ的指数分布，对X作三次重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为，则λ=__________．

正确答案：

解析：记A={X＞2)，Y=“对X作三次重复观察A发生的次数” 知识模块：概率与数理统计 

13． 微分方程yy″+y′2=0满足初始条件y(0)=1，y′(0)=的解为________。

正确答案：

解析：由yy″+(y′)2=0得(yy′)′=0，即yy′=C。由y(0)=1，y′(0)=，故再由y(0)=1，得C1=。 知识模块：常微分方程 

14． 已知函数y=y(x)在任意点x处的增量，且当△x→0时，a是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)______．

正确答案：

解析：将等式两边除以△x，得令△x→0，因为所以分离变量，得等式两边积分，得    ln｜y｜=arctanx+ln｜C｜，于是y=Cearctanx，由y(0)=π，得C=π，所以y=πearctanx，于是y(1)= 知识模块：高等数学 

15． 设A，B是三阶矩阵，满足AB=A—B，其中B=，则｜A+E｜= ________。

正确答案：

解析：由题设，AB=A—B，则(A+E)(E—B)=E，因此 知识模块：行列式 

16． 微分方程y”－2y’+2y=ex的通解为_________。

正确答案：y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2为任意常数

解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为λ2－2λ+2=0，特征根为λ1,2=1±i，故对应的齐次方程的通解为        Y=ex(C1cosx+C2sinx)。    由于α=1不是特征根，可设特解形式为y*=Aex，代入原方程可得A=1。故原方程的通解为    y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2为任意常数。 知识模块：常微分方程 

17． 设A=，则(A—2E)—1=___________．

正确答案：

解析： 知识模块：线性代数 

18． 设随机变量X的概率分布为P{X=k}=Ak(k=1，2，3，4，5)，则常数A=______，概率=______.

正确答案：

解析：利用概率分布的规范性，即X的概率分布为P{X=k}=k(k=1，2，3，4，5)，则 知识模块：概率论与数理统计 

19． 设X表示10次重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0．4，则X2的数学期望E(X2)=__________。

正确答案：18．4

解析：根据题意可知，X服从n=10，p=0．4的二项分布，因此有    E(X)=np=4，D(X)=np(1-p)=2．4，  因此    E(X2)=D(X)+E2(X)=18．4。 知识模块：概率论与数理统计 

20． 已知随机变量X～N(－3，1)，Y～N(2，1)，且X，Y相互，设随机变量Z=X－2Y+7，则Z～______．

正确答案：N(0，5)

解析：Z服从正态分布，且X，Y相互，则    EZ=E(X－2Y+7)=EX－2EY+7=－3－4+7=    DZ=D(X－2Y+7)=DX+22DY=1+4=5． 知识模块：概率论与数理统计 

21． 若随机变量X1，X2，…，Xn相互同分布于N(μ，22)，则根据切比雪夫不等式得P{｜－μ｜≥2｝≤_________·

正确答案：

解析：因为X1，X2，…，Xn相互同分布于N(μ，22)，所以，从而． 知识模块：概率统计 

22． 若总体X～N(0，32)，X1，X2，…，X9为来自总体样本容量为9的简单随机样本，则Y=服从_______分布，其自由度为________．

正确答案：，自由度为9

解析：因为Xi～N(0，32)(i=1，2，…，9)，所以～N(0，1)(i=1，2，…，9)且相互，故Y=，自由度为9． 知识模块：概率统计 

23． 设X1，X2，X3，X4，X5为来自正态总体X～N(0，4)的简单随机样本，Y=a(X1一2X2)2+b(3X3—4X4)2+cX52(abc≠0)，且Y～χ2 (n)，则a=_______，b=_______，c=________．

正确答案：

解析：因为X1—2X2～N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，X5～N(0，4)， 知识模块：概率统计 

24． 已知某自动生产线加工出的产品次品率为0．01，检验人员每天检验8次，每次从已生产出的产品中随意取10件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为__________．(0．9980≈0．4475)

正确答案：0．55

解析：如果用x表示每天要调整的次数，那么所求的概率为P{每天至少调整设备一次}=P{X≥1}=1一P{X=0}．显然0≤X≤8，如果将“检验一次”视为一次试验，那么X就是8次试验，事件A=“10件产品中至少有一件次品”发生的次数，因此X～B(8，P)，其中p=P(A)．如果用Y表示10件产品中次品数，则Y～B(10，0．01)，p=P(A)=P{Y≥1}=1一P{Y=0}=1一(1—0．01)10=1—0．9910．所求的概率为  P{X≥1}=1一P{X=0}=1一(1一P)8=1一0．9980=1—0．4475≈0．55． 知识模块：随机变量及其分布 

25． 设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的密度函数为fY(y)=________

正确答案：

解析： 知识模块：概率论与数理统计