高考数学复习对数与对数函数

●知识梳理

1.对数

（1）对数的定义：

如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.

（2）指数式与对数式的关系：

ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.

两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.

（3）对数运算性质:

①loga（MN）=logaM+logaN.

②loga=logaM－logaN.

③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）

④对数换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.

2.对数函数

（1）对数函数的定义

函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.

（2）对数函数的图象

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

（3）对数函数的性质:

①定义域：（0，+∞）.

②值域：R.

③过点（1，0），即当x=1时，y=0.

④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.

●点击双基

1.函数f（x）=|log2x|的图象是

解析：f（x）=

答案：A

2.若f －1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f －1（x）的值域为___________________.

解析：f －1（x）的值域为f（x）=lg（x+1）的定义域.

由f（x）=lg（x+1）的定义域为（－1，+∞），

∴f －1（x）的值域为（－1，+∞）.

答案：（－1，+∞）

3.已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log（3－x）］的定义域是__________.

解析：由0≤log（3－x）≤1

log1≤log（3－x）≤log

≤3－x≤12≤x≤.

答案：［2，］

4.若logx=z，则x、y、z之间满足

A.y7=xz                                  B.y=x7z

C.y=7xz                                    D.y=zx

解析：由logx=zxz=x7z=y，即y=x7z.

答案：B

5.已知1＜m＜n，令a=（lognm）2，b=lognm2，c=logn（lognm），则

A.a＜b＜c                                B.a＜c＜b

C.b＜a＜c                                D.c＜a＜b

解析：∵1＜m＜n，∴0＜lognm＜1.

∴logn（lognm）＜0.

答案：D

●典例剖析

【例1】 已知函数f（x）=则f（2+log23）的值为

A.                  B.                  C.                 D. 

剖析：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4，

∴f（2+log23）=f（3+log23）=（）3+log23=.

答案：D

【例2】 求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.

解：∵｜x｜＞0，

∴函数的定义域是｛x｜x∈R且x≠0｝.显然y＝log2｜x｜是偶函数，它的图象关于y轴对称.又知当x＞0时，y＝log2｜x｜y＝log2x.故可画出y＝log2｜x｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.

评述：研究函数的性质时，利用图象更直观.

深化拓展

已知y=log［a2x+2（ab）x－b2x+1］（a、b∈R+），如何求使y为负值的x的取值范围?

提示：要使y＜0，必须a2x+2（ab）x－b2x+1＞1，即a2x+2（ab）x－b2x＞0.

∵b2x＞0，

∴（）2x+2（）x－1＞0.

∴（）x＞－1或（）x＜－－1（舍去）.

再分＞1， =1，＜1三种情况进行讨论.

答案：a＞b＞0时，x＞log（－1）；

a=b＞0时，x∈R；

0＜a＜b时，x＜log（－1）.

【例3】 已知f（x）=log［3－（x－1）2］，求f（x）的值域及单调区间.

解：∵真数3－（x－1）2≤3，

∴log［3－（x－1）2］≥log3=－1，即f（x）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－＜x＜1+，∴x∈（1－，1］时，3－（x－1）2单调递增，从而f（x）单调递减；x∈［1，1+）时，f（x）单调递增.

特别提示

讨论复合函数的单调性要注意定义域.

●闯关训练

夯实基础

1.若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于

A.                  B.                 C.                    D. 

解析：∵0＜a＜1，∴f（x）=logax是减函数.

∴logaa=3·loga2a.∴loga2a=.

∴1+loga2=.∴loga2=－.∴a=.

答案：A

2.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于

A.                B.－                C.2                    D.－2

解析：y=log2|ax－1|=log2|a（x－）|，对称轴为x=，由=－2得a=－.

答案：B

评述：此题还可用特殊值法解决，如利用f（0）=f（－4），可得0=log2|－4a－1|.∴|4a+1|=1.

∴4a+1=1或4a+1=－1.

∵a≠0，∴a=－.

3.设f －1（x）是f（x）=log2（x+1）的反函数，若［1+ f －1（a）］［1+ f －1（b）］=8，则f（a+b）的值为

A.1                    B.2                    C.3                    D.log23

解析：∵f －1（x）=2x－1，∴［1+ f －1（a）］［1+ f －1（b）］=2a·2b=2a+b.由已知2a+b=8，∴a+b=3.

答案：C

4.（2004年春季上海）方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.

解析：由lgx+lg（x+3）=1，得x（x+3）=10，x2+3x－10=0.

∴x=－5或x=2.

∵x＞0，∴x=2.

答案：2

5.已知y=loga（3－ax）在［0，2］上是x的减函数，求a的取值范围.

解：∵a＞0且a≠1，∴t=3－ax为减函数.依题意a＞1，又t=3－ax在［0，2］上应有t＞0，∴3－2a＞0.∴a＜.故1＜a＜.

6.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.

解：f（x）、g（x）的公共定义域为（－1，1）.

|f（x）|－|g（x）|=|lg（1－x）|－|lg（1+x）|.

（1）当0＜x＜1时，|lg（1－x）|－|lg（1+x）|=－lg（1－x2）＞0；

（2）当x=0时，|lg（1－x）|－|lg（1+x）|=0；

（3）当－1＜x＜0时，|lg（1－x）|－|lg（1+x）|=lg（1－x2）＜0.

综上所述，当0＜x＜1时，|f（x）|＞|g（x）|；当x=0时，|f（x）|=|g（x）|；当－1＜

x＜0时，|f（x）|＜|g（x）|.

培养能力

7.函数f（x）=log2|x|，g（x）=－x2+2，则f（x）·g（x）的图象只可能是

解析：∵f（x）与g（x）都是偶函数，∴f（x）·g（x）也是偶函数，由此可排除A、D.

又由x→+∞时，f（x）·g（x）→－∞，可排除B.

答案：C

8.若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.

（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；

（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？

解：（1）∵f（x）=x2－x+b，

∴f（log2a）=log22a－log2a+b.

由已知有log22a－log2a+b=b，

∴（log2a－1）log2a=0.

∵a≠1，∴log2a=1.∴a=2.

又log2［f（a）］=2，∴f（a）=4.

∴a2－a+b=4，b=4－a2+a=2.

故f（x）=x2－x+2，从而f（log2x）=log22x－log2x+2=（log2x－）2+.

∴当log2x=即x=时，f（log2x）有最小值.

（2）由题意0＜x＜1.

探究创新

9.（2004年苏州市模拟题）已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y= f －1（x）图象上的点.

（1）求实数k的值及函数f －1（x）的解析式；

（2）将y= f －1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f －1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.

解：（1）∵A（－2k，2）是函数y= f －1（x）图象上的点，

∴B（2，－2k）是函数y=f（x）上的点.

∴－2k=32+k.∴k=－3.

∴f（x）=3x－3.

∴y= f －1（x）=log3（x+3）（x＞－3）.

（2）将y= f －1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）=log3x（x＞0），要使2 f －1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，即使2log3（x+）－log3x≥1恒成立，所以有x++2≥3在x＞0时恒成立，只要（x++2）min≥3.

又x+≥2（当且仅当x=，即x=时等号成立），∴（x++2）min=4，即4≥3.∴m≥.

●思悟小结

1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.

2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.

3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.

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教学点睛

1.本小节的重点是对数函数图象和性质的运用.由于对数函数与指数函数互为反函数，所以它们有许多类似的性质，掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，也要结合图象理解和记忆.

2.由于在对数式中真数必须大于0，底数必须大于零且不等于1，因此有关对数的问题已成了高考的热点内容.希望在讲解有关的例题时，要强化这方面的意识.

拓展题例

【例1】 求函数y=2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值.

解：定义域为x＞3，

原函数为y＝lg.

又∵＝＝＝（x－3）＋＋2≥4，

∴当x＝4时，ymin＝lg4.

【例2】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=logx四个函数中，x1＞x2＞1时，能使［f（x1）+f（x2）］＜f（）成立的函数是

A.f1（x）=x                                B.f2（x）=x2

C.f3（x）=2x                                D.f4（x）=logx

解析：由图形可直观得到：只有f1（x）=x为“上凸”的函数.

答案：A