椭圆的第二定义及简单几何性质

一、知识要点

椭圆的第二定义：当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数

时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．

    准线方程：对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据对称性，相应于焦点的准线方程是．对于椭圆的准线方程是．

    焦半径公式：

由椭圆的第二定义可得：

右焦半径公式为；

左焦半径公式为

二、典型例题

例1、求椭圆的右焦点和右准线；左焦点和左准线；

练习：椭圆的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.

例2、已知椭圆方程，是其上一点，分别为左、右焦点，若，求到右准线的距离.

例3、已知点为椭圆的上任意一点，、分别为左右焦点；且求的最小值.

变式、若椭圆：内有一点，为右焦点，椭圆上有一点，使值最小，求：点的坐标。

例4、已知为椭圆的焦点，过的直线与椭圆交于、两点，求证：

等于常数。

例5、已知椭圆的焦点为、，点为其上的一点，，求的面积。

变式1、椭圆的焦点为、，点为其上的动点.当为钝角时，点横坐标的取值范围是___________.

变式2、椭圆，椭圆的两个焦点为、，若，则的面积是___________.

例6、椭圆上不同三点，与焦点的距离成等差数列．

（1）求证；

（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．

变式： 已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

三、课后练习

1、已知椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线，椭圆的标准方程：______________________________.

2、已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是   （   ）

3、在椭圆上取三点，其横坐标满足，三点与某一焦点的连线段长分别为，则满足 （    ）

   .成等差数列              .

   .成等比数列              .以上结论全不对

4、曲线的离心率满足方程，则的所有可能值的积为（    ）

5、椭圆，过右焦点作弦，则以为直径的圆与椭圆右准线的位置关系（    ）

   相交         相离        相切         不确定

6、（2000年全国高考题）椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是___________________.

7、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴分成8等分，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则=_______________.

8、在椭圆上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。

9、椭圆，离心率，焦点到椭圆上点的最短距离为，求椭圆的方程。

10、已知椭圆的焦点是，是直线是椭圆的一条准线，

   ①求椭圆的方程；

   ②设点在椭圆上，且，求

11、已知椭圆的焦点是，为椭圆上一点，且是和的等差中项，

   ①求椭圆的方程；

   ②若点在第三象限，且，求.

12、如图，已知曲线，点在曲线上移动，点，以为对角线作矩形，使轴，轴，求矩形的面积最小时点坐标。

思考题、在椭圆内有一点，过点的直线的斜率为－1，且与椭圆交于、两点，线段的中点恰好是，试求椭圆方程。