2021-2022学年浙江省宁波市江北区八年级(上)期末数学试卷(含解析)

1.下列图形是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D. 

2.若，则下列不等式正确的是(    )

A.  B. 

C.  D. 

3.下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例为(    )

A. ， B. ，

C. ， D. ，

4.一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.如图，在和中，点，，，在同一直线上，已知，且，若利用“”证明≌，则需添加的条件是(    )

6.已知点与点关于轴对称，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 

7.的三个内角满足下列条件：：：：：；；：：：：其中能判定是直角三角形的为(    )

A.  B.  C.  D. 

8.在中，若，其周长为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 

9.把一些图书分给几名同学，如果每人分本，那么余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人就分不到本且至少有一本这些图书有(    )

A. 本 B. 本 C. 本 D. 本

10.如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点有下列结论：；；当时，，分别为，的中点；设，，则其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D. 

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.当时，二次根式的值为______．

12.计算的结果是______．

13.写出一个根为和的一元二次方程：______ ．

14.点到轴的距离是______

15.已知直线与平行，且与轴的交点坐标是，则______．

16.对、、三个数这样规定：表示、、这三个数中的最小数，如，如果，则的取值范围是______．

17.如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，其坐标为，轴上的一动点从原点出发，沿轴正半轴方向运动，速度为每秒个单位长度，以为直角顶点在第一象限内作等腰当时，点的坐标为______；当点的横坐标为时，点的纵坐标是______．

18.如图，已知中，，，，点是边上的一个动点，点与是关于直线的对称点，当是直角三角形时，的长______．

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

解下列不等式组和方程：

．

．

．

20.本小题分

如图，已知的三个顶点坐标分别是，，．

将向上平移个单位长度得到，请画出．

请写出坐标，并用恰当的方式表示线段上任意一点的坐标．

求的面积．

如图，点在的外部，点在边上，交于点，，．

求证：．

已知，，求的度数．

如图：已知直线经过点，．

求直线的解析式；

若直线与直线相交于点，求点的坐标；

根据图象，直接写出关于的不等式的解集．

在近期“抗疫”期间，某药店销售，两种型号的口罩，已知销售只型和只型的利润为元，销售只型和只型的利润为元．

求每只型口罩和型口罩的销售利润；

该药店计划一次购进两种型号的口罩共只，其中型口罩的进货量不少于型口罩的进货量且不超过它的倍，则该药店购进型、型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？最大值是多少？

24.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，已知直线和与轴分别交于点和点，设两直线相交于点，点为的中点，点是线段上一个动点不与点和重合，连接，并过点作交于点．

判断的形状，并说明理由；

当点在线段上运动时，四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；

当点的横坐标为时，在轴上找到一点使得的周长最小，请直接写出点的坐标．

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故此选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

故选：．

利用轴对称图形的定义进行解答即可．

此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

2.【答案】 

【解析】解：、不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，原变形正确，故此选项符合题意；

B、不等式的两边同时除以，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意；

C、不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，，原变形错误，故此选项不符合题意；

D、不等式的两边同时乘再加上，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意．

故选：．

根据不等式的性质分析判断．

本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

3.【答案】 

【解析】解：当，时，，但是，

，是假命题的反例．

故选：．

据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．

此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．

4.【答案】 

【解析】解：一次函数，，，

该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，

故选：．

根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数不经过哪个象限，本题得以解决．

本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

5.【答案】 

【解析】解：需添加的条件是，

理由是：，

，

在和中，

，

≌，

故选：．

根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．

本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．

6.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，

，，

解得，，

．

故选：．

根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．

本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

7.【答案】 

【解析】解：：：：：，，

最大角，

不是直角三角形，

，，

，

，

是直角三角形，

：：：：，

设，，，

，

不能直角三角形，

即能判定是直角三角形的是，

故选：．

根据三角形内角和定理得出，再分别根据已知条件求出最大角的度数即可．

本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的判定，能求出最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于．

8.【答案】 

【解析】解：设腰长为，则底边长为，依题意得：

，

解得．

故腰长的取值范围是．

故选：．

根据三角形的性质，两边之和大于第三边列出不等式可求出腰长的取值范围．

考查了等腰三角形的性质，本题的关键是掌握等腰三角形的性质，根据三角形两边的和大于第三边列出不等式组即可．

9.【答案】 

【解析】解：设共有名学生，则图书共有本，

由题意得，，

解得：，

为非负整数，

．

书的数量为：．

故选：．

设共有名学生，根据每人分本，那么余本，可得图书共有本，再由每名同学分本，那么最后一人就分不到本，可得出不等式，解出即可．

本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答时根据题意中的不相等关系建立不等式组是关键．

10.【答案】 

【解析】解：和的平分线相交于点，

，，

，正确；

，

，又 

，

，

同理，

，正确；

当时，，

，不是，的中点，错误；

作于，如图，

和的平分线相交于点，

点在的平分线上，

，

，正确．

综上所述，正确的有，

故选：．

根据角平分线的定义和平行线的性质判断；角平分线的定义和三角形内角和定理判断；根据三角形三边关系判断；根据角平分线的性质判断．

本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：当时，二次根式．

故答案为：．

直接把的值代入进而得出答案．

此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．

12.【答案】 

【解析】解： 

，

的结果为．

故答案为：．

根据平方差公式：，求出算式的结果为多少即可．

此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看“多项式”．

此题还考查了平方差公式的应用：，要熟练掌握．

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：一个根为和的一元二次方程：答案不唯一．

故答案为：答案不唯一．

一个根为和的一元二次方程有无数个，只要含有因式和的一元二次方程都有一个根为和．

本题考查的是一元二次方程的根，有一个根为和的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．

14.【答案】 

【解析】解：点到轴的距离为．

故答案为：．

根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值解答．

本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：直线与平行，

，

故直线的表达式为，将点代入上式并解得，

故，

故答案为．

直线与平行，直线的表达式为，将点代入上式并解得，即可求解．

本题考查了两条直线平行问题，难度不大，关键求出未知方程的解析式．

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，得：，

解不等式，得：，

解不等式，得：，

则的取值范围是，

故答案为：．

先根据新定义列出关于的不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

17.【答案】   

【解析】解：过点作轴于点，

为等腰直角三角形，

．

又，

．

在和中，

，

≌，

，．

点，点，

，，

点，

当时，点的坐标为；

当点的横坐标为时，

，

，

点的纵坐标是．

故答案为：；．

过点作轴于点，证明≌，推出，，可得点，即可得出结论．

本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

18.【答案】或 

【解析】解：如图中，当时，设．

，，，

，

由翻折的性质可知，，

在中，，

，

，

．

如图中，当，设．

过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，

，，

在中，，

，

解得或舍弃，

，

综上所述，的值为：或．

分两种情形：，，利用勾股定理构建方程求解即可．

本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．

19.【答案】解：去分母得，

移项得，

合并得，

系数化为得；

，

解得，

解得，

所以不等式组的解集为；

，

，

，

或，

所以，． 

【解析】先去分母、移项得到，然后合并后把的系数化为即可；

分别解两个不等式得到和，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集；

先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．

本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解不等式和不等式组．

20.【答案】解：如图，即为所求；

坐标，线段上任意一点的坐标为．

． 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；

根据平移轴的点的横坐标不变，写出坐标即可．

利用网格，构造矩形，用矩形面积减去四个三角形面积即可．

本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．

21.【答案】证明：，

，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

．

解：，，

是等边三角形，

，

，

，

，

的度数是． 

【解析】由，推导出，由，证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得；

先由，，证明是等边三角形，则，再求得，即可根据三角形内角和定理求得．

此题重点考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论等知识，证明≌是解题的关键．

22.【答案】解：直线经过点，，

，

解得，，

则直线的解析式为：；

解：，

解得，，

则点的坐标为；

由图象可知，不等式的解集为． 

【解析】利用待定系数法求出直线的解析式；

解方程组求出点的坐标；

利用数形结合思想解答．

本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键．

23.【答案】解：设每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元，根据题意得：

，

解得，

答：每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元；

根据题意得，，即；

根据题意得，，

解得，

，

，

随的增大而减小，

为正整数，

当时，取最大值为元，则，

即药店购进型口罩只、型口罩只，才能使销售总利润最大为元． 

【解析】设每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元，根据“销售只型和只型的利润为元，销售只型和只型的利润为元”列方程组解答即可；

根据题意即可得出关于的函数关系式；根据题意列不等式得出的取值范围，再结合关于的函数关系式解答即可．

本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数值的增大而确定值的增减情况．

24.【答案】解：结论：是等腰直角三角形．

理由：直线和与轴分别交于点和点，

，，

由，解得，

，

，

，，，

，

，，

，

，

是等腰直角三角形．

结论：四边形的面积是定值，定值为．

理由：如图中，连接．

是等腰直角三角形，，

，，，

，

，

≌，

，

．

四边形的面积是定值，定值为．

如图中，作点关于的对称点，连接交于点，此时的周长最小．连接，，交于点，作于．

点的横坐标为，点在直线上，

，

，，，

，

，，

，

，

≌，

，，

，

，，

设直线的解析式为，

，

直线的解析式为，

． 

【解析】结论：是等腰直角三角形．利用待定系数法求出，，的坐标，求出，，的长，利用勾股定理的逆定理判断即可；

结论：四边形的面积是定值，定值为如图中，连接只要证明≌即可解决问题；

如图中，作点关于的对称点，连接交于点，此时的周长最小．连接，，交于点，作于想办法求出直线的解析式即可解决问题；

本题属于一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．