一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列各式中，属于分式的是
A. B. C. D.
2. 一个三角形木架三边长分别是，，，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为和的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边允许有余料，则不同的截法有
A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种
3. 下列图形中只是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
4. 若分式中的，的值同时扩大到原来的倍，则分式的值
A. 是原来的倍 B. 是原来的倍 C. 是原来的 D. 不变
5. 如果，那么、的值分别是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 下列命题是真命题的是
A. 五边形的内角和是
B. 三角形的任意两边之和大于第三边
C. 内错角相等
D. 三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
7. 若为整数，使分式值为整数，则满足条件的整数有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 在中．，，，则的长为
A. B. C. D.
9. 将一副三角板如图放置，使点在上，，，则的度数为
A.
B.
C.
D.
10. 甲车行驶与乙车行驶所用时间相同．已知乙车比甲车每小时多行驶，设甲车的速度为，依题意，下面所列方程正确的是
A. B. C. D.
11. 下列多项式从左到右的变形是分解因式的是
A. B.
C. D.
12. 在中，已知、、的度数之比是：：，，的面积为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 请你写出一个既要运用乘法公式又要用提取公因式法分解因式的多项式，你写的多项式是______ 写出一个即可
14. 肥皂泡的泡壁厚度大约是米，数字用科学记数法表示为______．
15. 若关于的分式方程的解不小于，则的取值范围是______．
16. 如图，折叠矩形，使点落在边上的点处，，，则 ______ ．
18. 现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片边长如图．
取甲、乙纸片各块，其面积和为______ ；
嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片块，再取乙纸片块，还需取丙纸片______ 块
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
19. 如图，已知四边形是矩形，为对角线．
把绕点顺时针旋转一定角度得到，点的对应点为，点的对应点在的延长线上，请你在图中作出要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，求证：，，三点共线．
20. 已知方程
若是方程的解，则的值为______；
若，解方程．
21. 如图一，现有足够多的边长为的小正方形纸片类、长为宽为的长方形纸片类以及边长为的大正方形纸片类．
如图二，小明利用上述三种纸片各若干张，拼出了一个长为，宽为的长方形，并用这个长方形解释了等式是成立的．
若取图一中的纸片若干张三种都要取到拼成一个长方形所取纸片用完无剩余，使它的长和宽分别为、，请你通过计算说明需要类卡片多少张；
若取类纸片张，类纸片张，类纸片张，能拼成一个长方形吗所取纸片用完无剩余？请你在图三中画出示意图并直接写出能用该长方形来解释成立的等式：______ ______ ；
如图四，大正方形的边长为，小正方形的边长为，用四个完全相同的长方形的长和宽为别为、请你通过观察或计算，判断下列个式子是否成立，将其中成立的式子的都填写在横线上：______ 直接填写序号．
22. 如图，在和中，点在边上，，，求证：平分．
信息：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工的数量的倍．
信息：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用天；
根据以上信息，求两个工厂每天分别能加工多少件新产品？要求用直接设元和间接设元两种不同的方法列出方程或方程组，而直接设元要求做出详细解答；间接设元列出方程即可，不需解答．
参及解析
1.答案：
解析：解：、的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式，故此选项不符合题意；
B、，分母中含有字母，所以它是分式，故此选项符合题意；
C、的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式，故此选项不符合题意；
D、的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式，故此选项不符合题意；
故选：．
根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2.答案：
解析：解：长的木条与三角形木架的最长边相等，则长的木条不能作为一边，
设从的木条上截下两段长分别为，，
由于长的木条不能与的一边对应，否则、有大于，
当长的木条与的一边对应，则，
解得：，；
当长的木条与的一边对应，则，
解得：，．
答：有两种不同的截法：把的木条截成、两段或把的木条截成、两段．
故选：．
分类讨论：长的木条与三角形木架的最长边相等，则长的木条不能作为一边，设从的一根上截下的两段长分别为，，易得长的木条不能与的一边对应，所以当长的木条与的一边对应时有；当长的木条与的一边对应时有，然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得和的值．
本题考查了相似三角形的应用：通常构建三角形相似，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行几何计算．
3.答案：
解析：解：、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、平行四边形是中心对称的图形，故此选项正确；
C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、半圆只是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出答案．
此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是找出图形的对称中心．
4.答案：
解析：
本题考查了分式基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
解：分式中的、的值同时扩大到原来的倍，得．
故选B．
5.答案：
解析：解：，，
，，
故选：．
先将展开，然后与找准对应的系数，即可得到、的值．
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确多项式乘以多项式的方法，找准对应的系数．
6.答案：
解析：解：、五边形的内角和为，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：．
利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的定义等知识，难度不大．
7.答案：
解析：解：，
、、、，
则、、、、、、、时分式的值为整数，
故选：．
代数式变形为后，根据值为整数确定出整数的值即可．
此题考查了分式的值，将原式计算适当的变形是解本题的关键．
8.答案：
解析：解：如图，
中，，
设，则，
，即，
解得：或舍，
，
故选B．
由可设，则，根据，即，求得的值即可得．
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
9.答案：
解析：解：，，
，
．
故选：．
由平行线的性质得出，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握直角三角板的性质是解决问题的关键．
10.答案：
解析：解：设甲车的速度为，则乙车的速度为，由题意得：
，
故选：．
根据题意可得甲乙两车的速度分别为，，根据关键语句“甲车行驶与乙车行驶所用时间相同”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
11.答案：
解析：解：、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A不是因式分解，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D是因式分解；
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．
12.答案：
解析：解：、、的度数之比是：：，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故选：．
依据、、的度数之比是：：，得到，，由等腰直角三角形的性质得出，由三角形面积公式即可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
13.答案：
解析：解：
，
所写多项式可以为．
故答案为：答案不唯一．
把完全平方公式再乘以一个单项式即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14.答案：
解析：
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
解：，
故答案为：．
15.答案：且
解析：解：去分母得：，
解得：，
由分式方程解不小于，得到，且，
解得：且 ，
故答案为：且．
分式方程去分母转化为整式方程，由解不小于确定出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为这个条件．
16.答案：
解析：解：是沿直线折叠而成，，，
，设，则，
在中，，即，
解得，
．
故答案为：．
由图形翻折变换的性质可知，，设，则，在中利用勾股定理即可求解．
本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
17.答案：或
解析：解：分两种情况：当点在延长线上时，连接，如图所示：
中，点为中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
绕点顺时针旋转，得到线段，
是等边三角形，
，，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
过点作于，则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当点在延长线上时，连接，如图所示：
中，点为中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
绕点顺时针旋转，得到线段，
是等边三角形，
，，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
，
过点作于，则，
设，则，
，
，
，
，
解得：，
；
综上所述，的长为或；
故答案为：或．
分两种情况：当点在延长线上时，连接，证得是等边三角形得出，由旋转的性质得出是等边三角形，得出，，推出，由证得≌得出，证得，，过点作于，则，，由勾股定理得出，证得是等腰直角三角形得出，则；
当点在延长线上时，连接，证得是等边三角形得出，推出，由旋转的性质得出是等边三角形得出，，推出，由证得≌得出，证得，，过点作于，则，设，则，由勾股定理得出，由等腰直角三角形的性质得出，则，解得，即可得出结果．
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质、画出图形、证明三角形全等是解题的关键．
18.答案： ；
．
解析：解：由图可知：一块甲种纸片面积为，一块乙种纸片的面积为，一块丙种纸片面积为，
取甲、乙纸片各块，其面积和为，
故答案为：；
设取丙种纸片块才能用它们拼成一个新的正方形，
是一个完全平方式，
为，
故答案为：．
由图可知：一块甲种纸片面积为，一块乙种纸片的面积为，一块丙种纸片面积为，即可求解；
利用完全平方公式可求解．
本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
19.答案：解：如图，即为所求．
如图，连接，．
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，共线．
解析：以为圆心，为半径画弧交的延长线于，作，，连接，即为所求．
想办法证明即可解决问题．
本题考查作图旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.答案：
解析：解：去分母得：，
把代入方程得：，
解得：
故答案为：；
把代入得：，
去分母，得，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
分式方程去分母转化为整式方程，把代入整式方程计算即可求出的值；
把代入方程，求出解即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21.答案：
解析：解：；
；
答：需要类纸片张．
；
能拼成一个长为，宽为的矩形；
如图所示：
根据图形可得，故正确；
根据图形面积的特点得到，
，故正确；
由图可知：；；
；故错误；
；所以；
；所以；
；故正确．
故答案为：．
根据整式的乘法得到中的系数即可判断需要类卡片多少张；
根据，故可以做出长为，宽为的矩形即可求解．
根据正方形的边长相等可得，故可判断，根据面积的特点得到，再根据完全平方公式和平方差公式的变形即可求解．
此题主要考查乘方公式的应用，解题的关键是熟知整式的乘法运算法则及公式的变形应用．
22.答案：证明：，，，
≌
，，
，
，
平分．
解析：由“”可证≌，可得，，由等腰三角形的性质可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明≌是本题的关键．
23.答案：解：设甲工厂每天能加工件产品，则乙工厂每天加工件产品，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，并且符合题意，
，
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工件、件新产品．
设甲工厂单独加工完成这批产品用天，乙工厂单独加工完成这批产品用天，由题意得：
．
解析：设甲工厂每天能加工件产品，表示出乙工厂每天加工件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多天列出方程求解即可
此题考查了分式方程的应用，找出等量关系为两工厂的工作时间的差为天是解题的关键．
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