安徽省芜湖市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题(含答案解析)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（　　）

A．等边三角形    B．锐角三角形

C．直角三角形    D．钝角三角形

2．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）．

A．    B．    C．    D．

3．下列运算正确的是（　　）．

A．a2•a3＝a6    B．a3÷a＝a3    C．(a2)3＝a5    D．(3a2)2＝9a4

4．多边形的内角和不可能为（　　）

A．180°    B．540°    C．1080°    D．1200°

5．下列因式分解结果正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

6．点P(﹣1，2)关于y轴对称点的坐标是（　　）．

A．(1，2)    B．(﹣1，﹣2)    C．(1，﹣2)    D．(2，﹣1)

7．某种芯片每个探针单元的面积为，0.000001用科学记数法可表示为（  ）

A．    B．    C．    D．

8．对于分式，下列说法正确的是（　　）

A．当x＝﹣2时分式有意义    B．当x＝±2时分式的值为零

C．当x＝0时分式无意义    D．当x＝2时分式的值为零

9．某灾区恢复生产，计划在一定时间内种60亩蔬菜，实际播种时每天比原计划多种3亩，因此提前一天完成任务，问实际种了几天？现设实际种了天，则可列出方程（    ）

A．    B．    C．    D．

10．如图，在Rt△ABC中， ∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为点D，则AD与BD之比为（        ）

A．2∶1    B．3∶1    C．4∶1    D．5∶1

11．如图，AC＝BC，∠C＝α，DE⊥AC于E，FD⊥AB于D，则∠EDF等于（　　）．

A．α    B．90°－α    C．90°－α    D．180°－2α

12．当x分别取2020、2018、2016、…、4、2、0、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得的结果全部相加，则其和等于（　　）．

A．-1    B．1    C．0    D．2020

二、填空题

13．一个等腰三角形的一边长为2，另一边长为9，则它的周长是________________．

14．已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为________________．

15．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围为____．

16．如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，_______度．

17．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝37°，则∠AOC＝___________．

18．观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ________________．

三、解答题

19．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．

（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；

（2）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；

（3）在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC所在直线的距离相等．

20．有一道题：“先化简，再求值：÷，其中x= -6．”小张做题时把x= -6错抄成x=6，但是他的计算结果却是正确的．请你阐明原因．

21．为积极创建全国文明城市，甲、乙两工程队承包了我市某街道路面改造工程．若由甲、乙两工程队合做20天可以完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？

22．观察下列等式：

第1个等式：12＝13；

第2个等式：(1+2)2＝13+23；

第3个等式：(1+2+3)2＝13+23+33；

第4个等式：(1+2+3+4)2＝13+23+33+43；

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：__________________；

（2）写出第n（n为正整数）个等式：__________________（用含n的等式表示）；

（3）利用上述规律求值：．

23．如图1，在△ABC中，BE、CF分别平分∠ABC和∠ACB，BE和CF相交于D点．

（1）求证：∠BDC=90°+；

（2）如图2，若∠A＝∠ABE，求证：EB+EC＝BC+BF．

参

1．D

【详解】

试题分析：根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．

解：∵∠A=20°，∠B=60°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，

∴△ABC是钝角三角形．

故选D．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．

2．A

【详解】

解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选：A

【点睛】

本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键．

3．D

【分析】

分别根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及积的乘方法则逐一判断即可．

【详解】

解：A、a2•a3= a5a6，故本选项不合题意；

B、a3÷a= a2a3，故本选项不合题意；

C、(a2)3= a6a5，故本选项不合题意；

D、(3a2)2=9a4，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，掌握运算法则正确计算是本题的解题关键．

4．D

【分析】

多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），则多边形的内角和是180度的倍数，由此即可求出答案．

【详解】

多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），n应为整数，所以n-2也是整数，所以多边形的内角能被180整除，因为在这四个选项中不是180°的倍数的只有1200°．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和定理，牢记定理是解答本题的关键，难度不大．

5．C

【分析】

根据提公因式法、平方差公式以及十字相乘法进行解答．

【详解】

解：A、原式＝﹣x（x﹣4），故本选项不符合题意；

B、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故本选项不符合题意；

C、原式＝﹣（x+1）2，故本选项符合题意；

D、原式＝（x+1）（x﹣6），故本选项不符合题意，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了提公因式法、平方差公式以及十字相乘法因式分解，属于基础题．

6．A

【分析】

平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；这样就可以求出A的对称点的坐标，从而可以确定所在象限．

【详解】

解：∵点P（-1，2）关于y轴对称，

∴点P（-1，2）关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．

7．B

【分析】

绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】

解：0.000001=1.×10-6，

故选：B．

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10n的形式是关键．

8．D

【分析】

根据分式有意义和无意义的条件，以及分式值等于0的条件进行逐一判断即可．

【详解】

解：∵要想分式 有意义，

∴即，故A不符合题意；

∵要想分式 无意义，

∴即，故C不符合题意；

∵要想分式 的值为0，

∴即，故B不符合题意，D符合题意；

故选D．

【点睛】

本题主要考查了分式有意义的条件，无意义的条件，分式值为0的条件，解题的关键在于能熟练掌握相关知识进行求解．

9．A

【分析】

设实际种了天，则原计划需要天，根据题意，实际每天种的亩数=原计划每天种的亩数=3，列分式方程即可．

【详解】

设实际种了天，则原计划需要天，根据题意，得

．

故选A．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键．

10．B

【分析】

根据含30度角的直角三角形的性质得到BD＝BC，BC＝AB，得到答案．

【详解】

解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠BCD＝∠A＝30°，

∴BD＝BC，

∴BC＝AB，

BD=BC=AB

AD=AB-BD= AB-AB =AB，

∴AD：BD＝3∶1，

故选B.

【点睛】

本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

11．B

【分析】

AC＝BC，∠C＝α，DE⊥AC于E，FD⊥AB于D，有，，，即可求得角度．

【详解】

解：由题意知：，

故选B．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，几何图形中角度的计算．解题的关键在于确定各角度之间的数量关系．

12．A

【分析】

把互为倒数的两个数代入分式可得它们的和是0，把0代入分式得-1，故得出结果为-1．

【详解】

解：当x=a（a≠0）时，，

当x=时，，

即互为倒数的两个数代入分式的和为0，

当x=0时，，

故选：A

【点睛】

本题考查数字的变化规律，总结出数字的变化规律是解题的关键．

13．20

【分析】

题目给出等腰三角形有两条边长为2和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】

解：分两种情况：当腰为2时，2＋2＜9，所以不能构成三角形；

当腰为9时，2＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：2＋9＋9＝20．

故答案为：20．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

14．16

【分析】

先提取公因式ab，然后再用完全平方公式因式分解，最后代入计算即可．

【详解】

解：a3b+2a2b2+ab3

=ab（a2+2ab+b2）

=ab（a+b）2

=1×42

=16．

故答案是16．

【点睛】

本题主要考查了因式分解的应用，掌握运用提取公因式法和完全平方公式因式分解是解答本题的关键．

15．且

【分析】

先解分式方程得到方程的根为：再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案.

【详解】

解： 

解得： 

 关于x的方程＝3的解是正数，

且 

解得：且 

故答案为：且

【点睛】

本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，易错点是不注意分式方程产生增根时字母参数的取值要排除.

16．30

【分析】

连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题．

【详解】

解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴PC=PB，

∴PE+PC=PB+PE≥BE，

即BE就是PE+PC的最小值，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BCE=60°，

∵BA=BC，AE=EC，

∴BE⊥AC，

∴∠BEC=90°，

∴∠EBC=30°，

∵PB=PC，

∴∠PCB=∠PBC=30°，

∴∠ACP=30°，

故答案为：30．

【点睛】

本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．

17．76°

【分析】

连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE＋∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，相加可得结论．

【详解】

解：连接BO，并延长BO到P，

∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，

∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，

∴∠DOE＋∠ABC＝180°，

∵∠DOE＋∠1＝180°，

∴∠ABC＝∠1＝38°，

∵OA＝OB＝OC，

∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，

∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，

∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP＝∠A＋∠ABC＋∠C＝2×38°＝76°；

故答案为：76°．

【点睛】

本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

18．n+3或n+4

【分析】

分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解，根据方程的解发现规律即可求解.

【详解】

分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解：

①x+= x+=1+2，在等式两边同时乘以x，

移项得x2- 3x+2=0，即(x- 2)(x- 3)=0，故解得x = 1或x=2；

②x+= x+=2+3，同理解得x = 2或x =3；

③x+= x+=3+4，同理解得x =3或x =4；

以此类推，第n个方程为：x+= x+，

且解为：x =n或x =n+1；

将方程x+=2n+4两边同时减3，得（x-3）+=2n+1，

根据规律得：x-3 =n或x -3=n+1，即x =n+3或x =n+4.

故答案为：n+3或n+4.

【点睛】

此题考查数字的规律，分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解发现规律是解答此题的关键.

19．

（1）见解析；

（2）见解析；

（3）见解析

【分析】

（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．

（2）连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作．

（3）∠ACB的角平分线与直线l的交点Q即为所求作．

（1）

解：如图，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，△A1B1C1即为所求作．

（2）

解：如图连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作，点P即为所求作．

（3）

解：如图∠ACB的角平分线与直线l的交点Q即为所求作，点Q即为所求作．

【点睛】

本题考查作图-轴对称变换，角平分线的性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

20．x2+4，40

【分析】

根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x＝−6和x＝6代入化简后的式子，观察结果即可解答本题．

【详解】

解：原式=÷

=·=x2+4．

∵(-6)2=62=36,

∴原式的结果都是36+4=40．

【点睛】

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

21．甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天

【分析】

设甲工程队单独完成此项工程需要x天，根据工作效率=总工作量÷完成时间和甲的工作量+乙的工作量=1列分式方程，然后解分式方程即可解答．

【详解】

解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，

依题意，可得，

解得：x＝60，.

经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意， 

∴乙工程队单独完成此项工程需要的天数为1÷（）＝30，

答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．

【点睛】

本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．

22．

（1）（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；

（2）（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3；

（3）265

【分析】

（1）根据前几个等式的变化规律解答即可；

（2）根据前几个等式的变化规律写出第n个等式即可；

（3）根据变化规律和平方差公式进行计算即可．

（1）

解：根据题意，第5个等式为（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53，

故答案为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；

（2）

解：根据题意，第n个等式为（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3，

故答案为：（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3；

（3）

解：由（2）中（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3知，

（1+2+3+4+5+…+20）2＝13+23+33+43+53+…+203①，

（1+2+3+4+5+…+10）2＝13+23+33+43+53+…+103②，

①－②得：

（1+2+3+4+5+…+20+1+2+3+4+5+…+10）×（11+12+13+…+20）=113+123+133+…+203，

∴

=（1+2+3+4+5+…+20+1+2+3+4+5+…+10）

=265．

【点睛】

本题考查数字类规律探究、平方差公式、与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键．

23．

（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】

（1）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理即可得证；

（2）先根据等腰三角形的判定可得，从而可得，过点作，交于点，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段和差可得，由此即可得证．

（1）

证明：、分别平分和，

，

，

，

；

（2）

证明：，

，

，

如图，过点作，交于点，

，

，

，，

在和中，，

，

，

，

．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．