2020-2021学年河南省郑州市高新区枫杨外国语中学八年级上学期期中数学试卷 (含解析)

一.选择题（共10小题）.

1．在实数，，，3.14中，无理数有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

2．△ABC的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）

A．∠A＝∠B﹣∠C    B．a：b：c＝5：12：13    

C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5    D．a2＝（b+c）（b﹣c）

3．下列各等式中，正确的是（　　）

A．﹣＝﹣3    B．±＝3    C．（）2＝﹣3    D．＝±3

4．下列说法不正确的是（　　）

A．在x轴上的点的纵坐标为0    

B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1    

C．若xy＜0，x﹣y＞0，那么点Q（x，y）在第四象限    

D．点A（﹣a2﹣1，|b|）一定在第二象限

5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）

A．9    B．6    C．4    D．3

6．若a、b为实数，且+﹣a＝3，则直线y＝ax+b不经过的象限是（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

7．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞且x≠3    B．x≥    C．x≥且x≠3    D．x≤且x≠﹣3

8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝﹣k的图象大致是（　　）

A．    B．    

C．    D．

9．如图，在平面直角坐标系中，点A（2m，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（　　）

A．4    B．2    C．1    D．0

10．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，）    B．（﹣，1）    C．（﹣2，1）    D．（﹣1，2）

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．的平方根等于　   　

12．比较大小：　   　．（填“＞”，“＜”或“＝”）

13．如果直线l与直线y＝﹣2x+1平行，与直线y＝﹣x+2的交点纵坐标为1，那么直线l的函数解析式为　   　．

14．已知直线y＝ax+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一元一次方程ax+b＝0的解为　   　．

15．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是　   　分米．

三.解答题（共6小题，满分55分）

16．计算：

（1）+﹣8；

（2）（）﹣1﹣﹣﹣（﹣2）2．

17．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．

（1）求a，b，c的值；

（2）求3a﹣b+c的平方根．

18．已知，△ABC的三个顶点坐标分别A（0，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）△ABC的面积是　   　；（每个小方格是边长为1的正方形）

（2）请画出△ABC关于y轴对称的图形；

（3）设点P在坐标轴上，且△OCP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．

19．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：

（1）客车的速度是　   　千米/小时，出租车的速度是　   　千米小时；

（2）根据图象，分别直接写出y1、y2关于x的关系式：　   　；

（3）求两车相遇的时间．

（4）x为何值时，两车相距100千米．

20．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且＝．

（1）求点B的坐标和k的值；

（2）若点A是在第一象限内直线y＝kx﹣4上的一个动点，当它运动到什么位置时，△AOB的面积是12？

（3）若点A是直线y＝kx﹣4上的一个动点，设A（x，y），△AOB的面积为s，求s关于x的函数表达式，并写出x的取值范围．

21．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s，它们同时出发，设运动的时间为ts．

（1）当t＝2时，PQ＝　   　．

（2）求运动几秒时，△APC是等腰三角形？

（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．（直接写答案）

参

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．在实数，，，3.14中，无理数有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

解：是分数，属于有理数；，是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数．

无理数有：，π共2个．

故选：B．

2．△ABC的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）

A．∠A＝∠B﹣∠C    B．a：b：c＝5：12：13    

C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5    D．a2＝（b+c）（b﹣c）

解：A、∵∠A＝∠B﹣∠C，

∴∠B＝∠A+∠C，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴2∠B＝180°，

解得∠B＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

所以此选项不符合题意；

B、∵a：b：c＝5：12：13，

设a＝5x，b＝12x，c＝13x，

∴a2+b2＝169x2＝c2，

∴△ABC是直角三角形，

所以此选项不符合题意；

C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，

∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠C＝75°，

∴△ABC是锐角三角形，

所以此选项符合题意；

D、∵a2＝（b+c）（b﹣c），

∴a2＝b2﹣c2，

∴a2+c2＝b2，

∴△ABC是直角三角形，

所以此选项不符合题意；

故选：C．

3．下列各等式中，正确的是（　　）

A．﹣＝﹣3    B．±＝3    C．（）2＝﹣3    D．＝±3

解：A、﹣＝﹣3，故A正确；

B、3，故B错误；

C、被开方数是非负数，故C错误；

D、＝3，故D错误；

故选：A．

4．下列说法不正确的是（　　）

A．在x轴上的点的纵坐标为0    

B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1    

C．若xy＜0，x﹣y＞0，那么点Q（x，y）在第四象限    

D．点A（﹣a2﹣1，|b|）一定在第二象限

解：A．在x轴上的点的纵坐标为0，说法正确，故本选项不合题意；

B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1，说法正确，故本选项不合题意；

C．若xy＜0，x﹣y＞0，则x＞0，y＜0，所以点Q（x，y）在第四象限，说法正确，故本选项不合题意；

D．﹣a2﹣1＜0，|b|≥0，所以点A（﹣a2﹣1，|b|）在x轴或第二象限，故原说法错误，故本选项符合题意．

故选：D．

5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）

A．9    B．6    C．4    D．3

解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，

∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，

∴4×ab+（a﹣b）2＝25，

∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，

∴a﹣b＝3，

故选：D．

6．若a、b为实数，且+﹣a＝3，则直线y＝ax+b不经过的象限是（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

解：∵a、b为实数，且+﹣a＝3，

∴，

解得，b＝，

∴﹣a＝3，

∴a＝﹣3，

∴直线y＝ax+b可以写成y＝﹣3x+，

∵直线y＝﹣3x+经过第一、二、四象限，不经过第三象限，

∴直线y＝ax+b不经过的象限是第三象限，

故选：C．

7．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞且x≠3    B．x≥    C．x≥且x≠3    D．x≤且x≠﹣3

解：由题意得，3x﹣2≥0，x﹣3≠0，

解得，x≥且x≠3，

故选：C．

8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝﹣k的图象大致是（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：A、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由y＝﹣k的图象，得k＞0，k值相互矛盾，故A错误；

B、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由y＝﹣k的图象，得k＜0，故B正确；

C、由函数y＝kx的图象，得k＞0，由y＝﹣k的图象，得k＜0，k值相矛盾，故C错误；

D、由函数y＝kx的图象的图象经过原点，故D错误；

故选：B．

9．如图，在平面直角坐标系中，点A（2m，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（　　）

A．4    B．2    C．1    D．0

解：∵点A（2m，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点为点B，

∴B（2m，﹣m），

∵点B在直线y＝﹣x+1上，

∴﹣m＝﹣2m+1，

∴m＝1，

故选：C．

10．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，）    B．（﹣，1）    C．（﹣2，1）    D．（﹣1，2）

解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，如图所示：则∠OEC＝∠ADO＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

∵A的坐标为（1，），

∴AD＝，OD＝1，

∵四边形OABC是正方形，

∴OA＝OC，∠AOC＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∴∠3＝∠2，

在△OCE和△AOD中，，

∴△OCE≌△AOD（AAS），

∴OE＝AD＝，CE＝OD＝1，

∴C（﹣，1），

故选：B．

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．的平方根等于　±3　

解：＝9，9的平方根是±3，

故答案是：±3．

12．比较大小：　＜　．（填“＞”，“＜”或“＝”）

解：﹣

＝

＝

∵，

∴4，

∴，

∴﹣＜0，

∴＜．

故答案为：＜．

13．如果直线l与直线y＝﹣2x+1平行，与直线y＝﹣x+2的交点纵坐标为1，那么直线l的函数解析式为　y＝﹣2x+3　．

解：设直线l的解析式为y＝kx+b，

∵直线l与直线y＝﹣2x+1平行，

∴k＝﹣2，

把y＝1代入y＝﹣x+2得﹣x+2＝1，解得x＝1，

∴直线l与直线y＝﹣x+2的交点坐标为（1，1），

把（1，1）代入y＝﹣2x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3，

∴直线l的函数解析式为y＝﹣2x+3．

故答案为y＝﹣2x+3．

14．已知直线y＝ax+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一元一次方程ax+b＝0的解为　2　．

解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点的横坐标是2，

∴一元一次方程ax+b＝0的解是：x＝2．

故答案为2

15．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是　　分米．

解：情形1：平面展开图所示，

AB＝＝13（分米）．

情形2：平面展开图如图所示：

AB＝＝（分米），

∵＜13，

答：它需要爬行的最短路径的长是分米．

三.解答题（共6小题，满分55分）

16．计算：

（1）+﹣8；

（2）（）﹣1﹣﹣﹣（﹣2）2．

解：（1）+﹣8

＝3﹣+×3﹣8×

＝3﹣+﹣

＝3﹣；

（2）（）﹣1﹣﹣﹣（﹣2）2

＝3﹣2﹣（﹣1）﹣（3+4﹣4）

＝3﹣2﹣+1﹣7+4

＝﹣3+．

17．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．

（1）求a，b，c的值；

（2）求3a﹣b+c的平方根．

解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，

∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，

∴a＝5，b＝2，

∵c是的整数部分，

∴c＝3；

（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，

∴3a﹣b+c的平方根是±4．

18．已知，△ABC的三个顶点坐标分别A（0，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）△ABC的面积是　4.5　；（每个小方格是边长为1的正方形）

（2）请画出△ABC关于y轴对称的图形；

（3）设点P在坐标轴上，且△OCP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．

解：（1）如图，△ABC的面积＝3×4﹣×3×3﹣×1×2﹣×1×4＝4.5．

故答案为：4.5．

（2）如图，△A′B′C′即为所求作．

（3）当点P在y轴上时，设P（0，m），

由题意，×|m|×3＝4.5，

∴m＝±3，

∴P（0，3）或（0，﹣3）．

当点P在x轴上时，设P（n，0），

由题意，×|m|×4＝4.5，

∴m＝±，

∴P（，0）或（﹣，0）．

综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，﹣3）或（，0）或（﹣，0）．

19．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：

（1）客车的速度是　60　千米/小时，出租车的速度是　100　千米小时；

（2）根据图象，分别直接写出y1、y2关于x的关系式：　y1＝60x（0≤x≤10），y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）　；

（3）求两车相遇的时间．

（4）x为何值时，两车相距100千米．

解：（1）由图可知，甲乙两地间的距离为600km，

所以，客车速度＝600÷10＝60（km/h），

出租车速度＝600÷6＝100（km/h），

故答案为：60，100；

（2）设客车的函数关系式为y1＝k1x，则10k1＝600，

解得k1＝60，

所以，y1＝60x（0≤x≤10），

设出租车的函数关系式为y2＝k2x+b，

则，

解得，

所以，y2＝﹣100x+600（0≤x≤6），

故答案为：y1＝60x（0≤x≤10），y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；

（3）当出租车与客车相遇时，60x+100x＝600，

解得x＝．

所以两车相遇的时间为小时；

（4）由题意可得：|﹣100x+600﹣60x|＝100，

∴x＝或，

答：x为或时，两车相距100千米．

20．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且＝．

（1）求点B的坐标和k的值；

（2）若点A是在第一象限内直线y＝kx﹣4上的一个动点，当它运动到什么位置时，△AOB的面积是12？

（3）若点A是直线y＝kx﹣4上的一个动点，设A（x，y），△AOB的面积为s，求s关于x的函数表达式，并写出x的取值范围．

解：（1）y＝kx﹣4，

当x＝0时，y＝﹣4，

∴点C的坐标为（0，﹣4），

∴OC＝4，

又∵＝，

∴OB＝3，即点B的坐标为（3，0），

∴3k﹣4＝0，

解得，k＝．

（2）如图1中，作AD⊥OB于D，

由题意得，×OB×AD＝12，

解得，AD＝8，即点A的纵坐标为8，

∴x﹣4＝8，

解得，x＝9，

∴当点A运动到（9，8）时，△AOB的面积是12．

（3）由题意A（x，x﹣4）．

当x＞3时，S＝×3×（x﹣4）＝2x﹣6．

当x＜3时．S＝×3×（4﹣x）＝﹣2x+6，

综上所述，S＝．

21．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s，它们同时出发，设运动的时间为ts．

（1）当t＝2时，PQ＝　2cm　．

（2）求运动几秒时，△APC是等腰三角形？

（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．（直接写答案）

解：（1）当t＝2时，则AP＝2，BQ＝2t＝4，

∵AB＝8cm，

∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6（cm），

在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ＝＝＝2（cm），

即PQ的长为2cm．

故答案是：2cm；

（2）如图1，当PC＝PA时，△APC是等腰三角形，

此时PA＝t＝PC，则PB＝8﹣t，

在Rt△ABP中，由BC2+PB2＝PC2得，

62+（8﹣t）2＝t2，

解得，t＝，

答：运动秒时，△APC是等腰三角形；

（3）①如图2，作BC的中垂线，交AC于点Q，此时QC＝QB，

则MC＝MB＝BC＝3cm，MQ＝AB＝4cm，

∴QC＝＝5（cm），

因此点Q运动的距离为6+5＝11（cm），

故需要的时间t＝11÷2＝5.5（s），

②如图3，以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AC于点Q，则CB＝CQ＝6，

此时点Q运动的距离为6+6＝12（cm），

因此需要的时间为12÷2＝6（s）；

③如图4，以点B为圆心，以CB为半径画弧，交AC于点Q，则BC＝BQ＝6cm，

过点B作BN⊥AC，垂足为N，则，CN＝NQ，

∵∠BNC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，

∴△BNC∽△ABC，

∴＝，

即：＝，

解得，CN＝3.6，

∴CQ＝2CN＝7.2cm，

此时点Q运动的距离为6+7.2＝13.2（cm），

因此需要的时间为13.2÷2＝6.6（s）；

综上所述，当运动时间为5.5秒、6秒、6.6秒时，△BCQ成为等腰三角形．