2019年河南省洛阳市高考数学一模试卷(文科)

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{2，3}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2，3}C．[﹣1，2]D．[﹣1，3]

2．（5分）若复数z为纯虚数且（1+i）z＝a﹣i（其中i是虚数单位，a∈R），则|a+z|＝（）A．B．C．2D．

3．（5分）为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图所示．据此可估计该校上学期400名教师中使用多媒体进行教学次数在[16，30）内的人数为（）

A．100B．160C．200D．280

4．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．5B．6C．9D．10

5．（5分）已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（）

A．（0，3）B．（1，3）C．（1，+∞）D．

6．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝，＝，则＝（）

A．B．C．D．

7．（5分）函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x，（0≤x≤）则函数f（x）的最小值为（）A．1B．﹣2C．D．﹣

8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（）

A．4πB．C．D．

9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（）

A．B．C．D．

10．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.14159…..

判断，下列近似公式中最精确的一个是（）

A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈

11．（5分）在△ABC中，已知2a cos B＝c，sin A sin B（2﹣cos C）＝sin2+，则△ABC为（）

A．等边三角形B．等腰直角三角形

C．锐角非等边三角形D．钝角三角形

12．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝b﹣f（3﹣x），其中b∈R，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数b的取值范围是（）

A．B．C．D．（﹣3，0）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）已知向量，若，则实数t＝．14．（5分）已知，则＝．

15．（5分）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|P A|的最小值为．

16．（5分）已知函数f（x）＝x+sin x（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y ≥1时，的取值范围是．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1＝10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（1）求d，a n；

（2）若d＜0，求此数列前n项的和S n的最大值．

18．通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下2×2列联表：男生女生合计

挑同桌304070

不挑同桌201030

总计5050100

（Ⅰ）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；

（Ⅱ）根据以上2×2列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？

下面的临界值表供参考：

P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）19．在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，△P AD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝，AB＝2CD＝4

（1）设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面P AD

（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

20．已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝9，M在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）点Q（0，﹣t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y＝﹣t上运动，过点P 作C的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO＝∠BQO（其中O为坐标原点）．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣1（x∈R）．

（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为e，求a的值；

（2）若，求证：当x＞0时，f（x）的图象恒在x轴上方．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C1、C2的公共点为A、B．

（Ⅰ）求直线AB的斜率；

（Ⅱ）若点C、D分别为曲线C1、C2上的动点，当|CD|取最大值时，求四边形ACBD的面积．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|（m∈R）．

（1）当m＝1时，解不等式f（x）≥2；

（2）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|的解集包含[3，4]，求m的取值范围．2019年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{2，3}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2，3}C．[﹣1，2]D．[﹣1，3]

【考点】1D：并集及其运算．

【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．

【分析】可求出集合A，然后进行并集的运算即可．

【解答】解：A＝{x∈N*|﹣1≤x≤2}＝{1，2}，B＝{2，3}；

∴A∪B＝{1，2，3}．

故选：B．

【点评】考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．

2．（5分）若复数z为纯虚数且（1+i）z＝a﹣i（其中i是虚数单位，a∈R），则|a+z|＝（）A．B．C．2D．

【考点】A8：复数的模．

【专题】11：计算题；38：对应思想；5N：数系的扩充和复数．

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值，则|a+z|可求．

【解答】解：由（1+i）z＝a﹣i，得，

∵复数z为纯虚数，

∴，解得a＝1．

∴z＝﹣i，

则|a+z|＝|1﹣i|＝．

故选：A．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

3．（5分）为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图所示．据此可估计该校上学期400名教师中使用多媒体进行教学次数在[16，30）内的人数为（）

A．100B．160C．200D．280

【考点】BA：茎叶图．

【专题】27：图表型．

【分析】先由茎叶图确定样本中教学次数在[16，30）的人数，进而通过样本进行估计总体．

【解答】解：由茎叶图可知，样本中教学次数在[16，30）的人数为8人，则教学次数在[16，30）的频率为，

所以可估计该校上学期400名教师中使用多媒体进行教学次数在[16，30）内的人数为人．

故选：B．

【点评】本题考查了茎叶图的应用，以及利用样本进行总体估计的方法．比较基础．4．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）

A．5B．6C．9D．10

【考点】K4：椭圆的性质．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件列出方程，然后求解m即可．

【解答】解：椭圆，长轴在y轴上，焦距为4，

可得，解得m＝9．

故选：C．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．

5．（5分）已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（）

A．（0，3）B．（1，3）C．（1，+∞）D．

【考点】3E：函数单调性的性质与判断．

【专题】51：函数的性质及应用．

【分析】根据一次函数以及指数函数的性质，结合函数的单调性得到不等式组，解出即可．

【解答】解：由题意得：

，解得：≤a＜3，

故选：D．

【点评】本题考查了一次函数，指数函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题．6．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝，＝，则＝（）

A．B．C．D．

【考点】9H：平面向量的基本定理．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC 于点G，使用已知向量表示出要求的向量，

得到结果．

【解答】解：∵由题意可得△DEF∽△BEA，

∴＝＝，再由AB＝CD可得＝，

∴＝．

作FG平行BD交AC于点G，

∴＝，∴＝＝＝．

∵＝+＝+＝+＝＝，

∴＝+＝+，

故选：B．

【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的，本题属于中档题．7．（5分）函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x，（0≤x≤）则函数f（x）的最小值为（）A．1B．﹣2C．D．﹣

【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．

【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．

【分析】先利用二倍角公式、辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求函数的最小值

【解答】解：∵f（x）＝sin2x﹣2sin2x，

＝

＝2sin（2x+）﹣1

∵0≤x≤

∴

∴

∴﹣2≤f（x）≤1

则函数f（x）的最小值为﹣2

故选：B．【点评】本题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用及正弦函数性质的简单应用，属于基础试题

8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（）

A．4πB．C．D．

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．

【分析】作出几何体的直观图，得出外接球的半径，代入体积公式计算得出答案．

【解答】解：几何体为三棱锥，直观图如图所示：

其中P A⊥底面ABCD，是正方体的一部分，棱长为：2，

棱锥的外接球就是正方体的外接球，球的直径为：＝，

∴外接球半径R＝．

∴外接球的体积V＝πR3＝．

故选：B．

【点评】本题考查了棱锥的三视图，棱锥与外接球的位置关系，体积公式，属于中档题．9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（）

A．B．C．D．

【考点】L2：棱柱的结构特征．

【专题】31：数形结合；49：综合法；5Q：立体几何．

【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．

【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，

分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．

由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．

又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．

∴三棱柱的高h＝PE＝A1C＝．

故选：D．

【点评】本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键，属于中档题．

10．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.14159…..

判断，下列近似公式中最精确的一个是（）

A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈【考点】F5：演绎推理．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．

【解答】解：由V＝，解得d＝设选项中的常数为，则π＝

选项A代入得π＝＝3.375；选项B代入得π＝＝3；

选项C代入得π＝＝3.14；选项D代入得π＝＝3.142857

由于D的值最接近π的真实值

故选：D．

【点评】本题主要考查了球的体积公式及其估算，同时考查了计算能力，属于中档题．11．（5分）在△ABC中，已知2a cos B＝c，sin A sin B（2﹣cos C）＝sin2+，则△ABC为（）

A．等边三角形B．等腰直角三角形

C．锐角非等边三角形D．钝角三角形

【考点】HP：正弦定理．

【专题】56：三角函数的求值．

【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cos C的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．

【解答】解：将已知等式2a cos B＝c，利用正弦定理化简得：2sin A cos B＝sin C，

∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，

∴2sin A cos B＝sin A cos B+cos A sin B，即sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）＝0，

∵A与B都为△ABC的内角，

∴A﹣B＝0，即A＝B，

已知第二个等式变形得：sin A sin B（2﹣cos C）＝（1﹣cos C）+＝1﹣cos C，﹣[cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cos C）＝1﹣cos C，

∴﹣（﹣cos C﹣1）（2﹣cos C）＝1﹣cos C，

即（cos C+1）（2﹣cos C）＝2﹣cos C，

整理得：cos2C﹣2cos C＝0，即cos C（cos C﹣2）＝0，

∴cos C＝0或cos C＝2（舍去），

∴C＝90°，

则△ABC为等腰直角三角形．

故选：B．

【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

12．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝b﹣f（3﹣x），其中b∈R，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数b的取值范围是（）

A．B．C．D．（﹣3，0）

【考点】52：函数零点的判定定理．

【专题】33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．

【分析】化简f（3﹣x），作函数b＝b＝f（x）+f（3﹣x）的图象如下，结合函数的图象可得b的范围．

【解答】解：∵f（x）＝，

∴f（3﹣x）＝，

由y＝f（x）﹣g（x）＝f（x）+f（3﹣x）﹣b＝0，

得b＝f（x）+f（3﹣x），

令h（x）＝f（x）+f（3﹣x）＝，

函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即y＝b与h（x）＝f（x）+f（3﹣x）的图象有4个不同交点，

作出函数图形如图：

结合函数的图象可得，

当﹣3＜b＜﹣时，函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，

∴实数b的取值范围是（﹣3，﹣）．

故选：B．

【点评】本题考查了绝对值函数的化简与应用，同时考查了数形结合的思想方法，是中档题．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）已知向量，若，则实数t＝﹣2．【考点】96：平行向量（共线）．

【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．

【分析】可求出，根据即可得出﹣3（1+t）﹣（1﹣t）＝0，解出t即可．

【解答】解：；

∵；

∴﹣3（1+t）﹣（1﹣t）＝0；

解得t＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】考查向量坐标的加法和减法运算，以及平行向量的坐标关系．14．（5分）已知，则＝．

【考点】GP：两角和与差的三角函数．

【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值．

【分析】由已知利用两角和的正切函数公式tanα＝，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．

【解答】解：∵，则＝＝2，

∴解得：tanα＝，

∴＝＝＝．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

15．（5分）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|P A|的最小值为9．

【考点】KA：双曲线的定义；KC：双曲线的性质．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据P A|+|PF′|≥|AF′|＝5两式相加求得答案．

【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），

∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|＝2a＝4

而|P A|+|PF′|≥|AF′|＝5

两式相加得|PF|+|P A|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．

故答案为9．

【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．16．（5分）已知函数f（x）＝x+sin x（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是[，]．

【考点】3E：函数单调性的性质与判断；6B：利用导数研究函数的单调性．

【专题】51：函数的性质及应用．

【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．

【解答】解：∵f（x）＝x+sin x（x∈R），

∴f（﹣x）＝﹣x﹣sin x＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），

即f（x）＝x+sin x（x∈R）是奇函数，

∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，

∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）＝f[﹣（x2﹣4x+1）]，

由f'（x）＝1+cos x≥0，

∴函数单调递增．

∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），

即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，

∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，

∵y≥1，

∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．

设k＝，（k＞0）

则y＝kx+k，即kx﹣y+k＝0．

当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝＝1，

即8k2﹣6k＝0，解得k＝．此时直线斜率最大．

当直线kx﹣y+k＝0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，

此时3k﹣1+k＝0，即4k＝1，解得k＝，

∴≤k≤，

故答案为[，]．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1＝10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（1）求d，a n；

（2）若d＜0，求此数列前n项的和S n的最大值．

【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．

【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）由已知得到，再由公差为d的等差数列{a n}中，a1＝10，将等式用首项与公差表示出来即可解出公差，再求通项．

（Ⅱ）数列前n项的和S n的最大值即所有正项的和，所以令a n≥0，解出所有的正项，再求它们的和即可

【解答】解：（Ⅰ）由已知得到：

；

（Ⅱ）由（1）知，当d＜0时，a n＝11﹣n，a n≥0⇒n≤11

故（S n）max＝S11＝55．

【点评】本题考查等差数列与等比数列的性质，数列前n项和的最大值的求法，所有正项的和最大，这是求和最大值的理论依据．

18．通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下2×2列联表：男生女生合计挑同桌304070

不挑同桌201030

总计5050100

（Ⅰ）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；（Ⅱ）根据以上2×2列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？

下面的临界值表供参考：

P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）

【考点】BL：性检验．

【专题】12：应用题；38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．

【分析】（Ⅰ）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有3人，不挑同桌有2人，

利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；

（Ⅱ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值表得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A、B、C，

不挑同桌有2人，记为d、e；

从这5人中随机选取3人，基本事件为

ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，Ade，BCd，BCe，Bde，Cde共10种；

这3名学生中至少有2名要挑同桌的事件为概率为

ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，共7种；

故所求的概率为P＝；

（Ⅱ）根据以上2×2列联表，计算观测值

K2＝≈4.7619＞3.841，

对照临界值表知，有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．【点评】本题考查了分层抽样原理与列举法求基本事件的概率和2×2列联表计算观测值的问题，是综合题．

19．在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，△P AD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝，AB＝2CD＝4

（1）设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面P AD

（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．

【专题】14：证明题；31：数形结合；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．

【分析】（1）推导出AD⊥BD，从而BD⊥平面P AD，由此能证明平面MBD⊥平面P AD．（2）取AD中点为O，则PO是四棱锥的高，底面ABCD的面积是△ABD面积的，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．

【解答】证明：（1）在△ABD中，

∵AD＝2，BD＝，AB＝2CD＝4，

∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，

∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，

∴BD⊥平面P AD，

又BD⊂平面BDM，∴平面MBD⊥平面P AD．

解：（2）取AD中点为O，则PO是四棱锥的高，

PO＝＝，S△ABD＝＝＝2，

底面ABCD的面积是△ABD面积的，即3，

∴四棱锥P﹣ABCD的体积为V＝．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．20．已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝9，M在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）点Q（0，﹣t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y＝﹣t上运动，过点P

作C的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO＝∠BQO（其中O为坐标原点）．【考点】K8：抛物线的性质．

【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（I）解法一：可得，a2+b2＝9，即，又a2＝2pb，所以，解得p＝4，即可

解法二：可得圆M必过抛物线的焦点，又圆M过原点，得，

又圆的半径为3，得，又a2＝2pb，得p＝4．即可；

解法三：由圆M与抛物线准线相切，得，

且圆过又圆过原点，故，可得，解得p＝4，即可

（Ⅱ）：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，﹣t），切线P A方程为：y﹣y1＝

可得﹣t＝，即x1，x2为方程x2﹣2mx﹣8t＝0的两根，所以x1+x2＝2m，x1x2＝﹣8t，

因为Q（0，﹣t），所以k AQ+k BQ＝＝＝

＝

即可得∠AQO＝∠BQO

【解答】解：（I）解法一：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆半径为3，

故，（1分）

因为圆过原点，所以a2+b2＝9，所以，（2分）

又a2＝2pb，所以，（3分）

因为p＞0，所以p＝4，所以抛物线C方程x2＝8y．（4分）

解法二：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，

圆M必过抛物线的焦点，（1分）又圆M过原点，所以，（2分）

又圆的半径为3，所以，又a2＝2pb，（3分）

又，得p2＝16（p＞0），所以p＝4．所以抛物线C方程x2＝8y．（4分）解法三：因为圆M与抛物线准线相切，所以，（1分）

且圆过又圆过原点，故，可得，（3分）

解得p＝4，所以抛物线C方程x2＝8y．（4分）

（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，﹣t），

C方程为，所以y′＝，（5分）

∴抛物线在点A处的切线的斜率k＝，所以切线P A方程为：y﹣y1＝

即，化简得y＝（6分）

又因过点P（m，﹣t），故可得﹣t＝（7分）

即x12﹣2mx1﹣8t，同理可得x22﹣2mx2﹣8t（8分）

所以x1，x2为方程x2﹣2mx﹣8t＝0的两根，所以x1+x2＝2m，x1x2＝﹣8t，（9分）因为Q（0，﹣t），所以k AQ+k BQ＝＝＝

＝

所以∠AQO＝∠BQO．（12分）

【点评】本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查了方程思想、转化思想，考查了运算能力，属于难题．

21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣1（x∈R）．

（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为e，求a的值；

（2）若，求证：当x＞0时，f（x）的图象恒在x轴上方．

【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，利用导函数的值，求解a即可．

（2）f'（x）＝e x﹣2ax，令h（x）＝f'（x），h'（x）＝e x﹣2a，通过（ⅰ）当时（ⅱ）当时，判断函数的单调性求解函数的最值推出结果即可．

【解答】解：（1）函数f（x）＝e x﹣ax2﹣1（x∈R）．可得f'（x）＝e x﹣2ax，

曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为e，

∴f'（1）＝e﹣2a＝e，

∴a＝0．

（2）f'（x）＝e x﹣2ax，

令h（x）＝f'（x），h'（x）＝e x﹣2a，

（ⅰ）当时，h'（x）＞0，f'（x）单调递增，f'（x）＞f'（0）＝1，f（x）单调递增，f（x）＞f（0）＝0，满足题意．

（ⅱ）当时，h'（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a．

当x∈（0，ln2a），h'（x）＜0，f'（x）单调递减；

当x∈（ln2a，+∞），h'（x）＞0，f'（x）单调递增，

此时，

∵，1﹣ln2a≥0，即f'（x）min＞0，

∴f（x）单调递增，f（x）＞f（0）＝0，满足题意．

综上可得：当且x＞0时，f（x）的图象恒在x轴上方．

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，分类讨论思想的应用．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C1、C2的公共点为A、B．

（Ⅰ）求直线AB的斜率；

（Ⅱ）若点C、D分别为曲线C1、C2上的动点，当|CD|取最大值时，求四边形ACBD的面积．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】49：综合法；5B：直线与圆；5S：坐标系和参数方程．

【分析】（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，利用互化公式可得普通方程．上述两个方程相减可得直线AB的方程及其斜率．

（Ⅱ）当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时，线段CD取得最大值，此时|CD|＝3+＝+3．直线C1•C2的方程为：y＝﹣x+1，可得C1•C2⊥AB．利用弦长公式可得|AB|，当|CD|取最大值时，四边形ACBD的面积S＝|AB|•|CD|．

【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数化为：x2+（y﹣1）2＝1．

曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为普通方程：x2+y2＝4x．

上述两个方程相减可得：2x﹣y＝0．

则直线AB的斜率为2．

（Ⅱ）当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时，线段CD取得最大值，此时|CD|＝3+＝+3．

|AB|＝2＝．

直线C1•C2的方程为：y＝﹣x+1，可得C1•C2⊥AB．

∴当|CD|取最大值时，四边形ACBD的面积S＝|AB|•|CD|＝××（3+）＝2+．

【点评】本题考查了直线与圆的参数方程极坐标方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|（m∈R）．

（1）当m＝1时，解不等式f（x）≥2；

（2）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|的解集包含[3，4]，求m的取值范围．

【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】（1）通过x讨论去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．（2）题目转化为当x∈[3，4]时，|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|恒成立，即|x﹣m|≤x+4，转化求解即可．

【解答】解：（1）当时，f（x）＝﹣2x﹣1+（x﹣1）＝﹣x﹣2，

由f（x）≥2解得x≤﹣4，综合得x≤﹣4；

当时，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x，

由f（x）≥2解得，综合得；

当x≥1时，f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝x+2，

由f（x）≥2解得x≥0，综合得x≥1．

所以f（x）≥2的解集是．

（2）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|的解集包含[3，4]，

∴当x∈[3，4]时，|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|恒成立

原式可变为2x+1﹣|x﹣m|≥x﹣3，即|x﹣m|≤x+4，

∴﹣x﹣4≤x﹣m≤x+4即﹣4≤m≤2x+4在x∈[3，4]上恒成立，

显然当x＝3时，2x+4取得最小值10，

即m的取值范围是[﹣4，10]．

【点评】本题考查不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．