河南省郑州市枫杨外国语2020-2021学年八年级下学期第二次月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列式子：①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1，其中不等式有（　　）个

A．3 ．4 ．5 ．6

2．下列各式中，分式的个数为（　　）

，，，，，，

A．2个 ．3个 ．4个 ．5个

3．下列命题中，逆命题为真命题的是（　　）

A．对顶角相等

B．邻补角互补

C．两直线平行，同位角相等

D．互余的两个角都小于90°

4．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（    ）

A．x2+2x﹣1 ． x2﹣x + ．x2+xy+y2 ．9+x2﹣3x

5．不等式 4x＋12＞0 的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A． ．

C． ．

6．若分式有意义，则应满足的条件为（    ）

A． ． ． ．且

7．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ）

A．+ ． ． ．

8．如图，在中，，分别是以点A，点B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交点的连线交于点，交于点，连接，若，则（  ）

A． ． ． ．

9．下列不等式变形错误的是（    ）

A．若 a＞b，则 1﹣a＜1﹣b ．若 a＜b，则 ax2≤bx2

C．若 ac＞bc，则 a＞b ．若 m＞n，则＞

10．若分式，则分式的值等于（　　）

A．﹣ ． ．﹣ ．

11．如图，．①以点为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、；②在分别以、为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③连结、，则四边形的面积为（    ）

A． ． ． ．

12．关于 x 的不等式组恰好只有 4 个整数解，则 a 的取值范围为（    ）

A．-2≤a＜-1 ．-2＜a≤-1 ．-3≤a＜-2 ．-3＜a≤-2

13．如图，已知的面积为8，在上截取，作的平分线交于点，连接，则的面积为（    ）

A．2 ．4 ．5 ．6

14．已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（    ）

A．b>0，b2-ac≤0 ．b＜0，b2-ac≤0

C．b>0，b2-ac≥0 ．b＜0，b2-ac≥0

15．一次函数 与 的图象如图所示，下列说法：① ；②函数 不经过第一象限；③不等式 的解集是 ；④ ．其中正确的个数有(   )

A．4 ．3 ．2 ．1

二、填空题

16．若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________．

17．若分式方程有正数解，则的取值范围是_______．

18．分式方程有增根，则的值为__________。

19．若数关于的不等式组恰有两个整数解，且使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和是_______．

20．在等腰三角形中，边上的高恰好等于边长的一半，则等于_______．

三、解答题

21．计算：

（1）因式分解：；

（2）因式分解：；

（3）化简：；

（4）解分式方程：．

22．化简式子（1），并在﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．

23．红旗连锁超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表．已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．

（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润=售价-进价）不少于4800元，且不超过4900元，问该超市有几种进货方案？

（3）在（2）的条件下，该超市如果对甲种袋裝食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？

24．如图（1），中，，，，的平分线交于，过点作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，同时动点从点出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时、同时停止运动．

（1）请写出的长为_______，的长为_______；

（2）当在上在上运动时，如图（2），设与交于点，当为何值时，为等腰三角形？求出所有满足条件的值．

参

1．C

【分析】

根据不等式定义可得答案．

【详解】

①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1是不等式，共5个，

故选C．

【点睛】

本题考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．

2．B

【分析】

根据如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．

【详解】

、、分母中含字母，因此是分式；

一共有3个；

故选B.

【点睛】

本题考查分式的定义，解题关键是熟练掌握分式的定义.

3．C

【分析】

先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假，即可．

【详解】

A．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；

B．邻补角互补的逆命题是互补的角是邻补角，逆命题是假命题；

C．两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题；

D．互余的两个角都小于90°的逆命题是都小于90°的角互余，逆命题是假命题；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查逆命题与真假命题，能写出原命题的逆命题是解题的关键．

4．B

【分析】

根据“多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是”可知，本题主要考查的是用完全平方公式进行因式分解.而能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另-项是这两个数(或式)的积的2倍,据此判断即可.

【详解】

A. x2+2x﹣1不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意;

B. x2﹣x +=( x-)2，能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意;

C. x2+xy+y2不能直接用完全平方公式进行因式分解,故此选项不合题意;

D. 9+x2 - 3x不能直接用完全平方公式进行因式分解,故此选项不合题意;

故选B .

【点睛】

本题考查用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

5．C

【分析】

不等式4x＋12＞0的解集是x﹥-3，大于应向右画，且不包括-3时，应用空心圆表示，不能用实心的圆点表示-3这一点，据此可求得不等式的解集在数轴上的表示．

【详解】

解：不等式移项，得

4x>−12，

系数化为1，得

x﹥-3；

不包括-3时，应用空心圆表示，不能用实心的原点表示-3这一点，

故选：C．

【点睛】

本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集时，大于向右，小于向左，有等于号的画实心圆点，没有等于号的画空心圆圈．

6．D

【分析】

根据分式有意义的条件是分母不为0，即x(x-1) ≠0解之即可．

【详解】

解：要使分式有意义，

需使x(x-1) ≠0，解得：x≠0且x≠1

故选：D

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，理解分式的定义是解题的关键．

7．D

【分析】

利用能用平方差公式因式分解的的式子特点求解即可：两项是平方项，符号相反

【详解】

A：两项符号相同，故不能；B：两项不是平方项，故不能；C：两项符号相同，故不能；D：两项是平方项，符号相反，故可以

所以答案为D选项

【点睛】

本题主要考查了能用平方差公式因式分解的特点，熟练掌握该特点是解题关键

8．B

【分析】

根据题意，DE是AB的垂直平分线，则AD=BD，，又AB=AC，则∠ABC=70°，即可求出.

【详解】

解：根据题意可知，DE是线段AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B.

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出的度数.

9．C

【分析】

根据不等式的基本性质，逐项判断即可．

【详解】

A、∵a＞b，

∴﹣a＜-b，1﹣a＜1﹣b

∴选项A不符合题意；

B、∵a＜b，x2≥0

∴ax2≤bx2，

∴选项B不符合题意；

C、∵ac＞bc，c是什么数不明确，

∴a＞b不正确，

∴选项C符合题意；

D、∵m＞n，

∴＞，

∴选项D不符合题意．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．

10．B

【解析】

试题分析：整理已知条件得y-x=2xy；

∴x-y=-2xy

将x-y=-2xy整体代入分式得

．

故选B．

考点：分式的值．

11．B

【分析】

先确定OB是∠MON的角平分线，得出∠BON＝30°，作BD⊥ON于D，根据等腰三角形的性质得出∠BCN＝60°，解直角三角形求得BD，然后根据三角形面积公式求得△BOC的面积，进而求得四边形OABC的面积．

【详解】

解：由题意可知OB是∠MON的角平分线，

∵∠MON＝60°，

∴∠BON＝30°，

作BD⊥ON于D，

∵OC＝BC＝2，

∴∠BOC＝∠OBC＝30°，

∴∠BCN＝60°，

∴BD＝

∴S△BOC＝

∴四边形OABC的面积＝2S△BOC＝(cm)2

故选：B．

【点睛】

本题考查了角平分线的判定和性质，等腰三角形的性质以及三角形的面积，解直角三角形求得BD是解题的关键．

12．A

【分析】

首先确定不等式组的解集，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．

【详解】

解：

解不等式组①，得x<，

解不等式组②，得x>a+1，

则不等式组的解集是a+1因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是0，1，2，3．

所以可以得到-1⩽ a+1<0，

解得−2≤a＜−1．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等组的整数解.正确解出不等式组的解集，确定a+1的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

13．B

【分析】

根据等腰三角形底边上的三线合一的性质可得AP＝PD，然后根据等底等高的三角形面积相等求出△BPC的面积等于△ABC面积的一半，代入数据计算即可得解．

【详解】

解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线，

∴AP＝PD，

∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，

∴S△BPC＝S△BPD＋S△CPD＝S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，

∵△ABC的面积为8，

∴S△BPC＝×8＝4．

故选：B．

【点睛】

本题考查了等腰三角形底边上的三线合一的性质，三角形的面积的运用，利用等底等高的三角形的面积相等求出△BPC的面积与△ABC的面积的关系是解题的关键．

14．D

【解析】

【分析】

根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.

【详解】

解：∵a-2b+c=0，

∴a+c=2b，

∴a+2b+c=4b＜0，

∴b＜0，

∴a2+2ac+c2=4b2，即

∴b2-ac=，

故选：D.

【点睛】

本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.

15．A

【分析】

仔细观察图象：①a的正负看函数y1＝ax＋b图象从左向右成何趋势，b的正负看函数y1＝ax＋b图象与y轴交点即可；②c的正负看函数y2＝cx＋d从左向右成何趋势，d的正负看函数y2＝cx＋d与y轴的交点坐标；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④看两直线都在x轴上方的自变量的取值范围．

【详解】

由图象可得：a＜0，b＞0，c＞0，d＜0，

∴ab＜0，故①正确；

函数y＝ax＋d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②正确，

由图象可得当x＜3时，一次函数y1＝ax＋b图象在y2＝cx＋d的图象上方，

∴ax＋b＞cx＋d的解集是x＜3，故③正确；

∵一次函数y1＝ax＋b与y2＝cx＋d的图象的交点的横坐标为3，

∴3a＋b＝3c＋d

∴3a−3c＝d−b，

∴a−c＝（d−b），故④正确，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．

16．或

【解析】

由题意得，.

 ，

 ，

 ，

 或 .

17．k＜6

【分析】

解分式方程得x=-k+6，根据分式方程有正数解，得-k+6＞0，解此不等式即可．

【详解】

解： ，

解得，x=-k+6

∵分式方程有正数解，

∴-k+6＞0，

∴k＜6

故答案为：k＜6

【点睛】

本题考查了分式方程的正数解求字母系数的取值范围，涉及到解分式方程和不等式．

18．3

【解析】

【分析】

方程两边都乘以最简公分母（x-1）（x+2）把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解．

【详解】

解：∵分式方程有增根，

∴x-1=0，x+2=0，

∴x1=1，x2=-2．

两边同时乘以（x-1）（x+2），原方程可化为x（x+2）-（x-1）（x+2）=m，

整理得，m=x+2，

当x=1时，m=1+2=3，

当x=-2时，m=-2+2=0，

当m=0时，方程为=0，

此时1=0，

即方程无解，

∴m=3时，分式方程有增根，

故答案为：m=3.

【点睛】

本题考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解题关键．

19．5

【分析】

先解不等式得出解集x≤2且x≥，根据其有两个整数解得出0＜≤1，解之求得的范围；解分式方程求出y＝2−1，由解为正数且分式方程有解得出2−1＞0且2−1≠1，解之求得的范围；综合以上的范围得出的整数值，从而得出答案．

【详解】

解：

解不等式①得：x≤2

解不等式②得：x≥

∵不等式组恰有两个整数解，

∴0＜≤1

解得，

解分式方程得：

由题意知，解得且

则满足，且的所有整数的值是2和3；

它们之和是2+3=5

故答案为：5

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式组和求方程的正数解，解题的关键是根据不等式组整数解和方程的正数解得出的范围，再求和即可．

20．75°或90°或15°

【分析】

本题要分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当BC为腰，AD在三角形的内部，②BC为腰，AD在三角形的外部，③BC边为等腰三角形的底边．

【详解】

解：如下图，分三种情况：

①如图1，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，

由题意知，AD=BC＝AB，

Sin∠B=

∴∠B＝30°，

∴∠C＝∠BAC=（180°−∠B）÷2＝75°，

∴∠BAC＝∠C＝75°；

②如图2，AC＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，

由题意知，AD＝BC＝AC，

∴∠ACD＝30°＝∠B＋∠CAB，

∵∠B＝∠CAB，

∴∠BAC＝∠ACD＝15°；

③如图3，AC＝BC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，

由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点D为BC的中点，

由题意知，AD＝BC＝CD＝BD，

∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，

∴∠BAD＝∠CAD＝45°，

∴∠BAC＝90°，

∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，

故答案为：90°或75°或15°．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理、三角形的外角的性质；本题要分三种情况讨论：前两种情况为∠BAC为等腰三角形的底角，且AD在三角形内部或是外部；第三种为∠BAC为等腰三角形的顶角，这是正确解答本题的关键．

21．（1）(2x+7)(2x-1)；（2）；（3）（4）无解

【分析】

（1）直接用十字相乘法分解即可；

（2）先用分组法把前三项、后两项分成2组分别分解，先用完全平方公式分解，再提取公因式即可得解；

（3）先把括号里面的通分并相减，再除法；

（4）分式的两边都乘以最简公分母，去括号并整理得整式方程的解，然后验根得出分式方程的解．

【详解】

解：（1）=(2x+7)(2x-1)

（2）

=

=

=

（3）

（4）

方程两边都乘以(x+2)(x-2)得：(x-2)2-x2+4=16

去括号，并整理得：-4x=8

解得：x=-2

经检验x=-2不是原方程的解

故原方程无解

【点睛】

本题考查了分解因式涉及到的方法有十字相乘法、分组分解法、公式法、提公因式法；还考查了分式运算、解分式方程．熟练掌握运算方法是解题的关键．

22．，1.

【解析】

【分析】

根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从-2，-1，0，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答即可．

【详解】

（1）

＝[]

＝（）

，

当a＝﹣2时，原式1．

【点睛】

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

23．（1）10；（2）超市共有21种进货方案；（3）当x=160时，W有最大值，此时应购进甲种绿色袋装食品160袋，购进乙种绿色袋装食品0袋．

【分析】

（1）用总价除以进价表示出购进的食品袋数，根据甲、乙两种绿色袋装食品的袋数相等列出方程并求解即可；

（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，则购进乙种绿色袋装食品（800-x）袋，根据题意得关于x的不等式组，解不等式组，得出x的取值范围，结合x为正整数，可得进货方案数；

（3）设总利润为W，根据总利润等于甲乙两种食品的利润之和列式并整理，可得W关于x的一次函数，然后根据a的取值分类计算即可．

【详解】

解：（1）由题意得： 

解得：m=10

经检验m=10是原分式方程的解

∴m的值为10；

（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，则购进乙种绿色袋装食品（800-x）袋，根据题意得：

解得：160≤x≤180

∵x是正整数

∴该超市共有21种进货方案．

（3）设总利润为W，则

W=（20-10-a）x+（13-8）（800-x）

=（5-a）x+4000

①当1＜a＜5时，5-a＞0，W随x的增大而增大

∴当x=180时，W有最大值，即此时应购进甲种绿色袋装食品180袋，购进乙种绿色袋装食品620袋；

②当a=5时，W=4000，（2）中所有方案获利都一样；

③当5＜a＜8时，5-a＜0，W随x的增大而减小

∴当x=160时，W有最大值，此时应购进甲种绿色袋装食品160袋，购进乙种绿色袋装食品0袋．

【点睛】

此题考查分式方程在实际问题中的应用，一元一次不等式组的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．

24．（1）OC＝2，BC＝2；（2）t= 或

【分析】

（1）求出∠B，根据直角三角形性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC，即可得出答案；

（2）有三种情况：①OM＝PM时，求出OP＝2OQ，代入求出即可；②PM＝OP时，此时不存在等腰三角形；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG＋QG＝t−2，即可求出答案．

【详解】

（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，的平分线交于，

∴∠B＝30°，

∴OA＝

由勾股定理得：AB＝3，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，

∴OC＝BC，

在△AOC中，AO2＋AC2＝CO2，

∴()2＋（3−OC）2＝OC2，

∴OC＝2＝BC，

答：OC＝2，BC＝2．

（2）解：如图，∵ON⊥OB，

∴∠NOB＝90°，

∵∠B＝30°，∠A＝90°，

∴∠AOB＝60°，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC＝30°，

∴∠NOC＝90°−30°＝60°，

①OM＝PM时，

∠MOP＝∠MPO＝30°，

∴∠PQO＝180°−∠QOP−∠MPO＝90°，

∴OP＝2OQ，

∴2（t−2）＝4−t，

解得：t＝

②PM＝OP时，

此时∠PMO＝∠MOP＝30°，

∴∠MPO＝120°，

∵∠QOP＝60°，

∴此时不存在；

③OM＝OP时， 

过P作PG⊥ON于G，

OP＝4−t，∠QOP＝60°，

∴∠OPG＝30°，

∴GO＝（4−t），PG＝（4−t），

∵∠AOC＝30°，OM＝OP，

∴∠OPM＝∠OMP＝75°，

∴∠PQO＝180°−∠QOP−∠QPO＝45°，

∴PG＝QG＝（4−t），

∵OG＋QG＝OQ，

∴（4−t）+（4−t）＝t−2，

解得：t＝

综合上述：当t为 或时△OPM是等腰三角形．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，解一元一次方程，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的运用，本题综合性比较强，难度偏大，主要考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力，并且运用了方程思想和分类讨论思想．