高中数学解析几何

第一节   直线的倾斜角、斜率及方程

A组

1．已知θ∈R，则直线xsinθ－y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．

解析：k＝sinθ，∵θ∈R，∴k∈[－，]，∴倾斜角α∈[0°，30°]∪[150°，180°)．答案：[0°，30°]∪[150°，180°)

2．已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0，l2的方程是bx－y－a＝0(ab≠0，a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是________．

解析：kl1＝a，l1与y轴的交点为(0，b)，kl2＝b，l2与y轴的交点为(0，－a)，可知④对．答案：④

3．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该点的坐标是______________．

解析：mx－y＋2m＋1＝0⇒m(x＋2)＋(1－y)＝0，

∴x＝－2时，y＝1，即过定点(－2,1)．答案：(－2,1)

4．(2008年高考浙江卷)已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.

解析：由kAB＝kBC，即＝，可得a(a2－2a－1)＝0，即a＝1±或a＝0，又a>0，故a＝1＋.答案：1＋

5．(原创题)若点A(ab，a＋b)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0不经过第________象限．

解析：点A在第一象限内，∴ab>0且a＋b>0，即a>0，b>0，

由bx＋ay－ab＝0⇒y＝－x＋b，∴－ <0，y轴的交点为(0，b)，

∴直线不过第三象限．答案：三

6．求过点P(2,3)，且满足下列条件的直线方程：

(1)倾斜角等于直线x－3y＋4＝0的倾斜角的二倍的直线方程；

(2)在两坐标轴上截距相等的直线方程．

解：(1)由题意，可知tanα＝，k＝tan2α＝＝＝，

y－3＝(x－2)，所以所求直线的方程为：3x－4y＋6＝0.

(2)当直线过原点时方程为：y＝x，当直线不过原点时方程为：＋＝1，故所求直线的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.

B组

1．直线l的倾角α满足4sinα＝3cosα，而且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是________________．

解析：由4sinα＝3cosα，得tanα＝，∴k＝，直线l在x轴上的截距为3，∴l与x轴的交点为(3,0)，∴直线l：y－0＝(x－3)，即3x－4y－9＝0.

2．已知直线y＝kx－2k－1与直线x＋2y－4＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________．

解析：由，解之得，∵交点在第一象限，∴x>0，y>0，得k>或k<－.

3．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点恰为(1，－1)，则直线l的斜率为________．

解析：设直线l与两直线的交点分别为(a,1)，(b，c)，P、Q的中点为(1，－1)，∴c＝－2－1＝－3，代入x－y－7＝0可得b＝4，∴a＝2－b＝－2，∴P(－2,1)，Q(4，－3)，∴kPQ＝＝－.

4．若直线(k2－1)x－y－1＋2k＝0不过第二象限，则实数k的取值范围是________．

解析：由直线方程可化为y＝(k2－1)x＋2k－1，直线不过第二象限，

∴或或，解之得k≤－1.

5．(2010年苏州模拟)若ab<0，则过点P(0，－)与Q(，0)的直线PQ的倾斜角的取值范围是__________．

解析：kPQ＝＝<0.又倾斜角的取值范围为[0，π)，所以直线PQ的倾斜角的取值范围是(，π)．

6．函数y＝asinx－bcosx的一个对称轴方程为x＝，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为______．

解析：令f(x)＝asinx－bcosx，由于f(x)的一条对称轴为x＝，得f(0)＝f()，即－b＝a，＝－1.∴直线ax－by＋c＝0的斜率为－1，倾斜角为135°.

7．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0与a2x＋b2y＋1＝0的交点是P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是______________________．

解析：由条件可得2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，显然点(a1，b1)与(a2，b2)在直线2x＋3y＋1＝0上．

8．直线ax＋y＋1＝0与连结A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，则a的取值范围是__．

解析：∵直线ax＋y＋1＝0过定点C(0，－1)，当直线处在直线AC与BC之间时，必与线段AB相交，故应满足－a≥或－a≤，即a≤－2或a≥1.

9．(2010年湛江质检)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，P是AB上的一动点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是________．

解析：以C为坐标原点，CA，CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，所以A(3,0)，B(0,4)．直线AB：＋＝1，设P(x，y)，所以P到AC、BC的距离乘积为xy，xy＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－[(x－)2－]≤×＝3.

答案：3

10．已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.

(1)证明：直线恒过定点M；

(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．

解：(1)证明：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0可化为(x－2y－3)m＝－2x－y－4.由得，∴直线必过定点(－1，－2)．

(2)设直线的斜率为k，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，∴OA＝－1，OB＝k－2，

S△AOB＝·|OA|·|OB|＝|(－1)(k－2)|＝|－|.

∵k<0，∴－k>0，∴S△AOB＝[－]＝[4＋(－)＋(－k)]≥4.

当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号，∴△AOB的面积最小值是4，

直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即y＋2x＋4＝0.

11．已知直线l：ay＝(3a－1)x－1.

(1)求证：无论a为何值，直线l总过第三象限；

(2)a取何值时，直线l不过第二象限？

解：(1)证明：由直线l：ay＝(3a－1)x－1，得a(3x－y)＋(－x－1)＝0，

由，得，

所以直线l过定点(－1，－3)，因此直线总过第三象限．

(2)直线l不过第二象限，应有斜率k＝≥0且－≤0.

∴a≥时直线l不过第二象限．

12．若直线l过点P(3,0)且与两条直线l1：2x－y－2＝0，l2：x＋y＋3＝0分别相交于两点A、B，且点P平分线段AB，求直线l的方程．

解：设A(m,2m－2)，B(n，－n－3)．∵线段AB的中点为P(3,0)，

∴∴∴∴A(，)，

∴直线l的斜率k＝＝8，

∴直线l的方程为y－0＝8(x－3)，即8x－y－24＝0

第二节   点与直线、直线与直线的位置关系

A组

1．(2009年高考安徽卷改编)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是________．

解析：由题意知，直线l的斜率为－，因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.

2．(2010年西安调研)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于________．

解析：∵两条直线互相垂直，∴a(a＋2)＝－1，∴a＝－1.

3．(2010年苏州质检)直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是a＝________.

解析：由两条直线平行可知∴a＝－2.

4．若点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数a的值为________．

解析：由＝4得a＝7或－3，又2a＋3－3<0，得a<0，∴a＝－3.

5．在平面直角坐标系中，定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，若直线l过点A(－2,3)，且法向量为n＝(1，－2)，则直线l的方程为_________．

解析：设P(x，y)是直线l上任意一点，则＝(－2－x,3－y)，且⊥n，故·n＝0，即(－2－x,3－y)·(1，－2)＝－x＋2y－8＝0，即直线l的方程为x－2y＋8＝0.答案：x－2y＋8＝0

6．直线y＝2x是△ABC中∠C的角平分线所在的直线，若A、B的坐标分别为A(－4,2)，B(3,1)，求点C的坐标，并判断△ABC的形状．

解：设A(－4,2)关于直线y＝2x对称的点A′的坐标是(m，n)

由解得即A′的坐标是(4，  －2)，

由B、A′得BC所在的直线方程，3x＋y－10＝0，由解得C的坐标是(2,4)，又∵kAC′＝，kBC′＝－3，

∴AC′⊥BC′，即△ABC′是直角三角形．

B组

1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为______________．

解析：kPQ＝＝－1，PQ的中点为(，)，即(2,3)，

∴kl＝1，∴直线l的方程为y－3＝(x－2)，即x－y＋1＝0.

2．若三条直线l1：x＋y＝7，l2：3x－y＝5，l3：2x＋y＋c＝0不能围成三角形，则c的值为________．

解析：由l1，l2，l3的方程可知l1，l2，l3不平行，由解得交点(3,4)，代入l3的方程得c＝－10.

3．已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线l1∥l2的________条件．

解析：∵l1∥l2⇒an－bm＝0，且an－bm＝0⇒/ l1∥l2.答案：必要不充分

4．过点P(1,2)作直线l，使直线l与点M(2,3)和点N(4，－5)距离相等，则直线l的方程为________________．

解析：直线l为与MN平行或经过MN的中点的直线，当l与MN平行时，斜率为－4，故直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；当l经过MN的中点时，MN的中点为(3，－1)，直线l的斜率为－，故直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0.答案：3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0

5．已知直线l经过点(，2)，其横截距与纵截距分别为a、b(a、b均为正数)，则使a＋b≥c恒成立的c的取值范围为________．

解析：设直线方程为＋＝1，∴＋＝1，a＋b＝(a＋b)·(＋)＝＋＋≥，故c≤.答案：(－∞，]

6．(2010年苏南四市调研)若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝________.

解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，故得，所以a＋b＝2.答案：2

7．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是______．

解析：分别求点P关于直线x＋y＝4及y轴的对称点，为P1(4,2)、P2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为P1P2＝2.答案：2

8．设a、b、c、分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是______．

解析：由bsinA－asinB＝0知，两直线垂直．答案：垂直

9．(2010年江苏常州模拟)已知0解析：l1：k(x－2)－2y＋8＝0过定点(2,4)，l2：k2(y－4)＝4－2x也过定点(2,4)，如图，A(0,4－k)，B(2k2＋2,0)，S＝×2k2×4＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8.当k＝时，S取得最小值．答案：

10．在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B坐标为(1,2)，求点A和C的坐标．

解：由得A(－1,0)．又B(1,2)，∴kAB＝1.

∵x轴是∠A的平分线，∴kAC＝－1.

AC直线方程y＝－(x＋1)．又BC方程为：y－2＝－2(x－1)，

由得C(5，－6)．

11．在直线l：3x－y－1＝0上求点P和Q，使得：

(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；

(2)Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．

解：(1)如图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，

则kBB′·kl＝－1，

即3·＝－1.

∴a＋3b－12＝0.①

又由于线段BB′的中点坐标为

，且在直线l上，∴3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②

解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．

于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.

解得即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．

(2)如图所示，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为.

∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，

AC′和l交点坐标为，

故Q点坐标为.

12．(2010年济南模拟)已知n条直线l1：x－y＋C1＝0，C1＝，l2：x－y＋C2＝0，l3：x－y＋C3＝0，…，ln：x－y＋Cn＝0(其中C1(1)求Cn；

(2)求x－y＋Cn＝0与x轴、y轴围成图形的面积；

(3)求x－y＋Cn－1＝0与x－y＋Cn＝0及x轴、y轴围成的图形的面积．

解：(1)原点O到l1的距离d1为1，原点O到l2的距离d2为1＋2，…，原点O到ln的距离dn为1＋2＋…＋n＝.∵Cn＝dn，∴Cn＝.

(2)设直线ln：x－y＋Cn＝0交x轴于M，交y轴于N，则

S△OMN＝|OM|·|ON|＝Cn2＝.

(3)所围成的图形是等腰梯形，由(2)知Sn＝，则有Sn－1＝.

∴Sn－Sn－1＝－＝n3，∴所求面积为n3.

第三节    圆的标准方程和一般方程

A组

1．若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为________．

解析：圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝，若圆与两坐标无公共点，即，解得12．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．

解析：由题意，设圆心(x0,1)，∴＝1，解得x0＝2或x0＝－(舍)，

∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

3．(2010年广东汕头调研)已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．

答案：π

4．(2009年高考宁夏、海南卷改编)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________．

解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.

5．(原创题)圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c的值是________．

解析：当∠APB＝90°时，只需保证圆心到y轴的距离等于半径的倍．由于圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，即2＝×，解得c＝－3.

6．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.

(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；

(2)若点Q在直线l：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l2的方程．

解：(1)设点P的坐标为(x，y)，

则＝2，

化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．

(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图则直线l2是此圆的切线，连结CQ，则|QM|＝＝，

当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝4，

此时|QM|的最小值为＝4，这样的直线l2有两条，设满足条件的两个公共点为M1，M2，

易证四边形M1CM2Q是正方形，∴l2的方程是x＝1或y＝－4.

B组

1．(2010年福州质检)圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，则圆的方程为________________．

解析：所求圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.

2．(2010年扬州调研)若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是___．

解析：∵直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ab＋ab＝1，∴ab＝，又OA＝，∴以O为圆心，OA长为半径的圆的面积：S＝π·OA2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π，∴面积的最小值为π.

3．(2009年高考上海卷改编)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．

解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x02＋y02＝4，连线中点坐标为(x，y)，

则⇒代入x02＋y02＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

4．已知点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，则a＝________，b＝________.

解析：点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，所以2a＋b＋1＝0，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心  (－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.

5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为___________．

解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，四边形ABCD的面积为20.

6．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆的方程是____________________．

解析：∵圆心为O(0,0)，又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆．其直径d＝OP＝2，∴半径r＝.

而圆心C为(2,1)，∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

7．已知动点P(x，y)满足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O为坐标原点，则PO的取值范围是______．

解析：方程x2＋y2－|x|－|y|＝0可化为(|x|－)2＋(|y|－)2＝.

所以动点P(x，y)的轨迹如图：为原点和四段圆孤，故PO的取值范围是{0}∪[1， ]．

8．(2010年安徽合肥质检)曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．

解析：曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l方程为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(，－)，半径为，所以方程为(x－)2＋(y＋)2＝.答案：(x－)2＋(y＋)2＝

9．设实数x、y满足x2＋(y－1)2＝1，若对满足条件的x、y，不等式＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．

解析：由题意，知－c≤恒成立，又＝表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－，0]，所以－c≤－，即c的取值范围是c≥.

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a>0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.

(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；

(2)设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在？求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．

解：(1)直线CD方程为y＝x＋4，圆心E(，)，半径r＝a.

由题意得＝a，解得a＝4.

(2)∵|CD|＝＝4，∴当△PCD面积为12时，点P到直线CD的距离为3.又圆心E到直线CD距离为2 (定值)，要使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，只须圆E半径＝5，解得a＝10，

此时，⊙E的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50.

11．在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，OA＝8，OB＝6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O距离的平方和的最大值和最小值．

解：如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系xOy，则A(8,0)，B(0,6)，内切圆C的半径r＝(OA＋OB－AB)＝＝2.∴内切圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.

设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，则

d＝PA2＋PB2＋PO2

＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2

＝3x2＋3y2－16x－12y＋100

＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76.

∵点P(x，y)在圆C上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4.∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x.

∵点P(x，y)是圆C上的任意点，∴x∈[0,4]．

∴当x＝0时，dmax＝88；当x＝4时，dmin＝72.

12．(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.

(1)求实数b的取值范围；

(2)求圆C的方程；

(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．

解：(1)显然b≠0.否则，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b≠0知，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x2＋2x＋b＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b>0，即b<1.

所以b的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．

(2)由方程x2＋2x＋b＝0，得x＝－1±.

于是，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与坐标轴的交点是(－1－，0)，(－1＋，0)，(0，b)．设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得

解上述方程组，因b≠0，

得所以，圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.

(3)圆C过定点．证明如下：

假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02＋y02＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x02＋y02＋2x0－y0＝0.

解得或经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，

因此，圆C过定点．

第四节    直线与圆、圆与圆的位置关系

A组

1．(2009年高考天津卷)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.

解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝，

如图，由已知|AC|＝，|OA|＝2，有|OC|＝＝1，∴a＝1.

答案：1

2．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．

解析：依题意，过A(1,2)作圆x2＋y2＝5的切线方程为x＋2y＝5，在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为，切线与坐标轴围成的三角形面积S＝××5＝.答案：

3．(2009年高考湖北卷)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．

解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，可知圆心为(3,4)，半径为.如图可知，|CO|＝5，

∴OP＝＝2.∴tan∠POC＝＝.在Rt△POC中，OC·PM＝OP·PC，∴PM＝＝2.∴PQ＝2PM＝4.答案：4

4．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．

解析：将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.

若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，

即d＝＝>1，∴m<0或m>10.

答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)

5．(原创题)已知直线x－y＋2m＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，且n－m<5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有________个．

解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2m－1＝n，所以

2m－1－m<5，因为m，n∈N*，所以，，，，故有序实数对(m，n)共有4个．答案：4个

6．(2010年南京调研)已知：以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．

(1)求证：△OAB的面积为定值；

(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．

解：(1)证明：∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.

∴S△OAB＝OA·OB＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．

(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kO C＝，

∴直线OC的方程是y＝x.∴＝t，解得：t＝2或t＝－2.

当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．

当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，

∴t＝－2不符合题意舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

B组

1．直线ax＋by＋b－a＝0与圆x2＋y2－x－3＝0的位置关系是________．

解析：直线方程化为a(x－1)＋b(y＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．答案：相交

2．(2010年秦州质检)已知直线y＝－x与圆x2＋y2＝2相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点，则∠APB＝____________.

解析：弦心距长为，半径为，所以弦AB所对的圆心角为，又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠APB＝.答案：

3．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b的夹角为60°，直线xcosα＋ysinα＝0与圆(x＋cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是________．

解析：cos60°＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝cos(α－β)，

d＝＝|cos(α－β)|＝>＝r.答案：相离

4．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－1＝0的弦，其中弦长为整数的共有__条．

解析：方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心为(－1,2)，到点A(11,2)的距离为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为2＋2×(25－10)＝32(条)．答案：32

5．若集合A＝{(x，y)|y＝1＋}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)＋4}．当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________．

解析：A∩B有4个子集，即A∩B有2个元素，∴半圆x2＋(y－1)2＝4(y≥1)与过P(2,4)点，斜率为k的直线有两个交点，如图：A(－2,1)，kPA＝，过P与半圆相切时，k＝，∴ 答案：＜k≤

6．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．

解析：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12＋d22＝OM2＝3.

四边形ABCD的面积S＝|AB|·|CD|＝2≤8－(d12＋d22)＝5.

7．(2010年宁波调研)已知圆C：x2＋y2＋bx＋ay－3＝0(a、b为正实数)上任意一点关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点都在圆C上，则＋的最小值为________．

解析：由题意，知圆心在直线上，所以－＋(－)＋2＝0，

∴＋＝1，则(＋)(＋)＝1＋＋≥1＋2  ＝1＋.

8．设圆O：x2＋y2＝，直线l：x＋3y－8＝0，点A∈l，使得圆O上存在点B，且∠OAB＝30°(O为坐标原点)，则点A的横坐标的取值范围是________．

解析：依题意点A∈l，设A(x0，)．过点A作圆O的切线，切点为M，

则∠OAM≥∠OAB＝30°.从而sin∠OAM≥sin30°＝，即≥sin30°＝，就是|OA|2≤4(|OM|2)＝，x02＋()2≤，5x02－8x0≤0，解得x0∈[0，]．

答案：[0，]

9．(2009年高考江西卷)设直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：

A．存在一个圆与所有直线相交

B．存在一个圆与所有直线不相交

C．存在一个圆与所有直线相切

D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．

解析：xcosθ＋ysinθ－2sinθ－1＝0.则点(0,2)到其直线的距离为

d＝＝1.

∴说明此直线是圆心为(0,2)，半径为1的圆的切线．

圆心为(0,2)，半径大于等于1的圆与所有直线相交，A对；

圆心为(0,2)，半径小于1的圆与所有直线不相交，B对；

圆心为(0,2)，半径等于1的圆与所有直线都相切，C对；

因为M中的直线与以(0,2)为圆心，半径为1的圆相切，所以M中的直线所能围成的正三角形面积不都相等．如图△ABC与△ADE均为等边三角形而面积不等．答案：A、B、C

10．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点，

(1)求公共弦AB所在的直线方程；

(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程．

解：(1) ⇒x－2y＋4＝0.

(2)由(1)得x＝2y－4，代入x2＋y2＋2x＋2y－8＝0中得：y2－2y＝0.

∴或，即A(－4,0)，B(0,2)，

又圆心在直线y＝－x上，设圆心为M(x，－x)，则|MA|＝|MB|，解得M(－3,3)，∴⊙M：(x＋3)2＋(y－3)2＝10.

11．(2010年江苏徐州调研)已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l1过定点A(3,0)，且与圆C相切．

(1)求直线l1的方程；

(2)设圆C与x轴交于P、Q两点，M是圆C上异于P、Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C′总过定点，并求出定点坐标．

解：(1)∵直线l1过点A(3,0)，且与圆C：x2＋y2＝1相切，设直线l1的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，

则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d＝＝1，解得k＝±，

∴直线l1的方程为y＝±(x－3)．

(2)对于圆C：x2＋y2＝1，令y＝0，则x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)．又直线l2过点A且与x轴垂直，∴直线l2方程为x＝3.

设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝(x＋1)．

解方程组得P′(3，)．同理可得Q′(3，)．

∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为

(x－3)(x－3)＋(y－)(y－)＝0，又s2＋t2＝1，

∴整理得(x2＋y2－6x＋1)＋y＝0，

若圆C′经过定点，只需令y＝0，从而有x2－6x＋1＝0，解得x＝3±2，

∴圆C′总经过定点，定点坐标为(3±2，0)．

12．(2009年高考江苏卷)

如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.

(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.

(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即

＝，

整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，

即(a＋b－2)·k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值有无穷多个，所以或解得或

这样点P只可能是点P1(，－)或点P2(－，)．

经检验点P1和P2满足题目条件．

第五节   空间直角坐标系

A组

1．(2009年高考安徽卷)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．

解析：设M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)

2．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为________．

解析：因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则有|AB|＝|AC|，∴＝，化简得(x－4)2＝4，∴x＝2或6.答案：2或6

3．已知x、y、z满足方程C：(x－3)2＋(y－4)2＋(z＋5)2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是________．

解析：x2＋y2＋z2可看成球面上的点到原点距离的平方，其最小值为(－)2＝(4)2＝32.答案：32

4．(2010年广州调研)与A(3,4,5)、B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是________．

解析：由|MA|＝|MB|，即(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0.答案：10x＋2y＋10z－37＝0

5．(原创题)已知A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，点A在x轴上的射影为A′，点B在z轴上的射影为B′，则线段A′B′的长为________．

解析：可知A′(3,0,0)，B′(0,0,3)，∴|A′B′|＝＝3.

6．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P、Q分别是D′B，B′C的中点，求PQ的长．

解：以D为坐标原点，DA、DC、DD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意得，B(a，a,0)，D′(0,0，a)，∵P(，，)．又C(0，a,0)，B′(a，a，a)，∴Q(，a，)．

∴|PQ|＝＝.

B组

1．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)，则△ABC的重心坐标为______．

解析：三角形三个顶点分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则其重心为M，故所求重心为(4，，2)．

答案：(4，，2)

2．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy面的对称点，则|AB|等于______．

解析：点A关于xOy面的对称点为B(2，－3，－5)，∴||＝|5－(－5)|＝10.

3．正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积为______．

解析：设棱长为a，则a＝，∴a＝4，∴V＝.

4．(2010年江苏宜兴模拟)已知B是点A(3,7，－4)在xOy平面上的射影，则2等于______．

解析：A在xOy平面上射影为B(3,0，－4)，则＝(3,0，－4)， 2＝25.

5．在z轴上与点A(－4,1,7)和点B(3,5，－2)等距离的点C的坐标为 ______.

解析：设z轴上的点为(0,0，z)，则根据题意有

＝，

则17＋49－14z＝9＋25＋4＋4z，∴z＝.故该点是(0,0，)．

6．在空间直线坐标系中，方程x2－4(y－1)2＝0表示的图形是__________．

解析：x2－4(y－1)2＝0化为[x－2(y－1)][x＋2(y－1)]＝0，∴x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0，表示两个平面．答案：两个平面

7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为__________．

解析：由A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)所以C1(－3,3,2)．正方体的体对角线长为AC1＝＝2，所以正方体棱长为＝.答案：

8．已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．

解析：由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点O(，4，－1)，设D(x，y，z)，则＝，4＝，－1＝，

∴x＝5，y＝13，z＝－3，故D(5,13，－3)．

9．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是______．

解析：∵OA＝2，AB＝3，AA1＝2，

∵A(2,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,3,0)，故B1(2,3,2)．∴M点的坐标为(，，)，即M(1,1.5,1)．

答案：(1,1.5,1)

10．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D、E分别是棱AB、B1C1的中点，F是AC的中点，求DE、EF的长度．

解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，

∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，

由中点坐标公式可得，

D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，

∴|DE|＝＝，

|EF|＝＝.

11．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．

(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；

(2)在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点的轨迹．

解：(1)设P(a,0,0)，则由已知，得＝，

即a2－2a＋6＝a2－4a＋8.解得a＝1.所以P点坐标为(1,0,0)．

(2)设M(x,0，z)，则有＝.

整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.

故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．

12．在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P、Q两点间的最小距离．

解：由于S－ABCD是正四棱锥，所以P点在底面上的射影R在OC上，又底面边长为a，所以OC＝a，

而侧棱长也为a，所以SO＝OC，于是PR＝RC，故可设P点的坐标为(－x，x， a－x)(x>0)，又Q点在底面ABCD的对角线BD上，所以可设Q点的坐标为(y，y,0)，因此P、Q两点间的距离PQ＝

＝，显然当x＝，y＝0时d取得最小值，d的最小值等于，这时，点P恰好为SC的中点，点Q恰好为底面的中心．