高考数学专题《全称量词与存在量词、充要条件》习题含答案解析

1．（全国高考真题（理））设命题，则为（ ）

A．    B．

C．    D．

【答案】C

【解析】

特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.

2．（2021·四川高三三模（理））命题“，”的否定为（    ）

A．，    B．，

C．，    D．，

【答案】B

【解析】

由含有一个量词的命题的否定的定义判断.

【详解】

因为命题“，”是全称量词命题,

所以其否定是存在量词命题，即，．

故选：B

3．（2021·上海高三二模）设α：x1且y2，β：x+y3，则α是β成立的（　　）

A．充分非必要条件    B．必要非充分条件

C．充要条件    D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】

解：若“且”则“”成立，

当，时，满足，但且不成立，

故且”是“”的充分非必要条件．

故选：A．

4．（2021·江西高三三模（理））设，则""是""的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

用集合法判断即可.

【详解】

因为集合是集合的真子集，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B.

5．（2021·浙江绍兴市·高三三模）已知z是复数，i是虚数单位，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

根据复数的运算及充分必要条件的判断即可求得结果.

【详解】

∵，∴；

∵，∴.

故“”是“”的充分而非必要条件.

故选：A.

6．（2021·四川高三二模（文））若，是平面外的两条不同直线，且，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

根据线线、线面的平行关系，结合条件间的推出关系，判断“”、“”之间的充分、必要关系.

【详解】

∵，是平面外的两条不同的直线，，

∴若，则推出“”；若，则或与相交；

∴若，是平面外的两条不同直线，且，则“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7.（2021·北京高三二模）“是”“函数有且只有一个零点”的（    ）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

根据函数零点的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

当时，令，则，，

当时，有一个零点为1，

函数只有一个零点，

当时，无零点，即或，

当时，，或，

是函数只有一个零点的充分不必要条件，

故选：A.

8．（2021·四川泸州市·高三三模（理））“”是“双曲线：的虚轴长为2”的（    ）

A．充分但不必要条件    B．必要但不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

根据双曲线：的虚轴长为2求出对应的值即可判断.

【详解】

若双曲线：的虚轴长为2，

则当且时，即时，，解得，

当且时，即时，，解得，

所以“双曲线：的虚轴长为2”对应的值为或，

故“”是“双曲线：的虚轴长为2”的充分但不必要条件.

故选：A.

9．（2021·上海高三二模）已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ）条件

A．充分非必要条件    B．必要非充分条件

C．充要条件    D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】

当时，，根据奇偶性的定义判断为偶函数，反之当为偶函数时，，，从而可得结果.

【详解】

当时，，

∵，∴为偶函数.

当为偶函数时，，，

综上所述是为偶函数的充分不必要条件，

故选：A.

10．（2021·四川高三三模（理））已知数列为等比数列，“”是“数列为递增数列”的（    ）

A．充要条件    B．充分不必要条件

C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

根据等比数列的通项公式、数列的单调性，结合充分必要条件的定义分析可得答案.

【详解】

当，则，且，则数列为递增数列；

反之，当数列为递增数列时，也有可能出现，故为充分不必要条件.

故选：B

1.（2021·陕西汉中市·高三二模（文））直线，圆：，则“”是“与圆相切”的（    ）

A．充要条件    B．充分不必要条件    C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

根据充分条件和必要条件的判断方法，分别判断充分性和必要性，即可的到答案．

【详解】

圆的方程，其圆心坐标为，半径为，

当时，直线，圆心到直线的距离，此时，直线与圆相切，故充分性成立；

当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性不成立，所以，“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．

故选：B．

2.（2021·江西高三其他模拟（文））“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

先求出方程表示焦点在轴 上的圆锥曲线对应的的范围，再结合两者的关系可得两者之间的条件关系.

【详解】

当时，方程表示焦点在轴上的双曲线；

当时，可化为，

因为椭圆的焦点在轴上，所以即，

故方程表示焦点在轴上的圆锥曲线时，或，

故“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，

故选：A.

3．（2021·湖南高三三模）设a，b，m为实数，给出下列三个条件：①：②；③，其中使成立的充分不必要条件是（    ）

A．①    B．②    C．③    D．①②③

【答案】B

【解析】

利用充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可

【详解】

解：对于①，当时，成立，而当时，成立，所以是的充要条件，所以①不合题意；

对于②，当时，由不等式的性质可知成立，而当，时，不成立，所以是的充分不必要条件，所以②符合题意；

对于③，当时，成立，而不成立，当时，成立，而不成立，所以是的既不充分也不必要条件，所以③不合题意，

故选：B

4．（2021·浙江高三月考）在中，“为钝角三角形”是“”的（    ）．

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

考虑两个条件之间的推出关系后可判断两者之间的条件关系.

【详解】

取，则，

故“为钝角三角形”推不出“”.

若， 

若为钝角或直角，则，矛盾，故为锐角，

同理为锐角.

若，则，故，

所以，故，矛盾.

故即为钝角.

故“”能推出“为钝角三角形”，

故选：B.

5．（2021·江西上饶市·高三其他模拟（理））将函数向左平移个单位长度，所得图像的对应函数为，则“”是“为奇函数”的（    ）

A．充分不必要    B．必要不充分

C．充要条件    D．既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

分别从及为奇函数出发，证明对方是否成立，从而验证二者的关系.

【详解】

当时，，易知为奇函数，则“”是“为奇函数”的充分条件；

当 “为奇函数”时，，

则必有，，

故只是其中一个值，则“”是“为奇函数”的不必要条件；

故选：A

6．【多选题】（2020·全国高一课时练习）下列命题是真命题的为（    ）

A．

B．

C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径

D．存在实数，使得

【答案】ABC

【解析】

根据题意，依次分析各选项即可得答案.

【详解】

对于A，，所以，故A选项是真命题；

对于B，当时，恒成立，故B选项是真命题；

对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是真命题.

对于D，因为，所以.故D选项是假命题. 

故选：ABC.

7．【多选题】（2021·湖南常德市·高三一模）下列说法正确的是（    ）

A．命题的否定

B．二项式的展开式的各项的系数和为32

C．已知直线平面，则“”是”的必要不充分条件

D．函数的图象关于直线对称

【答案】AD

【解析】

根据特称命题的否定求解方法可判断A；令代入二项式即可求得各项的系数和，可判断B；由于直线与的关系不确定故能判断C；判断是否等于，就能判断D是否正确．

【详解】

解：对于A：命题的否定，故A正确；

对于B：二项式的展开式的各项的系数和为，故B错误；

对于C：已知直线平面，由于直线与的关系不确定，

故“”是”的既不必要不充分条件，故C错误；

对于D：由于关于的对称点为，

故，满足，

故函数的图象关于直线对称，故D正确.

故选：AD．

8．【多选题】（2021·湖南高三月考）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（    ）

A．若两直线的斜率相等，则两直线平行

B．若，则

C．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则

D．已知可导函数，若，则在处取得极值

【答案】BD

【解析】

只需判断必要性是否成立即可.

【详解】

对于A，两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性不成立;

对于B，x> 10时，x> 5,所以必要性成立;

对于C，若，则a//a或aa，所以必要性不成立;

对于D，f (x)在处取得极值时，必有，必要性成立.

故选： BD

9.（2021·四川高三三模（文））已知函数，.下列四个命题：

①，使为偶函数；

②若，则的图象关于直线对称；

③若，则在区间上是增函数；

④若，则函数有两个零点.

其中所有真命题的序号是___________.

【答案】①③

【解析】

根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可.

【详解】

若为偶函数，则，

则对恒成立，则，

故①正确；

，，若，即，

则或，

若取，则关于对称，②错误；

若，函数的判别式，

即，，

由二次函数性质，知在区间上是增函数，③正确；

取，满足，则或，

解得或，即有4个零点，④错误；

故答案为：①③

10．（2021·浙江高一期末）命题“，”的否定是_______________；设，，分别是的三条边，且．我们知道为直角三角形，那么．反过来，如果，那么为直角三角形．由此可知，为直角三角形的充要条件是．请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是______________．

【答案】，        

【解析】

根据全称量词命题的否定直接写出即可；根据勾股定理，充要条件及反证法得出为锐角三角形的一个充要条件是.

【详解】

解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“，”的否定是，；

设，，是的三条边，且，为锐角三角形的一个充要条件是.

证明如下：

必要性：在中，是锐角，过点作于点，如下图：

根据图象可知

，

即，可得证.

充分性：在中，，所以不是直角.

假设是钝角，如下图：过点作，交延长线于点，

则

，

即，，与矛盾.

故为锐角，即为锐角三角形.

1．(2019年高考全国Ⅱ卷理)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(     )

A．α内有无数条直线与β平行              B．α内有两条相交直线与β平行     

C．α，β平行于同一条直线                 D．α，β垂直于同一平面

【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；

由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.

故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.

故选B．

2．（2019·天津高考真题（文））设，则“”是“”的(     )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

等价于，故推不出；

由能推出．

故“”是“”的必要不充分条件．

故选B．

3．（2019年高考浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的（   ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；

当时，满足，但此时，必要性不成立，

综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

故选A.

4．（2020·北京高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（    ）．

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.

【详解】

(1)当存在使得时，

若为偶数，则；

若为奇数，则；

(2)当时，或，，即或，

亦即存在使得．

所以，“存在使得”是“”的充要条件.

故选：C.

5．（2018·浙江省高考真题）已知两条直线和平面，若，则是的（    ）

A．充分但不必要条件    B．必要但不充分条件

C．充要条件    D．既不充分又不必要条件

【答案】D

【解析】

当时，

若时，与的关系可能是，也可能是，即不一定成立，故为假命题；

若时，与的关系可能是，也可能是与异面，即不一定成立，故也为假命题；

故是的既不充分又不必要条件

故选：D

6．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是__________.

①②③④

【答案】①③④

【解析】

利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.

【详解】

对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，，为真命题，，为假命题，

为真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为：①③④.