2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)试题参及评分...

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）试题参及评分标准

说明：1．参与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解

法供参考，如果考生的解法与参不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照 评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部 分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.

题号

答案

1

A 2

A 3

B 4

C 5

C 6

C 7

B 8

D 9

D 10

C

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题

5 分，满分 20 分．其中 14～15 题是选做题，考生只能选做一题．

11. 300 12. 3 13. 32 14. 15. 2 3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分 12 分） (本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: f x 2sin x cos x cos2x

sin2x cos2x

2 2 2 sin 2x 2

2

cos2x

考查化归与转化

…… 2 分 …… 3 分

2 sin 2x

4

2

2 ∴ f x 的最小正周期为

(2) 解:∵ f

2 3 , .

, 最大值为

2 . ∴ 2sin 2

…… 4 分

…… 6 分

∴ cos 2 . 3

∵ 为锐角，即 0 ,

8 1

2 3 2 . …… 7 分

…… 8 分

∴ 0

2 .

2

∴sin 2 1 cos

2

∴ tan 2

sin 2

cos 2 2 2 2 . 3

…… 10 分

2 .

…… 12 分

17．（本小题满分 12 分）

(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)

1

(1) 解： x 107 111111113 114 122 113 甲

考查或然与必然的数学思想方法，

, …… 1 分

…… 2 分

x 108 109 110 112 115 124 113 乙

6

6

1 , S 107 113 111113 111113 113 113 114 113 12

2 11

3 2

甲 2 2 2 2 2

6

1 2

S 108 113 109 113 110 113 112 113 115 113 124 113 2

乙 2 2 2 2

2

6

88 3

, …… 4 分 =21,

1 …… 3 分

2

∵ x 甲 x 乙 , S 甲

S 乙

2

2

, ∴甲车间的产品的重量相对较稳定.

…… 5 分

…… 6 分

(2) 解: 从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,共有 15 种不同的取法 : 1 08，109，108， ，

112 ，108 115， ，108 124， ，109 110， ，109 112， ，109 115， ，109 124， ，110 112， ，

108， 110， 115 ，110 124， ，112 115， ，112， 115，

124 , 124 . …… 8 分

110

设 A 表示随机事件"所抽取的两件样品的重量之差不超过 2 克

108，109，108， 故所求概率为 P A

18. （本小题满分 14 分）

4

15

.

110 , 109 110， ，110， 112 .

…… 10 分 …… 12 分

(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方

法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

（ 1）证明:连接 B 1C ,设 B 1C 与 BC 1 相交于点O ,连接

OD ,

∵ 四边形 BCC 1B 1 是平行四边形,

∴点 O 为 BC 的中点.

1

∵ D 为 AC 的中点，

∴ OD 为△ ABC 的中位线,

1

∴ OD // AB 1 .

A 1

A

E

D

…… 3 分

∵ OD 平面 BC 1D , AB 1 平面 BC 1D ,

∴ AB 1 // 平面 BC 1D .

…… 6 分

B 1

B

O

(2)解法 1: ∵ AA 1 平面 ABC , AA 1 平面 AAC C ,

1 1

C 1

C

∴ 平面 ABC 平面 AAC C ，且平面 ABC 平面 AAC C AC . 1 1

作 BE AC ，垂足为 E ，则 BE 平面 AAC C ，

1 1

∵ AB BB 1 2 ， BC 3，

2 1 1

…… 8 分

在 Rt △ ABC 中， AC AB BC 4 9 13 ， BE 2

AB BC AC

6 13

，

…… 10 分

…… 12 分

∴四棱锥 B AAC D 的体积V AC AD AA BE 1 1

1 1

1

2

6

∴四棱锥 B AAC D 的体积为3 .

1 1

3 1 3 2 13

2 6 13

3 . 1 1

…… 14 分

解法 2: ∵ AA 1 平面 ABC , AB 平面 ABC ,

∴ AA 1 AB .

∵ BB 1 // AA 1 ,

∴ BB 1 AB .

∵ AB BC , BC BB 1 B ,

∴ AB 平面 BBCC .

1 1

…… 8 分

A 1

A

D

B 1

B

O

E

C 1

C

1

取 BC 的中点 E ,连接 DE ,则 DE // AB , DE AB ,

2

∴ DE 平面 BB 1C 1C .

三棱柱 ABC A B C 的体积为V AB BC AA 6 ,

1 1

1

1

…… 10 分

BC CC 1 DE V 1,V 3 2

6 1 1

1

2

1 B 1C 1 BB 1 A 1B

1 V

2 .

3 2 3 …… 12 分

1 1 1 则V D B CC

1

A 1

B B

1C 1

而V V D B CC

1

V A

1

B B

1

C 1

V ∴ 6 1 2 V

B AA 1C

1

D .

B AA

1

C

1

D ,

∴V

B AA 1

C 1D

3 .

∴四棱锥 B AAC D 的体积为3 .

1 1

19．（本小题满分 14 分）

(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识, …… 14 分

考查数形结合、化归与转化、

函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

(1)解法 1: 设动点 P 的坐标为x , y ,依题意,得 PF x 1 ,

2 2

x 1 y x 1 ,_謀

2

化简得: y 4x ,

2

∴曲线 C 1 的方程为 y 4x .

解法 2:由于动点 P 与点 F (1,0) 的距离和它到直线l : x 1的距离相等，

…… 2 分

…… 4 分

∴曲线 C 1 的方程为 y 4x .

（ 2）解: 设点T 的坐标为 (x 0, y 0 ) ,圆 C 2 的半径为 r ，

2

∵ 点T 是抛物线 C 1 : y 4x 上的动点,

2

∴ y 0 4x 0 ( x 0 0 ). ∴ AT x a y 0 2

2

根据抛物线的定义可知, 动点 P 的轨迹是以点 F (1,0) 为焦点,直线l 为准线的抛物线.

…… 2 分

2 …… 4 分

…… 6 分

x 0 2ax 0 a 4x 0

2 2

0 x α 2

4a 4 .攀椀

∵ a 2 ,∴ a 2 0 ,则当 x 0 a 2 时, AT 取得最小值为 2 a 1 ,

依题意得 2 a 1 a 1,

2

两边平方得 a 6a 5 0 ,

解得 a 5 或 a 1(不合题意,舍去).

2

∴ x 0 a 2 3 , y 0 4x 0 12 ,即 y 0 2 3 .

∴圆C 2 的圆心T 的坐标为 3, 2 3 .

∵ 圆C 2 与 y 轴交于 M , N 两点，且| MN | 4 ,

2 2

∴ | MN | 2 r x 0 4 .

2

∴ r 4 x 0 13 .

∵点T 到直线 l 的距离 d x 0 1 4 13 , ∴直线 l 与圆 C 2 相离.

20．（本小题满分 14 分）

2

(本小题主要考查数列、不等式等知识,

…… 8 分

…… 10 分

…… 12 分

…… 14 分

考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽

象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （ 1）解：∵数列

S

n

是首项为1,公差为1的等差数列，

∴ S 1n 1 n . n 2

∴ S n n .

当 n 1时， a 1 S 1

1；

当 n 2 时， a n S n S

又 a 1 1适合上式.

∴ a n 2n 1.

（ 2）解：b

n

n 1 …… 2 分

n n 1 2n 1. 2

2 …… 4 分

a n S

2n 1 1

a

n S1

2n 1

1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

1

2n 12n 1 2n 1 2n 1

2n 1 2n 1 2 2n 12n 1

1 1 1

2 2n 1 .

2n 1

…… 6 分

n

∴

b b b b

i

1

2

n

i 1

1

2 1

2

n 1 1 1 1 3 2 3 1 1

5 1 1 2 2n 1 1 2n 1

1 故要使不等式 b i i 1

2n 1 1 2 2n 1 2n 1 2 2n 1 L

2n 1 1 . …… 8 分

* 对任意 n N 都成立， 2n 1 1 L 2n 1 1

即 *

对任意 n N 都成立，

得

L

2n 1 1

2 n

2n 1

c n . 3

3

，则

2n 1 1

n 1 2n 1 n 2n 3 n 1

c

1

3

3

令

c

n

2n

1

c n 1 c n n

2n 1 *

对任意 n

N 都成立.

2n

5n 4n 1 3 2 2n 3

3n

2 …… 10 分

1.

∴ c n 1 ∴ c

n c . …… 12 分

∴

L

. ∴实数 L 的取值范围为 ,

[另法]: c

n 1 c

n

n 1 2n 3

n 2n 1

3

3

. n 1 2n 1 n 2n 3

2n 12n 3

…… 14 分

3 2 3

3

2n 5n 4n 1 2n 3n 2n 12n 3

∴ c

n

c

n 1

c

1

0 .

∴ c n 1 c n

.

3

3

. …… 12 分

∴

L

3 3

.

∴实数 L 的取值范围为

,

21．（本小题满分 14 分） 3

3 .

…… 14 分

(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分

类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)

(1) 解：∵ f 0 0 ，∴ c 0 .

∵对于任意 x R 都有 f x f x , 1 2 1 2 ∴函数 f x 又 f x x 1

的对称轴为 x ，即 2

b 2a ，得 a b . 2

1 …… 1 分

…… 2 分

，即 ax b 1 x 0 2

对于任意 x R 都成立， ∴ a 0 ,且 b 1 0 ． 2

∵ b 1 0 ，

2 2

∴b 1, a 1．

∴ f x x x ．

…… 4 分

(2) 解： g x f x x 1

x 1 x 1, x ,

2 x 1 x 1, x . 2

1 1

…… 5 分

① 当 x 时，函数 g x x 1 x 1

2 若 1 2 1 2 1

，即 0 2，函数 g x 1 ，即 2 ，函数 g x

在 1 1

的对称轴为

x

1

2

， , 上单调递增；

…… 6 分 1 2 若 , 上单调递增，在

1 1

2 , 在 上单调递减． …… 7 分

② 当 x 时，函数

g x x 1 x 1

2 则函数

g x 在

1 1 , 2

1

的对称轴为 x 1

1

2 ，

上单调递增，在 , 1

2 上单调递减． …… 8 分 1 2

综上所述，当 0 2时，函数 g x , 1

2 单调递增区间为

, ，单调递减区间为 ；

…… 9 分 当 2 时，函数 g x

,

单调递增区间为

1 1 1 ,

2 和

2

, ，单调递减区间为 1 1 1

, 2 和 2 ． …… 10 分

(3)解：① 当 0 2时，由(2)知函数

g x

在区间 0,1 上单调递增，

又

g 0 1 0, g 1 2 1 0，

故函数

g x 在区间 0,1 上只有一个零点．

…… 11 分

② 当 2 时，则 1，而

g 0 1 0, g

2

1 （ⅰ）若

2 3，由于

2

且 g 1 1 2

2

1 2

1， 1 1

1 1

2 0 ， 1

1 1

1 4 2

1 2 1 0 ， 此时，函数 g x 在区间 0,1 上只有一个零点；

…… 12 分 ，此时，函数 g x 在区间

0,1

（ⅱ）若 3，由于 1 2 1

且 g 1 2 1 0 上有两个不同的零点．

综上所述，当 0 3时，函数

g x

当 3时，函数

g x

…… 13 分

在区间 0,1 上只有一个零点；

在区间 0,1 上有两个不同的零点． …… 14 分