2021年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟试卷(2021.04)(含解析)

一、选择题（共10小题）.

1．2021的倒数是（　　）

A．2021    B．﹣2021    C．    D．﹣

2．下列计算正确的是（　　）

A．（a2）3＝a5    B．a2•a3＝a6    C．a5﹣a3＝a2    D．a5÷a3＝a2

3．据报道，2020年宁波GDP总量和增量双双创新高，以11985亿元的地区生产总值跃居中国内地城市第12位，其中数11985亿元用科学记数法表示为（　　）

A．1.1985×104元    B．0.11985×105元    

C．1.1985×1011元    D．1.1985×1012元

4．如图几何体的主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

5．疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（　　）

A．第一周体温的中位数为37.1℃    

B．这两周体温的众数为36.6℃    

C．第一周平均体温高于第二周平均体温    

D．第二周的体温比第一周的体温更加平稳

6．要使分式有有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠1    B．x＞1    C．x＜1    D．x≠﹣1

7．已知命题：“若两个角互补，则这两个角必定一个是锐角，另一个是钝角”，下列两个角度可以说明“上述命题是假命题”的反例是（　　）

A．40°和50°    B．30°和150°    C．90°和90°    D．120°和150°

8．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，若HJ：JK：KF＝2：1：2，则下列说法正确的是（　　）

A．AB：AD＝2：3    B．EH：HG＝2：3    C．BC：FH＝2：3    D．AH：HD＝2：3

9．如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线∁n：y＝（x﹣n）2+n2（n为正整数），若C1和∁n的顶点的连线平行于直线y＝10x，则该条抛物线对应的n的值是（　　）

A．8    B．9    C．10    D．11

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为斜边作三个等腰直角△ABD，△ACE，△BCF，图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知Rt△ABC的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（　　）

A．S4    B．S1+S4﹣S3    C．S2+S3+S4    D．S1+S2﹣S3

二、填空题（共6小题）.

11．计算：的值是　   　．

12．分解因式：3x2﹣12＝　            　．

13．在一个不透明的袋子里装着1个白球、2个黄球、5个红球，它们除颜色不同外其余都相同．现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　              　．

14．如图将母线长为9的圆锥侧面展开后得到扇形的圆心角为120°，若将该扇形剪成两个同样的扇形再围成2个同样的圆锥，则新圆锥的底面半径是　              　．

15．如图，以平行四边形ABCD的对角线AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与BC相切于点B，与AD相交于点E．若AE＝2DE，BC＝6，则⊙O的半径为　                　．

16．如图，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与函数y＝（0＜b＜a）在第一象限的图象交于点C，AC＝3BC，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数y＝在第一象限的图象于点E，D，连接AE交x轴于点G，连接AD交y轴于点F，连接FG，若△AFG的面积为1，则的值为　              　，a+b的值为　              　．

三、解答题（第17～19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）

17．（1）计算：（x+2）2﹣x（x+2）；

（2）解不等式组：．

18．图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影请在余下的小正三角形中选取1个小正三角形，涂上阴影，按下列要求分别画出符合条件的一种情形．

（1）在图1中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形；

（2）在图2中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．

19．如图1是一种台灯，其主体部分是由与桌面垂直的固定灯杆AB和可转动灯杆BC和光源CD组成，当灯杆BC绕点B转动时，光线在桌面上的圆形照明区域随着光源到桌面的距离发生改变．图2是其示意图，其中AB⊥AE，CD∥AE，灯杆AB＝16cm，BC＝36cm．

（1）当灯杆AB与BC的夹角∠ABC为150°时，求光源CD到桌面AE的距离；

（2）若光源CD到AE的距离h与圆形照明区域半径r的关系是h＝r，要使圆形区域半径达到51cm，求灯杆AB与BC的夹角∠ABC的度数．

20．某学校开展应急救护知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取部分同学进行知识测试（测试满分100分，测试结果得分x均为不小于50的整数，且无满分）．现将测试成绩分为五个等级：不合格（50≤x＜60），基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x＜100），制作了统计图（部分信息未给出）．

由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求参加测试的总人数并补全频数分布直方图；

（2）求扇形统计图中“优秀”所对应的扇形圆心角的度数；

（3）如果80分以上为达标，请估计全校1200名学生中成绩达标的人数．

21．如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣1，2），B（2，5）．

（1）求线段AB与y轴的交点坐标；

（2）若抛物线y＝x2+mx+n经过A，B两点，求抛物线的解析式；

（3）若抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，求m的取值范围．

22．有A、B、C三个港口在同一条直线上，甲船从A港出发匀速行驶，到B港卸货1小时，以不变的速度继续匀速向前行驶最终到达C港；乙船从B港出发匀速行驶到达C港．设甲船行驶x（h）后，甲船与B港的距离为y1（km），乙船与B港的距离为y2（km），下表记录某些时刻y1（km）与x（h）的对应值，y2（km）与x（h）的关系如图所示．

（2）在图中画出y1（km）与x（h）的图象；

（3）当甲船与乙船到港口B的距离相等时，求乙船行驶的时间．

23．定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．

（1）如图1，近似菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝AD＝4，BC＝2，AB与AD的夹角∠BAD所对的对角线BD平分∠ABC，求CD的长；

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”．

（3）在（2）的条件下，若∠CDB＝3∠ADB，AB＝1，求CD的长．

24．【提出问题】

如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．

【特殊位置探究】

（1）当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；

【一般规律探究】

（2）如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，＝y．

①求证：∠ACQ＝∠CPA；

②求y与x之间的函数关系式；

【解决问题】

（3）当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比．（直接写出答案）

参

一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．2021的倒数是（　　）

A．2021    B．﹣2021    C．    D．﹣

解：2021的倒数是．

故选：C．

2．下列计算正确的是（　　）

A．（a2）3＝a5    B．a2•a3＝a6    C．a5﹣a3＝a2    D．a5÷a3＝a2

解：A、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；

B、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；

C、a5与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

D、a5÷a3＝a2，故本选项符合题意；

故选：D．

3．据报道，2020年宁波GDP总量和增量双双创新高，以11985亿元的地区生产总值跃居中国内地城市第12位，其中数11985亿元用科学记数法表示为（　　）

A．1.1985×104元    B．0.11985×105元    

C．1.1985×1011元    D．1.1985×1012元

解：11985亿元＝1198500000000元＝1.1985×1012元．

故选：D．

4．如图几何体的主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

解：从正面看该几何体，是一个正方形，正方形的内部的右上角是一个小正方形．

故选：B．

5．疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（　　）

A．第一周体温的中位数为37.1℃    

B．这两周体温的众数为36.6℃    

C．第一周平均体温高于第二周平均体温    

D．第二周的体温比第一周的体温更加平稳

解：A、第一周体温的中位数为36.9℃，信息不正确，故本选项符合题意；

B、这两周体温36.6℃出现的次数最多，是5次，所以，众数是36.6℃，信息正确，故本选项不符合题意；

C、第一周平均体温是×（36.7+37.1+36.6+37.1+37.0+36.6+36.9）≈36.9，第二周平均体温×（36.7+36.6+36.7+36.8+36.6+36.6+36.8）≈36.7，信息正确，故本选项不符合题意；

D、根据折线统计图可得：第二周的体温比第一周的体温更加平稳，信息正确，故本选项不符合题意．

故选：A．

6．要使分式有有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠1    B．x＞1    C．x＜1    D．x≠﹣1

解：由题意得，x﹣1≠0，

解得x≠1．

故选：A．

7．已知命题：“若两个角互补，则这两个角必定一个是锐角，另一个是钝角”，下列两个角度可以说明“上述命题是假命题”的反例是（　　）

A．40°和50°    B．30°和150°    C．90°和90°    D．120°和150°

解：∵90°+90°＝180°，

而这两个角都是直角，

所以D选项可能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题．

故选：C．

8．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，若HJ：JK：KF＝2：1：2，则下列说法正确的是（　　）

A．AB：AD＝2：3    B．EH：HG＝2：3    C．BC：FH＝2：3    D．AH：HD＝2：3

解：∵HJ：JK：KF＝2：1：2，

∴设HJ＝2x，JK＝x，KF＝2x，

由折叠的性质得：AH＝HJ＝2x，DH＝HK＝3x，AE＝EJ＝BE，

∴FH＝5x，

∴AH：HD＝2：3，

故D说法正确；

故选：D．

9．如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线∁n：y＝（x﹣n）2+n2（n为正整数），若C1和∁n的顶点的连线平行于直线y＝10x，则该条抛物线对应的n的值是（　　）

A．8    B．9    C．10    D．11

解：设C1和∁n的顶点所在直线解析式为y＝kx+b，

∵C1和∁n的顶点的连线平行于直线y＝10x，

∴k＝10，y＝10x+b，

抛物线y＝（x﹣n）2+n2的顶点坐标为（n，n2），

当n＝1时，顶点为（1，1），

将（1，1）代入y＝10x+b，

解得b＝﹣9，

∴y＝10x﹣9，

将（n，n2）带入解析时可得：n2＝10n﹣9，

解得n＝1或n＝9，

∴n＝9．

故选：B．

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为斜边作三个等腰直角△ABD，△ACE，△BCF，图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知Rt△ABC的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（　　）

A．S4    B．S1+S4﹣S3    C．S2+S3+S4    D．S1+S2﹣S3

解：设AC＝a，BC＝b，

∴S△ABC＝ab，

AB＝＝，

在等腰直角三角形中，

AE＝EC＝，

CF＝BF＝，

AD＝BD＝＝，

在Rt△AED中，

ED＝＝b，

DC＝EC﹣ED＝（a﹣b），

A：S4＝AE•ED＝•b•a＝ab＝•ab＝•S△ABC，

已知Rt△ABC的面积，可知S4，

故S4能求出确切值；

B：设AC与BD交于点M，

则S3+S△ADM＝S△ADC＝•CD•AE＝×（a﹣b）×a＝，

又∵S1+S△ADM＝S△ADB＝•AD2＝•＝，

∴（S1+S△ADM）﹣（S3+S△ADM）＝S1﹣S3＝﹣＝＝+S△ABC，

则S1﹣S3与b有关，

∴求不出确切值：

C：设AC交BD于点M，则S△BFD＝FD•BF＝•a•b＝，

∴S△ADM+S3＝•（a+b）•a＝（a2﹣ab），

S△BCM+S3＝S△BCD＝•CD•BF＝•（a﹣b）•b＝（ab﹣b2），

S△ADM+S1＝S△ADB＝（a2+b2），

S△BCM+S1＝S△ABC，

S2＝BF2＝•＝，

此时S2与b有关，而S3与AB有关，

∴无法确定S2+S3的值；

D：由B选项过程得S1﹣S3＝，

又∵S2＝•b2，

得到：S1+S2﹣S3＝b2+ab＝b2+S△ABC，

此时S1+S2﹣S3与b有关，无法求出确切值．

故选：A．

二、填空题（每小题5分，共30分）

11．计算：的值是　﹣3　．

解：因为＝3，

所以﹣＝﹣3，

故答案为：﹣3．

12．分解因式：3x2﹣12＝　3（x﹣2）（x+2）　．

解：原式＝3（x2﹣4）

＝3（x+2）（x﹣2）．

故答案为：3（x+2）（x﹣2）．

13．在一个不透明的袋子里装着1个白球、2个黄球、5个红球，它们除颜色不同外其余都相同．现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　　．

解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝＝．

故答案为：．

14．如图将母线长为9的圆锥侧面展开后得到扇形的圆心角为120°，若将该扇形剪成两个同样的扇形再围成2个同样的圆锥，则新圆锥的底面半径是　　．

解：∵将该扇形剪成两个同样的扇形，大扇形的圆心角为120°，

∴新扇形的圆心角为60°，

∵扇形的母线长为9，

∴扇形的弧长是：＝3π，

设底面半径是r，则2πr＝3π，

解得：r＝．

故答案为．

15．如图，以平行四边形ABCD的对角线AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与BC相切于点B，与AD相交于点E．若AE＝2DE，BC＝6，则⊙O的半径为　　．

解：如图：连接OB，EF，

∵BC是⊙O的切线，

∴∠OBC＝90°，

∵AF是⊙O的直径，

∴∠AEF＝90°，

∵▱ABCD中，∠BCA＝∠EAF，

∴△BCO∽△EFA，

即，

∵AD＝为：BC＝6，AE＝2DE，

∴AE＝4，DE＝2，

设半径是r，即，

∴OC＝3r，

在Rt△OBC中，r2+62＝（3r）2，

解得r＝．

所以半径是．

故答案为：．

16．如图，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与函数y＝（0＜b＜a）在第一象限的图象交于点C，AC＝3BC，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数y＝在第一象限的图象于点E，D，连接AE交x轴于点G，连接AD交y轴于点F，连接FG，若△AFG的面积为1，则的值为　　，a+b的值为　　．

解：∵OA＝OB，AC＝3BC，故点C是OB的中点，

设点B的坐标为（m，），则点A（﹣m，﹣），

则点C的坐标为（m，），则b＝m•＝a，即，

则点E、D坐标分别为（m，）、（m，），

由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝+，

设直线AE交y轴于点H，令y＝+＝0，解得x＝﹣m，令x＝0，则y＝，

故点G、H的坐标分别为（﹣m，0）、（0，），

同理可得，点F的坐标为（0，﹣），

则△AFG的面积＝S△HFA﹣S△HFG＝HF×（xG﹣xA）＝×（+﹣）×（﹣m+m）＝1，

解得a＝，

而b＝a，

∴a+b＝；

故答案为，

三、解答题（第17～19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）

17．（1）计算：（x+2）2﹣x（x+2）；

（2）解不等式组：．

解：（1）（x+2）2﹣x（x+2）

＝（x+2）（x+2﹣x）

＝2（x+2）

＝2x+4；

（2）解不等式组：

由①得，x≥1；

由②得，，

解得x＜3，

∴原不等式组的解集为1≤x＜3．

18．图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影请在余下的小正三角形中选取1个小正三角形，涂上阴影，按下列要求分别画出符合条件的一种情形．

（1）在图1中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形；

（2）在图2中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．

解：（1）如图1，在①②③④四个位置任选其一；

（2）如图2，在①②两个位置任选其一．

19．如图1是一种台灯，其主体部分是由与桌面垂直的固定灯杆AB和可转动灯杆BC和光源CD组成，当灯杆BC绕点B转动时，光线在桌面上的圆形照明区域随着光源到桌面的距离发生改变．图2是其示意图，其中AB⊥AE，CD∥AE，灯杆AB＝16cm，BC＝36cm．

（1）当灯杆AB与BC的夹角∠ABC为150°时，求光源CD到桌面AE的距离；

（2）若光源CD到AE的距离h与圆形照明区域半径r的关系是h＝r，要使圆形区域半径达到51cm，求灯杆AB与BC的夹角∠ABC的度数．

解：（1）如图，过点C作CG⊥AE，垂足为G，过点B作BF⊥CG，垂足为F，

∵AB⊥AE，CG⊥AE，BF⊥CG，

∴四边形BAGF为矩形．

∵AB＝16cm，

∴GF＝AB＝16cm，

∵∠ABC＝150°，∠ABF＝90°，

∴∠FBC＝60°，

在Rt△BCF中，CF＝BC•sin60°＝36×＝18（cm），

∴CG＝CF+FG＝（16+18）cm，

答：光源CD到桌面AE的距离为（16+18）cm；

（2）∵r＝51cm，

∴h＝r＝×51＝34（cm），

在Rt△BCF中，CF＝CG﹣FG＝34﹣16＝18（cm），

∵sin∠CBF＝＝＝，

∴∠CBF＝30°，

∴∠ABC＝90°+30°＝120°，

答：灯杆AB与BC的夹角∠ABC的度数为120°．

20．某学校开展应急救护知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取部分同学进行知识测试（测试满分100分，测试结果得分x均为不小于50的整数，且无满分）．现将测试成绩分为五个等级：不合格（50≤x＜60），基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x＜100），制作了统计图（部分信息未给出）．

由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求参加测试的总人数并补全频数分布直方图；

（2）求扇形统计图中“优秀”所对应的扇形圆心角的度数；

（3）如果80分以上为达标，请估计全校1200名学生中成绩达标的人数．

解：（1）参加测试的总人数：15÷10%＝150（人），

良好的人数有：150﹣5﹣15﹣35﹣40＝55（人），补全统计图如下：

（2）“优秀”所对应的扇形圆心角的度数是360°×＝96°；

（3）1200×＝760（人），

答：1200名学生中达标人数为760人．

21．如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣1，2），B（2，5）．

（1）求线段AB与y轴的交点坐标；

（2）若抛物线y＝x2+mx+n经过A，B两点，求抛物线的解析式；

（3）若抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，求m的取值范围．

解：（1）设线段AB所在的直线的函数解析式为：y＝kx+b （﹣1≤x≤2，2≤y≤5），

∵A（﹣1，2），B（2，5），

∴，

解得：，

∴AB的解析式为：y＝x+3 （﹣1≤x≤2，2≤y≤5），

当x＝0时，y＝3，

∴线段AB与y轴的交点为（0，3）；

（2）∵抛物线y＝x2+mx+n经过A，B两点，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝x2+1；

（3）∵抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，

∴联立方程，

得x+3＝x2+mx+3，

整理得：x2+（m﹣1）x＝0，

∵抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，

∴方程x2+（m﹣1）x＝0有两个不同的实数解，

即△＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2＞0，

∵（m﹣1）2≥0，

∴当m≠1时△＞0，

解方程x2+（m﹣1）x＝0得：x1＝0，x2＝1﹣m，

∵线段AB的取值范围为：﹣1≤x≤2，

∴①﹣1≤1﹣m＜0时，得1＜m≤2，

②0＜1﹣m≤2时，得﹣1≤m＜1，

综上所述m的取值范围为﹣1≤m≤2且m≠1．

22．有A、B、C三个港口在同一条直线上，甲船从A港出发匀速行驶，到B港卸货1小时，以不变的速度继续匀速向前行驶最终到达C港；乙船从B港出发匀速行驶到达C港．设甲船行驶x（h）后，甲船与B港的距离为y1（km），乙船与B港的距离为y2（km），下表记录某些时刻y1（km）与x（h）的对应值，y2（km）与x（h）的关系如图所示．

（2）在图中画出y1（km）与x（h）的图象；

（3）当甲船与乙船到港口B的距离相等时，求乙船行驶的时间．

解：（1）甲船的行驶速度是30km/h，乙船的行驶速度是：60÷（4﹣1）＝20（km/h）；

故答案为：30km/h；20km/h；

（2）如图所示：

（3）设甲船从A港口出发的时间为x（h）．

①当甲船未到B港口前，﹣30x+60＝20（x﹣1），

解得；

②当甲船已过B港并离开后，30（x﹣3）＝20（x﹣1），

解得x＝7；

综上，当乙船离开B港口0.6h和6h时，甲船和乙船到B港口的距离相等．

23．定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．

（1）如图1，近似菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝AD＝4，BC＝2，AB与AD的夹角∠BAD所对的对角线BD平分∠ABC，求CD的长；

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”．

（3）在（2）的条件下，若∠CDB＝3∠ADB，AB＝1，求CD的长．

解：（1）如图1，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，

∵∠BAD＝120°，AB＝AD＝4．

∴∠ABD＝∠ADB＝30°，BD＝4．

∵AB与AD的夹角∠BAD所对的对角线BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝30°．

∴DE＝2，BE＝6．

∵BC＝2，

∴CE＝4．

∴．

（2）如图2，∵AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．

∴∠ACB＝2∠DBC．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝2∠DBC．

∴∠ABD＝∠DBC．

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC．

∴∠ADB＝∠ABD．

∴AB＝AD．

∴四边形ABCD是“近似菱形”．

（3）如图2，过点D作DE∥AB交BC于点E，

∴四边形ABED为菱形．

∴∠ABD＝2∠ADB．

∵∠CDB＝3∠ADB，AD∥BC．

∴∠CED＝∠EDA＝2∠ADB＝∠EDC．

∵∠ABC＝∠ACB＝2∠ADB，

∴△ABC∽△CDE．

∴，即，

∴．

24．【提出问题】

如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．

【特殊位置探究】

（1）当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；

【一般规律探究】

（2）如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，＝y．

①求证：∠ACQ＝∠CPA；

②求y与x之间的函数关系式；

【解决问题】

（3）当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比．（直接写出答案）

解：（1）连接OD，

∵直径AB⊥CD，

∴．

∴OE＝3，AE＝8．

∵DP＝2，

∴．

连接BQ，则∠AQB＝90°，

在Rt△ABQ中，．

（2）①证明：连接BQ，

∵，

∴∠ACQ＝∠ABQ，

∵AB为直径，

∴∠A+∠ABQ＝90°，

∵AB⊥CP，

∴∠P+∠BAP＝90°，

∴∠ACQ＝∠DPQ．

②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，

∵∠ACQ＝∠DPQ，

∴△FCB∽△FNA．

∴．

∴．

（3）当OF＝1时，AF＝6或4．

当AF＝6时，，解得．

∵∠ACQ＝∠P，∠CAQ＝∠PDQ，

∴△PDQ∽△ACQ．

∴．

∵．

∴．

当AF＝4时，，

解得x＝20．

同理可得．

∴当OF＝1时，△CDQ与△ACQ的面积之比为或．