数据、模型与决策

一、指派问题

美国电缆公司利用包括5个分销中心、8个客户区域的分销系统分销产品。配给每个客

户区域一个专门的资源供应商，且其所有电缆产品都来自同一分销中心。为了能平衡分销中

心的客户需求和雇员的工作量，公司负责物流的副总裁特别指明一个分销中心最多负责3

个客户区。下面的表格1-1就是这5个分销中心以及每个客户区的供给成本(单位:1000

美元): 

a、 求出能使总成本最小的客户区—分销中心的组合方式。 

b、 如果有，哪一个分销中心没有分派任务, 

c、 假设每个分销中心最多只能负责2个客户区，那么这个条件将如何改变指

派和客户区的供给成本, 

表1-1 分销中心到客户区的供给成本 

客户区 分销中心 洛杉矶 芝加哥 哥伦比亚 亚特兰大 纽约 堪萨斯 丹佛 达拉斯 

普莱诺 70 47 22 53 98 21 27 13 

纳什维尔 75 38 19 58 90 34 40 26 

佛拉各斯塔夫 15 78 37 82 111 40 29 32 

斯普林菲尔德 60 23 8 39 82 36 32 45 

博尔德 45 40 29 75 86 25 11 37 

解: 

a、设Xij表示第i个分销中心是否供给第j个客户区，Xij=1表示供给，Xij=0表示不供

给。 

目标函数为求成本最小，即: 

Min 供给成本

=70X11+47X12+22X13+53X14+98X15+21X16+27X17+13X18+75X21+38X22+19X23+58X24

+90X25+34X26+40X27+26X28+15X31+78X32+37X33+82X34+111X35+40X36+29X37 

+32X38+60X41+23X42+8X43+39X44+82X45+36X46+32X47+45X48+45X51+40X52+29X53+

75X54+86X55+25X56+11X57+37X58 

约束 S.T.: 

1) 1X11+1X12+1X13+1X14+1X15+1X16+1X17+1X18<3

2) 1X21+1X22+1X23+1X24+1X25+1X26+1X27+1X28<3

3) 1X31+1X32+1X33+1X34+1X35+1X36+1X37+1X38<3

4) 1X41+1X42+1X43+1X44+1X45+1X46+1X47+1X48<3

5) 1X51+1X52+1X53+1X54+1X55+1X56+1X57+1X58<3

6) 1X11+1X21+1X31+1X41+1X51=1 

7) 1X12+1X22+1X32+1X42+1X52=1 

8) 1X13+1X23+1X33+1X43+1X53=1 

9) 1X14+1X24+1X34+1X44+1X54=1 

10) 1X15+1X25+1X35+1X45+1X55=1 

11) 1X16+1X26+1X36+1X46+1X56=1 

12) 1X17+1X27+1X37+1X47+1X57=1 

13) 1X18+1X28+1X38+1X48+1X58=1 

第 1 页 共 11 页 

解得:最小供给成本为216000美元 

客户区—分销中心组合: 

普莱诺:堪萨斯、达拉斯 

佛拉各斯塔夫:洛杉矶 

斯普林菲尔德:芝加哥、哥伦比亚、亚特兰大 

博尔德:纽约、丹佛 

b、纳什维尔分销中心没有分派任务。 

c、假设每个分销中心最多只能负责2个客户区，则此时: 

最小供给成本为227000美元 

客户区—分销中心组合: 

普莱诺:堪萨斯、达拉斯 

纳什维尔:哥伦比亚 

佛拉各斯塔夫:洛杉矶 

斯普林菲尔德:芝加哥、亚特兰大 

博尔德:纽约、丹佛 

二、纺织厂生产计划 

斯考兹维拉纺织厂生产5种不同的织物。每种织物可由纺织厂里38台纺织机中的任何一台或多台织成。销售部门对下个月的需求做出了预测。需求数据如表2-1所示，表中同时包括每码织物的销售价格、可变成本及购买价格。工厂全天运营，下个月运营30天。 表2-1 斯考兹维拉纺织厂的每月需求、销售价格、可变成本和购买成本 织物 需求(码) 出售价格(美元/码) 可变成本(美元/码) 购买价格(美元/码) 1 16500 0.99 0.66 0.80 2 22000 0.86 0.55 0.70 3 62000 1.10 0.49 0.60 4 7500 1.24 0.51 0.70 5 62000 0.70 0.50 0.70 

工厂有两种纺织机:帝备纺织机和常规纺织机。帝备纺织机更加多样化，可用于生产5种织物。常规纺织机只能生产3种织物。工厂共有38台纺织机，包括8台帝备纺织机和30台常规纺织机。各种纺织机生产各种织物的生产率如表2-2所示。从生产一种织物转换生产另一种织物的实践可以忽略。 

斯考兹维拉纺织厂用本厂生产或向另一纺织厂购买的织物满足所有的需求。也就是说，由于纺织机性能有，无法在该纺织厂生产织物将从另一家纺织厂购买。每种织物的采购价格如表2-1所示。 

表2-2 斯考兹维拉纺织厂的纺织机生产率 

纺织机生产率(码/ 小时) 织物 帝备纺织机 常规纺织机 

1 4.63 — 

2 4.63 — 

3 5.23 5.23 

4 5.23 5.23 

5 4.17 4.17 

管理报告 

第 2 页 共 11 页 

1、构造一个模型，为斯考兹维拉纺织厂制定一份生产计划，并确定需要向另一纺织厂

购买各种织物的数量。在你的报告中加入对以下问题的讨论和分析: 

2、每种织物最终的生产计划和对纺织机的安排。 

3、预计总利润。 

4、讨论再增加1台纺织机的价值。(工厂考虑购进第9台帝备纺织机。你估计新添加的

这台纺织机每月能创造多少利润,) 

5、讨论目标函数系数的取值范围。 

6、讨论使总费用最小化和总利润最大化的两种目标对应的模型的不同。(目标函数系数

的取值范围在这两种模型中的含义有什么不一样,) 

解: 

1、设X1i表示用帝备纺织机生产的各种织物的织机台数，X2i表示用常规纺织机生产

的第3、4、5种织物的织机台数，X3i表示从另一家纺织厂购买的各种织物的码数。 

目标函数: 

Max 总利润

=1100.088X11+1033.416X12+1804.9776X13+2748.888X14+863.16X15+1804.9776X23 +2748.888X24+863.16X25+0.19X31+0.16X32+0.5X33+0.54X34+0.00X35 约束 S.T.: 

1) 3333.6X11+1X31=16500 

2) 3333.6X12+1X32=22000 

3) 3765.6X13+3765.6X23+1X33=62000 

4) 3765.6X14+3765.6X24+1X34=7500 

5) 3002.4X15+3002.4X25+1X35=62000 

6) 1X11+1X12+1X13+1X14+1X15<8

7) 1X23+1X24+1X25<30

解得: 

Variable Value Reduced Costs 

X11 1.4005 0.0000 

X12 6.5995 0.0000 

X13 0.0000 544.52 

X14 0.0000 466.7040 

X15 0.0000 466.7040 

X23 0.0000 77.8224 

X24 1.9917 0.0000 

X25 20.6501 0.0000 

X31 11831.2000 0.0000 

X32 0.0000 0.0100 

X33 62000.0000 0.0000 

X34 0.0000 0.1900 

X35 0.0000 0.2875 取:

X11=1; X24=2; X31= 13166.4; 

X12=7; X25=21; X33= 62000;

第 3 页 共 11 页 

纺织机 总计(需求) 织物 购买 帝备纺织机 常规纺织机 

1 1 — 13166.4 16500 

2 7 — — 23335.2 

3 — — 62000 62000 

4 — 2 — 7531.2 

5 — 21 — 63050.4 

2、此时的总利润为65459.75美元。 

3、若再增加1台帝备纺织机，则 

解得: 

Variable Value Reduced Costs 

X11 2.4005 0.0000 

X12 6.5995 0.0000 

X13 0.0000 544.52 

X14 0.0000 466.7040 

X15 0.0000 466.7040 

X23 0.0000 77.8224 

X24 1.9917 0.0000 

X25 20.6501 0.0000 

X31 8497.6000 0.0000 

X32 0.0000 0.0100 

X33 62000.0000 0.0000 

X34 0.0000 0.1900 

X35 0.0000 0.2875 取: 

X11=2; X24=2; X31= 9832.8; 

X25=21; X33=62000; X12=7; 

此时的总利润为65926.46美元。 

新增帝备纺织机讷能创造的利润为65926.46-65459.75=476.71美元。 

4、目标函数系数的取值范围为: 

Variable Lower Limit Current Value Upper Limit 

X11 633.3840 1100.0880 1133.4240 

X12 1000.0800 1033.4160 No Upper Limit 

X13 No Lower Limit 1804.9776 2349.5040 

X14 No Lower Limit 2748.8880 3215.5920 

X15 No Lower Limit 863.1600 1329.80 

X23 No Lower Limit 1804.9776 1882.8000 

X24 2282.1840 2748.8880 No Upper Limit 

X25 396.4560 863.1600 No Upper Limit 

X31 0.1800 0.1900 0.3300 

X32 No Lower Limit 0.1600 0.1700 

X33 0.4793 0.5000 No Upper Limit 

X34 No Lower Limit 0.5400 0.7300 

第 4 页 共 11 页 

X35 No Lower Limit 0.0000 0.2875 5、总费用最小的目标函数 

Min 总费用

=2200.176X11+1833.48X12+2337.1824X13+1920.456X14+1501.2X15+2337.1824X23 +1920.456X24+1501.2X25+0.8X31+0.7X32+0.6X33+0.7X34+0.7X35 约束同上。 

最小总费用为96671.3380美元。 

Variable Lower Limit Current Value Upper Limit 

X11 2166.8400 2200.1760 2666.8800 

X12 No Lower Limit 1833.4800 1866.8160 

X13 1792.6560 2337.1824 No Upper Limit 

X14 1453.7520 1920.4560 No Upper Limit 

X15 1034.4960 1501.2000 No Upper Limit 

X23 2259.3600 2337.1824 No Upper Limit 

X24 No Lower Limit 1920.4560 2387.1600 

X25 No Lower Limit 1501.2000 1967.9040 

X31 0.6600 0.8000 0.8100 

X32 0.6900 0.7000 No Upper Limit 

X33 No Lower Limit 0.6000 0.6207 

X34 0.5100 0.7000 No Upper Limit 

X35 0.5000 0.7000 No Upper Limit 

6、总费用最小化的模型中目标函数系数表示每台纺织机所消耗的费用及购买织物的价

格;总利润最大化的模型中目标函数系数表示每台织机可创造的利润及每种外购织物可创造

的利润。 

三、分销系统设计 

大比公司是一家电力消耗测量仪的制造商和销售商，该公司在埃尔帕索以一间小型工厂

起家，逐步建立起了一个遍及得克萨斯州的客户基地。它的第一个分销中心在得克萨斯州的

沃斯，然后业务又扩展到北方，第二个分销中心在新墨西哥州的圣菲建立。 

公司在亚利桑那州、加利福尼亚州、内华达州和犹他州打开了测量仪市场，埃尔帕索加

工厂随着得以扩大。随着西部海岸线沿岸业务的发展，大比公司在拉斯维加斯建立了第三个

分销中心。就在两年前，又在加利福尼亚州的圣伯纳蒂诺建立了第二家生产工厂。 

不同生产工厂的制造成本是不同的，在埃尔帕索加工厂生产出来的产品单位成本为

10.50美元，圣伯纳蒂诺工厂生产的测量仪单位成本比埃尔帕索加工厂的低0.50美元。 

公司的快速增长意味着没有太多的精力去提高分销系统的效率。大笔公司管理层决定现

在把这个问题提到日程上来。表3-1显示了从两个工厂运输一台测量仪到3个分销中心的单

位成本。 

表3-1 从工厂到分销中心的单位运输成本 (单位:美元) 

分销中心 加工厂 沃斯 圣菲 拉斯维加斯 

埃尔帕索 3.20 2.20 4.20 

圣伯纳蒂诺 — 3.90 1.20 

埃尔帕索加工厂的季度生产能力为30000台测量仪，圣伯纳蒂诺加工厂的季度生产能力

第 5 页 共 11 页 

为20000台。注意，从圣伯纳蒂诺加工厂到得克萨斯州的沃斯分销中心之间的运输是不被允许的。 

这3个分销中心要负责9个客户区的需求。预计下一季度的每个客户区的需求量如表3-2所示。 

从每个分销中心到每个客户区之间的单位运输成本在表3-3中给定。注意:有些分销中心是不可以服务某些特定的客户区的。 

在目前分销系统下，达拉斯、圣安东尼奥、威齐托和堪萨斯城的客户区需求是通过沃斯分销中心来满足的。同样，圣菲销售中心为丹佛、盐湖城和凤凰城提供服务;拉斯维加斯分销中心满足洛杉矶和圣地亚哥客户区的需求。 

表3-2 季度需求预测 

客户区 需求(测量仪) 客户区 需求(测量仪) 达拉斯 6300 盐湖城 4830 圣安东尼奥 4880 凤凰城 2750 威齐托 2130 洛杉矶 8580 堪萨斯城 1210 圣地亚哥 4460 丹佛 6120 

表3-3 分销中心到客户区之间的单位运输成本 (单位:美元) 

客户区 

分销中心 丹达拉斯 圣安东尼奥 威齐托 堪萨斯城 盐湖城 凤凰城 洛杉矶 圣地亚哥 佛 

沃斯 0.3 2.1 3.1 4.4 6.0 — — — — 

圣菲 5.2 5.4 4.5 6.0 2.7 4.7 3.4 3.3 2.7 

拉斯维加斯 — — — — 5.4 3.3 2.4 2.1 2.5 

管理报告 

请对改进该公司分销系统提出建议。你的报告应该考虑下面的几个问题: 1、 如果公司不改变当前的分销战略，那么下一季度的制造和分销成本为多少, 2、 假设公司将考虑放松当前对分销中心的;也就是说，客户可以从任何一个分销中心

订货。这样，分销成本是不是会降低,降低多少, 

3、 该公司希望能从加工厂直接为某些客户提供销售服务。特别是圣伯纳蒂诺加工厂到洛杉

矶客户区的运输成本为0.30美元，从圣伯纳蒂诺到圣地亚哥的单位运输成本为0.70美

元。直接从埃尔帕索加工厂到圣安东尼奥客户区的单位运输成本为3.50美元。在考虑了

这些直接运到客户区的路线后，分销成本是不是会减少很多呢, 

4、 经过5年的发展之后，大比公司开始以稳健的速度增长(50000台测量仪)，业务延伸到

了北方和西方。你是否会建议它在这个时候考虑扩建工厂呢, 

解: 

1、 从分销中心到客户区的运输成本 

沃斯 圣菲 拉斯维加斯 

总成本 分销中心 单位运输成单位运输成单位运输成需求 需求 需求 本 本 本 

达拉斯 6300 0.3 10 

圣安东尼奥 4880 2.1 10248 

第 6 页 共 11 页 

威齐托 2130 3.1 6603 堪萨斯城 1210 4.4 5324 丹佛 6120 2.7 16524 盐湖城 4830 4.7 22701 凤凰城 2750 3.4 9350 洛杉矶 8580 2.1 18018 圣地亚哥 4460 2.5 11150 

总计 14520 13700 13040 101808 

设Yij表示从i地的加工厂运输到j地分销中心的测量仪的数量。 

目标函数为从加工厂到分销中心的运输成本及生产工厂的制造成本之和，称之为费用: 

MIN 费用=13.7y11+12.7y12+14.7y13+13.9y22+11.2y23 

约束 S.T. 

1) 1y11=14520 

2) 1y12+1y22=13700 

3) 1y13+1y23=13040 

4) 1y11+1y12+1y13<30000

5) 1y22+1y23<20000

解得: 

埃尔帕索加工厂到沃斯的运输量为14520台，到圣菲的运输量为13700;圣伯纳蒂诺加

工厂到拉斯维加斯的运输量为13040台。费用为5162美元。 

所以，在公司不改变当前的分销战略情况下，下一季度的制造为(14520+13700)

X10.50=296310美元，分销成本为(5162-296310)+101808=324460美元。总成本为

296310+324460=620770美元。 

2、 公司考虑放松当前对分销中心的时，可设Xij表示i分销中心到j客户区的测量仪运

输量。 

目标函数为分销成本: 

Min 分销成本 

=0.3X11+2.1X12+3.1X13+4.4X14+6X15+5.2X21+5.4X22+4.5X23+6X24+2.7X25+4.7X26 

+3.4X27+3.3X28+2.7X29+5.4X35+3.3X36+2.4X37+2.1X38+2.5X39+13.7y11+12.7y12 

+14.7y13+13.9y22+11.2y23 

约束 S.T. 

1) 1X11+1X21=6300 

2) 1X12+1X22=4880 

3) 1X13+1X23=2130 

4) 1X14+1X24=1210 

5) 1X15+1X25+1X35=6120 

6) 1X26+1X36=4830 

7) 1X27+1X37=2750 

8) 1X28+1X38=8580 

第 7 页 共 11 页 

9) 1X29+1X39=4460 

10) 1X11+1X12+1X13+1X14+1X15-1y11=0 

11) 1X21+1X22+1X23+1X24+1X25+1X26+1X27+1X28+1X29-1y12-1y22=0 

12) 1X35+1X36+1X37+1X38+1X39-1y13-1y23=0 

13) 1y11+1y12+1y13<30000

14) 1y22+1y23<20000

解得: 

Variable Value Reduced Costs 

-------------- --------------- ------------------ 

X11 6300.000 0.000 

X12 4880.000 0.000 

X13 2130.000 0.000 

X14 1210.000 0.000 

X15 0.000 4.300 

X21 0.000 3.900 

X22 0.000 2.300 

X23 0.000 0.400 

X24 0.000 0.600 

X25 6120.000 0.000 

X26 0.000 1.200 

X27 0.000 0.800 

X28 0.000 1.000 

X29 620.000 0.000 

X35 0.000 2.900 

X36 4830.000 0.000 

X37 2750.000 0.000 

X38 8580.000 0.000 

X39 3840.000 0.000 

y11 14520.000 0.000 

y12 6740.000 0.000 

y13 0.000 1.800 

y22 0.000 2.900 

y23 20000.000 0.000 分销成本=600942美元。分销成本降低了620770-600942=19828美元。 

3、 考虑这些直接运到客户区的路线后，可设Zij表示从i生产工厂到j客户区的测量仪运输

量。 

目标函数: 

Min 分销成本 

0.3X11+2.1X12+3.1X13+4.4X14+6X15+5.2X21+5.4X22+4.5X23+6X24+2.7X25+4.7X26 +3.4X27+3.3X28+2.7X29+5.4X35+3.3X36+2.4X37+2.1X38+2.5X39+13.7y11+12.7y12 +14.7y13+13.9y22+11.2y23+14Z12+10.3Z28+10.7Z29 

约束 S.T. 

第 8 页 共 11 页 

1) 1X11+1X21=6300 

2) 1X12+1X22+1Z12=4880 

3) 1X13+1X23=2130 

4) 1X14+1X24=1210 

5) 1X15+1X25+1X35=6120 

6) 1X26+1X36=4830 

7) 1X27+1X37=2750 

8) 1X28+1X38+1Z28=8580 

9) 1X29+1X39+1Z29=4460 

10) 1X11+1X12+1X13+1X14+1X15-1y11=0 

11) 1X21+1X22+1X23+1X24+1X25+1X26+1X27+1X28+1X29-1y12-1y22=0 

12) 1X35+1X36+1X37+1X38+1X39-1y13-1y23=0 

13) 1y11+1y12+1y13+1Z12<30000

14) 1y22+1y23+1Z28+1Z29<20000

解得: 

Variable Value Reduced Costs 

-------------- --------------- ------------------ 

X11 6300.000 0.000 

X12 0.000 1.800 

X13 2130.000 0.000 

X14 1210.000 0.000 

X15 0.000 4.300 

X21 0.000 3.900 

X22 0.000 4.100 

X23 0.000 0.400 

X24 0.000 0.600 

X25 6120.000 0.000 

X26 0.000 0.400 

X27 620.000 0.000 

X28 0.000 3.200 

X29 0.000 2.200 

X35 0.000 3.700 

X36 4830.000 0.000 

X37 2130.000 0.000 

X38 0.000 3.000 

X39 0.000 3.000 

y11 90.000 0.000 

y12 6740.000 0.000 

y13 0.000 1.000 

y22 0.000 3.700 

y23 6960.000 0.000 

Z12 4880.000 0.000 

Z28 8580.000 0.000 

Z29 4460.000 0.000 

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分销成本=553534美元。 

4、 经过5年的发展之后。对模型中1—9的约束的分析得: 

Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit 

1 0.000 6300.000 15040.000 

2 0.000 4880.000 13620.000 

3 0.000 2130.000 10870.000 

4 0.000 1210.000 9950.000 

5 0.000 6120.000 14860.000 

6 4210.000 4830.000 6960.000 

7 2130.000 2750.000 11490.000 

8 7960.000 8580.000 10710.000 

9 3840.000 4460.000 6590.000 

总计 18140.000 41260.000 100090.000 

由此可知在总需求不多于100090台测量仪时，该公司的分销系统是有效的，所以应该

扩建工厂，以满足扩大的市场需求。 

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