重点高中自主招生数学试题4含答案

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）

1．已知抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+1，则它的顶点坐标是（　　）

    A．（3，1）        B．（﹣3，1）        C．（3，﹣1）        D．（1，3）

2．如图，在⊙O中A、P、B、C是⊙O上四个点，已知∠APC=60°，∠CPB=50°，则∠ACB的度数为（　　）

    A．100°        B．80°        C．70°        D．60°

3．（2007•内江）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（　　）

    A．（x﹣2）2=2        B．（x+2）2=2        C．（x﹣2）2=﹣2        D．（x﹣2）2=6

4．若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（　　）

    A．等腰三角形        B．直角三角形        C．等边三角形        D．钝角三角形

5．给出下列命题：其中，真命题的个数是（　　）

（1）平行四边形的对角线互相平分；（2）对角线相等的四边形是矩形；

（3）菱形的对角线互相垂直平分；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形．

    A．4        B．3        C．2        D．1

6．在新年联欢会上，九年级（6）班的班委设计了一个游戏，并给予胜利者甲、乙两种不同奖品中的一种．现将奖品名称写在完全相同的卡片上，背面朝上整齐排列，如图所示．若阴影部分放置的是写有乙种奖品的卡片，则胜利者小刚同学得到乙种奖品的概率是（　　）

    A．        B．        C．        D．

7．（2005•四川）在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（　　）

    A．6        B．2        C．3        D．2

8．某市2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　　）

    A．300（1+x）=363        B．300（1+x）2=363        C．300（1+2x）=363        D．363（1﹣x）2=300

9．如图，EF是圆O的直径，OE=5cm，弦MN=8cm，则E，F两点到直线MN距离的和等于（　　）

    A．12cm        B．6cm        C．8cm        D．3cm

10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①c＞0；②a+b+c＜0；③ab＜0；④b2﹣4ac＞0，其中正确结论的个数是（　　）

    A．1        B．2        C．3        D．4

二、填空题（本大题共5道小题，每小题3分，共15分.）

11．方程3（x﹣5）2=2（5﹣x）的解是　_________　．

12．（2008•宁夏）从﹣1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是　_________　．

13．一个点到一个圆的最短距离是3cm，最长距离是5cm，则这个圆的半径是　_________　cm．

14．一个人沿坡度比为1：的斜坡前进10米，则他升高　_________　米．

15．（2007•莆田）如图，点A为反比例函数y=的图象上一点，B点在x轴上且OA=BA，则△AOB的面积为　_________　．

16．已知0°＜∠α＜90°且cosα=，那么tanα=　_________　．

17．（2009•大兴安岭）梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，∠C=70°，∠B=40°，则AB的长为　_________　．

18．（2009•内江）已知5x2﹣3x﹣5=0，则5x2﹣2x﹣=　_________　．

19．（2010•衡阳）如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k=　_________　．

20．如图，在△ABC中，∠C=60°，以分别交AC，BC于点D，E，已知圆O的半径为．则DE的长为　_________　．

三、解答题（共21分，每小题21分）

21．（1）计算：（﹣2010）0+﹣2sin60°﹣3tan30°+；

（2）解方程：x2﹣6x+2=0；

（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．

①若﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；

②证明：对于任意实数m，函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点．

四、解答题（每小题8分，共16分）

22．（2008•白银）小明和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．

小慧说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．

（1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；

（2）若按小慧说规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．

23．如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处．求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）．

五、（每小题9分，共18分）．

24．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，2）、B（4，n）两点，直线AB分别交x轴、y轴于D、C两点．

（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；

（2）若AD=tCD，求t．

25．（2003•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论；

（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？

26．（2009•三明）为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产．方案一：生产甲产品，每件产品成本为a万美元（a为常数，且3＜a＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件．另外，年销售x件乙产品时需上交万美元的特别关税．在不考虑其它因素的情况下：

（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1、y2与相应生产件数x（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；

（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？

27．在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°

①求证：△BDE是等边三角形；

②若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想；

③在②的条件下当CE=4时，求四边形ABDC的面积．

28．（2009•株洲）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．

（1）求点A的坐标（用m表示）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．

重点高中自主招生数学试题4参

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）

1．已知抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+1，则它的顶点坐标是（　　）

    A．（3，1）        B．（﹣3，1）        C．（3，﹣1）        D．（1，3）

考点：二次函数的性质。

分析：利用二次函数的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答．

解答：解：∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+1，

∴抛物线的顶点坐标是（3，1）

故选：A．

点评：本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，关键是熟练掌握：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．

2．如图，在⊙O中A、P、B、C是⊙O上四个点，已知∠APC=60°，∠CPB=50°，则∠ACB的度数为（　　）

    A．100°        B．80°        C．70°        D．60°

考点：圆周角定理；三角形内角和定理。

分析：根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得∠BAC=∠BPC=50°，∠ABC=∠APC=60°，在△ABC中，利用三角形内角和等于180°，可求∠ACB．

解答：解：∵∠APC=60°，∠CPB=50°，∠BAC=∠BPC，∠ABC=∠APC，

∴∠BAC=50°，∠ABC=60°，

∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°．

故选C．

点评：本题利用了同圆中同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理．

3．（2007•内江）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（　　）

    A．（x﹣2）2=2        B．（x+2）2=2        C．（x﹣2）2=﹣2        D．（x﹣2）2=6

考点：解一元二次方程-配方法。

专题：配方法。

分析：在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．

解答：解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4

配方得（x﹣2）2=2．

故选A．

点评：配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

4．若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（　　）

    A．等腰三角形        B．直角三角形        C．等边三角形        D．钝角三角形

考点：三角形的外接圆与外心。

分析：根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形．

解答：解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；

由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．

故选：B．

点评：此题主要考查了三角形的外接圆与外心，关键掌握直角三角形的外心就是其斜边的中点．

5．给出下列命题：其中，真命题的个数是（　　）

（1）平行四边形的对角线互相平分；（2）对角线相等的四边形是矩形；

（3）菱形的对角线互相垂直平分；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形．

    A．4        B．3        C．2        D．1

考点：矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：根据平行四边形、菱形、矩形的相关知识进行解答．

解答：解：（1）是平行四边形的性质，故（1）正确；

（2）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；故（2）错误；

（3）是菱形的性质，故（3）正确；

（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故（4）错误；

因此正确的结论是（1）（3）；故选C．

点评：熟练掌握各种特殊四边形的判定和性质是解答此类题的关键．

6．在新年联欢会上，九年级（6）班的班委设计了一个游戏，并给予胜利者甲、乙两种不同奖品中的一种．现将奖品名称写在完全相同的卡片上，背面朝上整齐排列，如图所示．若阴影部分放置的是写有乙种奖品的卡片，则胜利者小刚同学得到乙种奖品的概率是（　　）

    A．        B．        C．        D．

考点：几何概率。

分析：根据几何概率的定义，面积比即为概率．

解答：解：阴影部分占总面积的比值为，

∴胜利者小刚同学得到乙种奖品的概率是．

故选B．

点评：本题将概率的求解设置于现将奖品名称写在完全相同的卡片中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．

7．（2005•四川）在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（　　）

    A．6        B．2        C．3        D．2

考点：解直角三角形。

分析：根据三角函数的定义及勾股定理求解．

解答：解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=4，

∴sinA===，∴AB=6．∴AC==2．故选B．

点评：此题主要考查运用勾股定理和三角函数的定直角三角形．

8．某市2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　　）

    A．300（1+x）=363        B．300（1+x）2=363        C．300（1+2x）=363        D．363（1﹣x）2=300

考点：由实际问题抽象出一元二次方程。

专题：增长率问题。

分析：知道2004年的绿化面积经过两年变化到2006，绿化面积成为363，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意可列出方程．

解答：解：设绿化面积平均每年的增长率为x，300（1+x）2=363．故选B．

点评：本题考查的是个增长率问题，关键是知道增长前的面积经过两年变化增长后的面积可列出方程．

9．如图，EF是圆O的直径，OE=5cm，弦MN=8cm，则E，F两点到直线MN距离的和等于（　　）A．12cm        B．6cm        C．8cm        D．3cm

考点：垂径定理；勾股定理；梯形中位线定理。

分析：由图可以明显的看出OK∥EG∥FH，而O是EF的中点，因此OK是梯形EGHF的中位线，欲求EG+FH的值，需求出OK的长；在Rt△OMK中，由垂径定理易知MK的长度，即可根据勾股定理求出OK的值，由此得解．

解答：解：∵EG⊥GH，OK⊥GH，FH⊥GH，∴EG∥OK∥FH；∵EO=OF，∴OK是梯形EGHF的中位线，即EG+FH=2OK；Rt△OKM中，MK=MN=4cm，OM=OE=5cm；由勾股定理，得：OK==3cm；

∴EG+FH=2OK=6cm；故选B．点评：此题主要考查了垂径定理、勾股定理以及梯形中位线定理的综合应用．

10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①c＞0；②a+b+c＜0；③ab＜0；④b2﹣4ac＞0，其中正确结论的个数是（　　）

    A．1        B．2        C．3        D．4

考点：二次函数图象与系数的关系。

分析：根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．

解答：解：根据图象可知：

①c＜0，错误；

②当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；

③函数的对称轴﹣＜0，所以ab＞0，错误；

④图象与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，正确；

正确的有2个．

故选B．

点评：主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．

二、填空题（本大题共5道小题，每小题3分，共15分.）

11．方程3（x﹣5）2=2（5﹣x）的解是　5或　．

考点：换元法解一元二次方程。

专题：换元法。

分析：观察知，可用换元法把5﹣x看作一个整体，求解方程即可．

解答：解：根据题意，令y=5﹣x，代入原方程得：3y2=2y，解得y1=0，y2=，

∴x1=5，x2=；

点评：本题考查换元法解一元二次方程，是基础题型．

12．（2008•宁夏）从﹣1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是　　．

考点：概率公式；一次函数图象与系数的关系。

分析：从﹣1，1，2三个数中任取一个，共有三种取法，其中函数y=﹣1•x+3是y随x增大而减小的，函数y=1•x+3和y=2•x+3都是y随x增大而增大的，所以符合题意的概率为．

解答：解：P（y随x增大而增大）=．

故本题答案为：．

点评：用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一次函数未知数的比例系数大于0，y随x的增大而增大．

13．一个点到一个圆的最短距离是3cm，最长距离是5cm，则这个圆的半径是　1或4　cm．

考点：点与圆的位置关系。

分析：答题时要考虑该点在圆外和圆内两种情况，然后作答．

解答：解：本题没有明确告知点的位置，应分点在圆内与圆外两种情况，

当点P在⊙O内时，此时PA=3cm，PB=5cm，AB=8cm，因此半径为4cm；

当点P在⊙O外时，如图此时PA=3cm，PB=5cm，直线PB过圆心O，直径AB=PA=5﹣3=2cm，因此半径为1cm．

点评：本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

14．一个人沿坡度比为1：的斜坡前进10米，则他升高　5　米．

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。

分析：根据题意画出示意图，由坡度可求出∠A的度数，又由AB=10米，可得出BC的长度．

解答：解：由题意得tan∠A=，∴∠A=30°．∵AB=10米，∴BC=5米．即他升高了5米．

点评：本题考查了坡角的定义和三角函数定义的应用．

15．（2007•莆田）如图，点A为反比例函数y=的图象上一点，B点在x轴上且OA=BA，则△AOB的面积为　1　．

考点：反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质。

专题：数形结合。

分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=\\frac{1}{2}|k|．又由于OA=AB，则△AOB的面积为2S，即|k|．

解答：解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，

所以过点A向x轴作垂线，垂足是C，则S△ABO=2S△AOC=2×|k|=|k|．

所以△ABO的面积S=1．

故答案为：1．

点评：主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．

16．已知0°＜∠α＜90°且cosα=，那么tanα=　　．

考点：特殊角的三角函数值。分析：根据特殊角三角函数值解答．

解答：解：根据题意，0°＜∠α＜90°，cosα=，∴∠α=30°．∴tanα=tan30°=．

点评：本题考查特殊角的三角函数值，要求学生牢记．

17．（2009•大兴安岭）梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，∠C=70°，∠B=40°，则AB的长为　3　．

考点：梯形。

分析：作DE∥AB交BC于点E，从而可求得∠CDE的度数，从而就不难求得AB的长．

解答：解：作DE∥AB交BC于点E，得到平行四边形ABED

∴∠CED=∠B=40°，BE=AD=1

∴∠CDE=70°

∴AB=DE=CE=4﹣1=3．

点评：此题综合运用了平行四边形的性质和等腰三角形的性质．

18．（2009•内江）已知5x2﹣3x﹣5=0，则5x2﹣2x﹣=　　．

考点：代数式求值。

专题：整体思想。

分析：由已知条件5x2﹣3x﹣5=0可得，5x2﹣2x=x+5，整体代入，再由已知变形得x﹣=，代入求值即可．

解答：解：5x2﹣2x﹣=x+5﹣，

∵5x2﹣3x=5，两边同除以5x得：x﹣=，

∴原式=x+5﹣=．

点评：代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式5x2﹣3x﹣5的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．此题主要是对已知条件的两次变形．

19．（2010•衡阳）如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k=　2　．

考点：反比例函数系数k的几何意义。

分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．

解答：解：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，

∵Rt△OAB中，∠OAB=90°，∴DE∥AB，∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，∴DE为Rt△OAB的中位线，

∵双曲线y=（k＞0），可知S△AOC=S△DOE=k，∴S△AOB=4S△DOE=2k，由S△AOB﹣S△AOC=S△OBC=3，得2k﹣k=3，解得k=2．故本题答案为：2．

点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

20．如图，在△ABC中，∠C=60°，以分别交AC，BC于点D，E，已知圆O的半径为．则DE的长为　　．

考点：切割线定理。

分析：作辅助线DB，因为∠C=60°，∠CDB=90°可推出CD为BC的一半；又因为∠CEDD=∠CAB，∠CDE=∠CBA可知△CDE∽△CBA，可知DE为AB的一半．

解答：解；连接DB，

∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，∵∠C=60°，∴CD=CB，∵CEDD=∠CAB，∠CDE=∠CBA，∴CDE∽△CBA，∴==，∴DE=2．

点评：本题考查了圆内接四边形的性质和直角三角形的性质，注意辅助线的应用．

三、解答题（共21分，每小题21分）

21．（1）计算：（﹣2010）0+﹣2sin60°﹣3tan30°+；

（2）解方程：x2﹣6x+2=0；

（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．

①若﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；

②证明：对于任意实数m，函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点．

考点：抛物线与x轴的交点；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法；根的判别式；根与系数的关系；特殊角的三角函数值。

专题：计算题；证明题。

分析：（1）根据实数的运算法则计算．

（2）根据一元二次方程求根公式求解．

（3）①先将x=﹣1代入方程x2﹣mx﹣2=0．求得m=1．再将m=1代入方程x2﹣mx﹣2=0．得到方程x2﹣x﹣2=0．解方程即可．

②根据根的判别式△=b2﹣4ac=m2+8＞0，可判断一元二次方程x2﹣mx﹣2=0有两个不相等的实数根，即对于任意实数m，函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点．

解答：解：（1）原式=1﹣8﹣﹣﹣1

=﹣8﹣；

（2）∵a=1，b=﹣6，c=2，△=b2﹣4ac=36﹣8=28，∴x=，x1=3+，x2=3﹣；

（3）①将x=﹣1代入方程x2﹣mx﹣2=0．解得：m=1．将m=1代入方程x2﹣mx﹣2=0，得到x2﹣x﹣2=0．

解方程得：x1=﹣1，x2=2．即方程的另一根为2．

②关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0，∵△=m2+8＞0，∴对于任意实数m，函数y=x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点．点评：本题重点考查了实数的运算、一元二次方程根的意义以及根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，难度中等．

四、解答题（每小题8分，共16分）

22．（2008•白银）小明和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．

小慧说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．

（1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；

（2）若按小慧说规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．

考点：游戏公平性；列表法与树状图法。

专题：阅读型。

分析：游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中小慧获胜与我获胜的概率概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．

解答：解：（1）树状图为：

共有12种等可能的结果．（4分）

（2）游戏公平．（6分）

∵两张牌的数字都是偶数有6种结果：

（6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）．

∴小明获胜的概率P==．（8分）

小慧获胜的概率也为．

∴游戏公平．（10分）

点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处．求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题。

专题：应用题。

分析：过点P作PC⊥AB，垂足为C，根据题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60，然后在Rt△APC中可表示出PC，在Rt△PCB中可表示出PB，进而可得出答案．

解答：解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，

∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60，

在Rt△APC中，cos∠APC=，

PC=PA•cos∠APC=30，

在Rt△PCB中，

．

答：当渔船位于P南偏东45°方向时，渔船与P的距离是30海里．

点评：本题考查解直角三角形的应用，有一定的难度，解答本题的关键是理解方向角含义，正确记忆三角函数的定义．

五、（每小题9分，共18分）．

24．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，2）、B（4，n）两点，直线AB分别交x轴、y轴于D、C两点．

（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；

（2）若AD=tCD，求t．

考点：反比例函数综合题。

分析：（1）利用把x=﹣6，y=2代入，得出m的值，进而求出n的值，由待定系数法求出一次函数的解析式；

（2）首先证明Rt△COD∽Rt△AED，由A，C两点坐标得出AE，CO的长，进而得出t的值．

解答：解（1）把x=﹣6，y=2代入，

得：m=﹣12，

∴反比例函数的解析式为，把x=4，y=n代入，得n=﹣3，把x=﹣6，y=2，x=4，y=﹣3，分别代入y=kx+b，得，解得：，∴一次函数的解析式为；

（2）过A作AE⊥x轴，E点为垂足，

∵A点的纵坐标为2，∴AE=2，由一次函数的解析式为得C点的坐标为（0，﹣1），∴OC=1，

在Rt△COD和Rt△AED中，∠COD=∠AED=90°，∠CDO=∠ADE，∴Rt△COD∽Rt△AED，

∴，∴t=2．

点评：此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练利用待定系数得出一次函数的解析式进而利用相似得出是解题关键．

25．（2003•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论；

（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？

考点：线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定。

专题：几何综合题。

分析：（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，得；EB=EC．由等边对等角得∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2与∠4互余，∠1与∠3互余．∴∠1=∠2．∴AE=CE．又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥FE．∴∠1=∠5．∴∠AEC=∠EAF，∴AF∥CE．∴四边形ACEF是平行四边形．

（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．

（3）当四边形ACEF是矩形时，有∠2=90°，而∠2与∠3互余．∠3≠0°，∴∠2≠90°．∴四边形ACEF不可能是矩形．

解答：（1）证明：∵ED是BC的垂直平分线，

∴EB=EC．∴∠3=∠4．∵∠ACB=90°，∴∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1=∠2．∴AE=CE．

又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．∴AF=AE，∴∠F=∠5，∵FD⊥BC，AC⊥BC，

∴AC∥FE．∴∠1=∠5．∴∠1=∠2=∠F=∠5，∴∠AEC=∠EAF．∴AF∥CE．∴四边形ACEF是平行四边形．

（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠1=∠2=60°．

∴∠AEC=60°．∴AC=EC．∴平行四边形ACEF是菱形．

（3）解：四边形ACEF不可能是矩形．理由如下：由（1）可知，∠2与∠3互余，∠3≠0°，∴∠2≠90°．

∴四边形ACEF不可能是矩形．

点评：本题利用了：（1）中垂线的性质，（2）等边对等角和等角对等边，（3）直角三角形的性质，（4）平行四边形和判定和性质，（5）一组邻边相等的平行四边形是菱形，（6）矩形的性质．

26．（2009•三明）为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产．方案一：生产甲产品，每件产品成本为a万美元（a为常数，且3＜a＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件．另外，年销售x件乙产品时需上交万美元的特别关税．在不考虑其它因素的情况下：

（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1、y2与相应生产件数x（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；

（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？

考点：二次函数的应用。

专题：方案型。

分析：（1）根据题意得出y1与y2与x的函数关系式；

（2）根据a的取值范围可知y1随x的增大而增大，可求出y1的最大值．又因为﹣＜0，可求出y2的最大值；

（3）第三问要分两种情况决定选择方案一还是方案二．当2000﹣200a＞500以及2000﹣200a＜500．

解答：解：（1）由题意得：

y1=（10﹣a）x（1≤x≤200，x为正整数）（2分）

y2=10x﹣（1≤x≤120，x为正整数）；（4分）

（2）①∵3＜a＜8，∴10﹣a＞0，

即y1随x的增大而增大，（5分）

∴当x=200时，y1最大值=（10﹣a）×200=2000﹣200a（万美元）（6分）

②y2=﹣（x﹣100）2+500（7分）

∵a=﹣＜0，

∴x=100时，y2最大值=500（万美元）；（8分）

（3）∵由2000﹣200a＞500，

∴a＜，

∴当3＜a＜时，选择方案一；（9分）

由2000﹣200a=500，得a=，

∴当a=时，选择方案一或方案二均可；（10分）

由2000﹣200a＜500，得a＞，

∴当8＞a＞时，选择方案二．（12分）

点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．

27．在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°

①求证：△BDE是等边三角形；

②若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想；

③在②的条件下当CE=4时，求四边形ABDC的面积．

考点：等边三角形的判定；菱形的判定与性质；圆周角定理。

专题：证明题；探究型。

分析：①由等弧所对圆周角可得∠BCA=∠BDA=60°，显然∠BAC+∠ABC=120°，由两条角平分线和三角形的外角性质，可得到∠BED=60°，由此得证．

②由△BDE是等边三角形，可以得出BC垂直平分DE，从而证得△CDE为等边三角形，解决第二个问题．

③由第二个问题的结论，利用菱形面积等于对角线乘积的一半解决第三个问题．

解答：①证明：如图，在圆中∠ACB=∠BDA=60°，

∴∠ABC+∠BAC=120°，

又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线，

∴∠BED=∠ABE+∠BAE=（∠ABC+∠BAC）=60°，

∴△BDE是等边三角形．

②四边形BDCE是菱形．

证明：∵∠BDC=120°，∠BDA=60°，

∴∠ABC=∠ADC=60°

∵BE是∠ABC的角平分线，△BDE是等边三角形，

∴BF平分∠EBD，且BC垂直平分DE，

∵∠BDF=∠CDF，∠BFD=∠CFD，DF=DF，

∴△BFD≌△CFD，

∴BF=CF，

∴DE垂直平分BC，

因此四边形BDCE是菱形．

③解：由∠ABC=∠ADC=60°，∠ACB=∠ADB=60°，AE是∠BAC的角平分线，

可得∠CAD=30°，AD为圆的直径，CD=CE=4，

∴AD=2CD=8，AC=4

因此S四边形ABDC=2×（4×4×）=16．

点评：此题主要考查等边三角形的判定，菱形的判定及三角形面积的有关计算．

28．（2009•株洲）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．

（1）求点A的坐标（用m表示）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．

考点：二次函数综合题。

专题：压轴题；动点型。

分析：（1）AO=AC﹣OC=m﹣3，用线段的长度表示点A的坐标；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m﹣3），又P（1，0）为抛物线顶点，可设顶点式，求解析式；

（3）设Q（x，x2﹣2x+1），过Q点分别作x轴，y轴的垂线，运用相似比求出FC、EC的长，而AC=m，代入即可．

解答：（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=BC=m，OA=m﹣3，

∴点A的坐标是（3﹣m，0）．

（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）．

又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，

所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2，

得： ，  解得，     ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1；

（3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，

设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），

则QM=CN=（x﹣1）2，MC=QN=3﹣x．∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC。∴

即，得EC=2（x﹣1），∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，∴

即，得。又∵AC=4，∴FC（AC+EC）=[4+2（x﹣1）]=（2x+2）=×2×（x+1）=8。即FC（AC+EC）为定值8．

点评：本题考查了点的坐标，抛物线解析式的求法，综合运用相似三角形的比求线段的长度，本题也可以先求直线PE、BF的解析式，利用解析式求FC，EC的长．