2022年湖南省娄底市中考数学试题及答案解析

2022年湖南省娄底市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.的倒数是(    )

A.  B.  C.  D. 

2.下列式子正确的是(    )

A.  B.  C.  D. 

3.一个小组名同学的出生月份单位：月如下表所示：

编号
月份

这组数据月份的众数是(    )

A.     B.     C.     D. 

4.下列与年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是(    )

A.     B. 

C.     D. 

5.截至年月日，世界第四大水电站云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破亿千瓦时，相当于替代标准煤约亿吨，减排二氧化碳约亿吨．亿用科学记数法表示为(    )

A.     B.     C.     D. 

6.一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.     B. 

C.     D. 

8.将直线向上平移个单位，相当于(    )

A. 向左平移个单位    B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位    D. 向右平移个单位

9.在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结如图，由细到粗右细左粗，满七进一，那么孩子已经出生了(    )

A. 天    B. 天    C. 天    D. 天

10.如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

11.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点、且，过点、的直线与两坐标轴相交于、两点，连接、，则下列结论中成立的有(    )

点、在反比例函数的图象上；

为等腰直角三角形；

；

的值随的增大而增大．

A.     B.     C.     D. 

12.若，则称是以为底的对数．记作：．

例如：，则；，则．

对数运算满足：当，时，．

例如：，则的值为(    )

A.     B.     C.     D. 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.函数的自变量的取值范围是______．

14.已知实数，是方程的两根，则______．

15.黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为号台球共个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出个球，则摸出的球编号为偶数的概率是______．

16.九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图如实物图比较美观，通过手绘如图、测量、计算发现点是的黄金分割点，即延长与相交于点，则______精确到

17.菱形的边长为，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．

18.如图，已知等腰的顶角的大小为，点为边上的动点与、不重合，将绕点沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接给出下列结论：

≌；

∽；

当时，的面积取得最小值．

其中正确的结论有______填结论对应的应号．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）

20.先化简，再求值：，其中是满足条件的合适的非负整数．

21.按教育督导委员会办公室印发的关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间：以上，：，：，：以下进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

本次调查的学生共______名；

______，______；

补全条形统计图．

22.“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”墩墩使用握力器如实物图所示锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点处，在无外力作用下，弹簧的长度为，即开始训练时，将弹簧的端点调在点处，此时弹簧长，弹力大小是，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点调到点处，使弹力大小变为，已知，求的长．

注：弹簧的弹力与形变成正比，即，是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为，在外力作用下，弹簧的长度为，则．

23.“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的倍少，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．

请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；

娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？

24.如图，以为边分别作菱形和菱形点，，共线，动点在以为直径且处于菱形内的圆弧上，连接交于点设．

求证：无论为何值，与相互平分；并请直接写出使成立的值．

当时，试给出的值，使得垂直平分，请说明理由．

25.如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点．

判定与的位置关系，为什么？

若，，

求、的值；

试用和表示，猜测与、的关系，并用给予验证．

26.如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．

请直接写出点，，的坐标；

点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．

点是抛物线上的动点，作交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．

故选：．

根据倒数的定义即可得出答案．

本题考查了倒数，掌握乘积为的两个数互为倒数是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、与不能合并，故D不符合题意；

故选：．

根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一判断即可解答．

本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：这名同学的出生月份出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，

故选：．

根据众数的意义求出众数即可．

本题考查众数，理解众数的意义是解决问题的前提，掌握众数的意义是解决问题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：．

根据中心对称图形的概念进行判断即可．

本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．

5.【答案】 

【解析】解：亿，

故选：．

根据亿，再用科学记数法的表示即可．

本题主要考查科学记数法的知识，熟练掌握科学记数法的形式是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：如图，

 

由平行线的性质得：，

，

．

故选：．

根据平行线的性质和平角的定义可得结论．

本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握两直线平行，内错角相等是解本题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：，

解，得，

解，得．

所以原不等式组的解集为：．

故符合条件的选项是．

故选：．

先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项．

本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：将直线向上平移个单位后得到新直线解析式为：，即．

由于，

所以将直线向左平移个单位即可得到直线．

所以将直线向上平移个单位，相当于将直线向左平移个单位．

故选：．

根据直线平移值不变，只有发生改变解答即可．

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：孩子自出生后的天数是：

 

 

，

答：那么孩子已经出生了天．

故选：．

由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为，，和，然后把它们相加即可．

本题考查了用数字表示事件．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．

10.【答案】 

【解析】解：作于点，作于点，和交于点，如图所示，

设，则，

，

，

，

圆中的黑色部分的面积与的面积之比是：，

故选：．

根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，然后即可计算出圆中的黑色部分的面积与的面积之比．

本题考查等边三角形的性质、圆的面积、三角形的内切圆与内心，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

11.【答案】 

【解析】解：点、且，则，

点、在反比例函数的图象上，故正确； 

设直线为，则，解得，

直线为，

当时，；当时，，

，，

，

，

为等腰直角三角形，故正确；

点、且，

、都在第一象限，

，故正确；

直线为，直线为，

当时，的值随的增大而减小，当时，的值随的增大而增大，

故错误；

故选：．

根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断；根据、点的坐标特征即可判断；求得直线、的解析式，根据正比例函数的系数即可判断．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定等，数形结合是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：原式 

 

 

 

 

．

故选：．

首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．

本题主要考查了定义运算，实际上是对数的运算，读懂题目意思是关键．

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：

，

解得：，

故答案为：．

根据，以及分母不能为，可得，然后进行计算即可解答．

本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握，以及分母不能为是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：方程中的，，

．

故答案是：．

根据根与系数的关系解答．

此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得，

从袋中随机摸出个球，一共有种可能性，其中摸出编号是偶数的有种可能性，

故摸出的球编号为偶数的概率是，

故答案为：．

根据题意和题目中的数据，可以得到一共有多少种可能性，其中摸出编号是偶数的有多少种可能性，从而可以求得摸出的球编号为偶数的概率．

本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．

16.【答案】 

【解析】解：点是的黄金分割点，且，

，

由题意得：

，

，

，

故答案为：．

根据黄金分割的定义可得，再根据题意可得，即可解答．

本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：连接，作于，

 

四边形是菱形，

，，

，

≌，

，

当点、、共线，的最小值为的长，

，，

，

的最小值为，

故答案为：．

连接，作于，利用证明≌，得，当点、、共线，的最小值为的长，再求出的长即可．

本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，

≌，故正确；

，，，

，

∽，故正确；

∽，

，

当时，最小，的面积取得最小值．

而，

，

当时，的面积取得最小值，故正确；

故答案为：．

由题意可知，，，即可根据判断≌；根据，，即可判断∽；由∽，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，当，则时，最小，的面积取得最小值．

本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短以及等腰三角形三线合一的性质，三角形掌握这些性质是解题的关键．

19.【答案】解：原式 

 

． 

【解析】先计算零次幂、负整数指数幂，再化简绝对值、代入特殊角的三角函数值算乘法，最后算加减．

本题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义及特殊角的函数值是解决本题的关键．

20.【答案】解：原式 

 

，

且，

且，

，

则原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

21.【答案】     

【解析】解：本次调查的学生共：名，

故答案为：；

，，

故答案为：，；

类人数为，

补全条形统计图如图：

根据类人数以及所占的百分比即可求解；

根据总数以及类、类的人数即可求解；

根据类所占的百分比，求出类人数，即可补全条形统计图．

本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．

22.【答案】解：由题意可得，

，

，

解得， 

，

当时，，

解得，

由图可得，

，，

，

，

，，

，

，

，

即的长是． 

【解析】由题意可以先求出的值，然后即可求出的长，再根据勾股定理即可得到和的长，由图可知：，代入数据计算即可．

本题考查解直角三角形的应用、正比例函数，解答本题的关键是求出的值，以及和的值．

23.【答案】解：设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，

由题意得：，

解得：，

答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为；

，

答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约千克． 

【解析】设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，由题意：一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的倍少，一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为列出二元一次方程组，解方程组即可；

由的结果列式计算即可．

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

24.【答案】证明：四边形，四边形都是菱形，

，，，

，，共线，

，，共线，

，，

四边形是平行四边形，

与互相平分．

当时，，

，

，

；

解：当时，垂直平分线段．

理由：如图中，设交于点．

 

四边形是菱形，

，

与互相平分，

，

，

，

，

，

，

，

，

是直径，

，

垂直平分线段． 

【解析】证明四边形是平行四边形，可得结论；

当时，垂直平分线段证明，可得结论．

本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

25.【答案】解：是切线，理由如下：

如图，连接，

 

，

，

是的角平分线，

，

，

，

，

是的半径，且，

是的切线；

在中，，，

，

，

如图，连接，，过点作于，

 

，

四边形是矩形，

，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

；

，

；

猜想：，理由如下：

当时，，

，

． 

【解析】连接，证明，则，再根据圆的切线的判定定理证明是的切线；

根据三角函数定义可得结论；

计算的值，并计算的值，可得结论：；并用可得结论．

此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义等知识，解题的关键是正确的作出所需要的辅助线，掌握三角函数的定义进行解题．

26.【答案】解：当时，，

，

当时，，

，，

，；

方法一：如图，

 

连接，

设点，

，

，

，

 

 

 

，

当时，；

方法二：如图，

 

作于，交于点，

，，

直线的解析式为：，

，

，

，

当时，；

如图，

 

当▱时，，

抛物线对称轴为直线：，

点的坐标：，

如图，

 

当▱时，

作于，

，

当时，，

，，

，，

综上所述：或或． 

【解析】将及代入抛物线的解析式，进而求得结果；

连接，设点，分别表示出，，计算出，根据，从而得出的函数关系式，进一步求得结果；

可分为▱和▱的情形．当▱时，点和点关于抛物线对称轴对称，从而得出点坐标；当▱时，可推出点的纵坐标为，进一步求得结果．

本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件．