高等数学_第7章___常微分方程

一、本章提要

1． 基本概念  

微分方程，常微分方程(未知函数为一元函数)，偏微分方程（未知函数为多元函数），微分方程的阶数（填空题）.

齐次方程 ：或者（计算）

一阶线性微分方程：或者

通解公式

或者用常数变异法求解.（计算或者填空）

线性相关，线性无关（选择）

可降解（不显含或）的（计算）

齐次常系数线性微分方程：特征根法（填空）

非齐次常系数线性微分方程：特接用待定系数法. (计算)　　　

微分方程解的结构定理（选择或填空）．

换元法也是求解微分方程的重要方法之一.

    二、要点解析    

问题1  常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？

解析  常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章

我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．

例1  求微分方程  的通解．

解一  因为所对应的特征方程为，特征根，所以

（C为任意常数）为所求通解．

解二　因为　　　　         ，

所以　　　　　          ，

分离变量　　　          ，

两边积分　　　         ，

        　　　　  ，

 所以 　   （C为任意常数）

三、例题精解

例3  求满足初始条件的特解．

解一  令，则．将其代入原方程得

                             ，

分离变量                     ，

两边积分                    ，

                              ，

                               ，

    因为，所以，可得C2=0．故，即．这里应舍去，因为此时与y 异号，不能够满足初始条件．将    分离变量便得其解y=．再由，得，于是所求解为

                                 ．

上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．

解二  因为，所以

，

特征方程                         ，

特征根                          ，

于是其通解为  

                               ，

由初始条件可得C1=0 ，C2=1 ，所求特解为

                                    ．

例4  求方程的通解．

解一  该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为

                              ，

特征方程为                     ，

特征根，齐次方程的通解为

                    ，

由于方程， (其中) 恰是特征单根，故设特解为

                       ，

代入原方程，可得所以

                           ，

于是所求通解为

                     ．

    上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程  中的非齐次项，那么该微分方程的特解可设为 

                 ，

其中均为 m次待定多项式．如果非齐次项中的使不是特征方程的根，则设；如果是特征方程的单根，则取．

  例5 求解微分方程。

解：因为是特征方程的重根，所以原方程的一个待定特解为

，

将此解代入原方程，得

。

比较两端系数，得。于是得到原方程的一个特解

。

又因为相应齐次方程的通解是

。

因此原方程的通解为。

上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程  中的非齐次项，那么该微分方程的特解可设为 

                 ，

其中为 m次待定多项式．如果非齐次项中的不是特征方程的根，则设；如果是特征方程的单根，则取，如果是特征方程的重根，则取.

例6．求微分方程的通解。

解：原方程所对应齐次方程的通解为

。

    设非齐次方程的一个特解为

，

代入次方程，得。所以。

    设非齐次方程的一个特解为

，

    代入方程，得。所以。

    因为为原方程的一个特解，所以原方程的通解为

。

上述解法的特点是把分成后分别求解再相加.

四、练习题

1．判断正误

（1）若y1和y2是二阶齐次线性方程的解，则（C1，C2为任意常数）是其通解 ；                                                                 （）

解析  只有和是二阶齐次线性方程的两个线性无关的解时，其线性组合才是通解．

（2）的特征方程为；                    （）

解析  为三阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次线性方程为，由于齐次线性微分方程的特征方程是把微分方程中的未知函数y换成未知元，并将未知函数的导数的阶数换成未知元的次数而得到的代数方程．因此，的特征方程为．

（3）方程的特解形式可设为（Ａ，Ｂ为待定系数） ；                                       （ √ ）

解析  对应的齐次方程为，特征方程为，特征根为=0， =1．

又因为,不是特征根，于是，非齐次方程的特解应设为  =．

（4）的通解为（C为任意常数）．                        （√ ）

解析  特征方程为，特征根为=1，所以，特征方程的通解为．

2．选择题

（1）的特解形式可设为（ A  ）；

   (A) ；          (B)  ；

      (C)  ；           (D)  ．

解析  特征方程为，特征根为==1． =1是特征方程的特征重根，于是有．

（2）的特解形式可设为（  C   ）；

(A)  ；             (B)   ；

(C)  ；      (D)  ．

解析  特征方程为，特征根为==．又因为，不是特征根，于是，非齐次方程的特解设为．                              

（3）的特解形式可设为（  A   ）；

(A)   ；   (B)  ；

    (C)   ；             (D)  ．

解析  特征方程为，特征根为=， =．又因为，

，是特征方程的特征单根，于是，非齐次方程的特解设为       ．

（4）下列方程中，通解为的微分方程是（  A   ）．

 (A)  ；    (B)  ；

     (C)    ；         (D)  ．

解析  由通解==可知，它是二阶常系数齐次线性微分方程的通解，方程的特征根为重根==1，对应的特征方程为，其所对应的二阶常系数齐次线性微分方程为．

(5) 设是二阶常系数线性齐次方程的两个特解，是两个任意常数，则下列命题中正确的是[   ]

（A）一定是微分方程的通解。

（B）不可能是微分方程的通解。

（C）是微分方程的解。

（D）不是微分方程的解。

答C

    注：根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误。当线性相关时，选项（A）错误, 当线性无关时，选项（B）错误。

３．填空题

（1）方程　的通解为；

解  特征方程为，特征根为=0， =， =，方程的通解为 

                       =．

 (2)的特征方程为；

解  特征方程是把微分方程中的未知函数换成未知元，并将未知函数的导数的阶数换成未知元的次数而得到的代数方程．

（3）的通解为；

解  方程两边积分得      ==，

微分方程的通解        =．

（４）满足和的特解为．

解  对应的齐次方程为，特征方程为，特征根为=2， =3，对应齐次方程的通解为．

由于=0不是特征方程的根，故设，

将，代入方程，有6A=7，  即 A=．

于是方程的特解为                 ，

方程的通解为                      ．

现在求满足初始条件的特解．对求导得，

将初值代入与，有即

于是，方程满足初始条件的特解为=．

(5) 设是线性微分方程的三个特解，且，则该微分方程的通解为

。

(6) 函数满足的二阶线性常系数齐次微分方程为。

(7) 若连续函数满足关系式，则。

4． 解答题

(1)用两种方法求解  ；

解一  对应的齐次方程为，特征方程为，特征根为=0， =，于是对应的齐次方程的通解为=．

由于=0是特征方程的特征单根，于是设==x(Ax+B)，

求导得                ，  ，

则有               ，  

所以方程的特解为                   =，

所求方程的通解为             =+．

解二  设，则，原方程变形为  ，

对应的齐次方程为                 ，

用分离变量法，得               ，

两边积分，得          ，  即，

根据常数变易法，设，代入，有

              ，  

积分得  ===，

变形后所得一阶微分方程的通解为    =，

所以，原方程的通解为      ==                               

=+．

(2)求方程的通解；

解  整理得          ，

用分离变量法，得             ，

两边求不定积分，得        ，

于是所求方程的通解为          ，  

即                            ．

(3)求的通解；

解  分离变量，得           ，

取倒数，有，是关于一阶线性微分方程．求此方程的通解．

对应的齐次方程为               =3，

用分离变量法，得               =3，

两边积分，得         ，   即  ，

用常数变易法，设方程的解为=，代入方程，有

          ，  即  ，

积分，得                  =，

所以，方程的通解为        =．