2021-2022学年度高数学9月月考卷-

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

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一、单选题

1．扇形的半径为1，圆心角的弧度数为2，则这个扇形的周长是（ ）

A．3 ．4 ．5 ．以上都不对

2．若，则等于（ 　 　）

A． ． ． ．

3．已知，，其中.若，则的值等于（ ）

A． ． ．1 ．

4．若，则（ ）

A． ． ． ．

5．若，则的值为（ ）

A． ． ． ．

6．已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（　　）

A． ． ． ．

7．已知函数，则①的图象关于点对称；②在上的值域为；③的图象关于直线对称；④若，则．其中正确的有（ ）个

A．1 ．2 ．3 ．4

8．已知函数的图像相邻的对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则函数在上的最大值为（ ）

A．4 ． ． ．2

9．如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ）

A．18m ．20m ．24m ．30m

10．如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）

A．ω＝，A＝3 ．ω＝，A＝3

C．ω＝，A＝5 ．ω＝，A＝5

第II卷（非选择题）

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二、填空题

11．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数a的值为____.

12．设为锐角，若，则的值为____________.

13．如图在中，，点在的延长线上，，则长的最小值为___________.

14．的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积等于__________．

三、解答题

15．已知函数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间.

16．已知函数  的最大值为 ．

（1）求常数  的值．

（2）求函数  的单调递减区间．

（3）若 ，求函数 的值域．

17．已知的内角A、B，C所对的边分别为a、b、c，且．

（Ⅰ）求角A的值．

（Ⅱ）若的面积为，且，求a的值．

18．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

19．某公司为奖励员工实施了两种奖励方案，方案一：每卖出一件产品奖励4.5元；方案二：卖出30件以内（含30件）的部分每卖出一件产品奖励4元，超出30件的部分每卖出一件产品奖励7元．

（1）记利用方案二员工甲获得的日奖励为Y（单位：元），日卖出产品数为．求日奖励Y关于日卖出产品数n的函数解析式；

（2）员工甲在前10天内卖出的产品数依次为22，23，23，23，25，25，25，29，32，32，若将频率视为概率，如果仅从日平均奖励的角度考虑，请利用所学的统计学知识为员工甲选择奖励方案，并说明理由．

20．在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数）.以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，为曲线上的动点,求线段长度的最小值，并求此时点的直角坐标.

参

1．B

【分析】

由扇形周长等于弧长加上两条半径的长度，根据已知条件即可求扇形的周长.

【详解】

由扇形周长公式：，而，

∴这个扇形的周长是.

故选：B

2．B

【分析】

化为，代入计算．

【详解】

．

故选：B．

3．C

【分析】

根据列方程，化简求得.

【详解】

设的夹角为，

由于，所以或，所以，

所以，

即，由于，，

所以，所以.

故选：C

4．C

【分析】

利用诱导公式化简已知条件，可求得的值，再将所求利用二倍角正弦公式展开，然后借助平方关系将其转化为分式齐次式，最后利用商数关系化简即可求解.

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

∴，

故选：C.

5．B

【分析】

利用诱导公式、二倍角公式求得正确选项.

【详解】

由，得，则.

故选:B

6．C

【分析】

结合的单调性，利用整体代入法求得的取值范围.

【详解】

依题意，

，，

，其中，

依题意函数在上单调递减，

所以，，由于，故令求得的取值范围是.

故选：C

7．C

【分析】

直接代入验证是否为0、是否为判断①、③；根据给定区间，写出的对应区间，求的值域判断②；由题设及的最小正周期即可判断④.

【详解】

①，则的图象关于点对称，正确；

②由题设，，故，正确；

③，的图象不关于直线对称，错误；

④的最大、最小值分别是、，所以要使且，而，故，正确.

∴共有3项正确.

故选：C

8．A

【分析】

由辅助角公式结合周期求出解析式，由平移变换求出g（x）,再利用整体换元法求最值即可

【详解】

函数，

由于函数的图像相邻的对称轴之间的距离为，

所以函数的最小正周期为π，

故.

将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，

由于，

所以：，

当时，函数的最大值为4.

故选：A.

9．C

【分析】

过A作于E，则，设，利用两角和的正切公式可建立关于的关系式，即可解出．

【详解】

如图，过A作于，设，

∵，记，则，

在中，, 

∴,

在中，, 

∴,

∴，

∴，

解得：或（舍去），

所以建筑物，的底部B，D之间的距离是24m.

故选：C.

10．A

【分析】

根据最大值及半径求出A，根据周期求出ω.

【详解】

由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2⇒A＝3．

，则．故选:A

11．

【分析】

先对求导，然后求出曲线在点处切线的斜率，再根据条件得到关于a的方程，进一步求出a的值.

【详解】

解：由，得，

则曲线在点处切线的斜率，

因为曲线在点处的切线与直线平行，

所以，所以.

答案：.

12．

【分析】

利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.

【详解】

为锐角，， .

.

故答案为：

13．

【分析】

先用正弦定理得到，再用余弦定理并进行三角变换得到即可．

【详解】

解：在中，由正弦定理得，，

在中，由余弦定理得，

，且，

，的最大值为1，

的最小值为，

故答案为：．

14．

【分析】

首先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得三角形的面积.

【详解】

由于为钝角，所以为锐角，所以，

所以，

由正弦定理得，

即.

所以三角形的面积为.

故答案为：

15．（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间和.

【分析】

（1）求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）解方程，根据的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间.

【详解】

解：（1）函数的定义域为，

因为，

所以函数在点处的切线方程，

即.

（2）因为，

令，得，

所以当时，，可知在区间上单调递增，

当，或时，，可知在区间和上都单调递减，

所以单调递增区间，单调递减区间和.

16．（1）；（2）单调递减区间为，；（3）

【分析】

利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式可得，

（1）由题意可得，解方程即可.

（2）利用正弦的单调递减区间，整体代入即可求解.

（3）利用正弦函数的性质即可求解.

【详解】

.

（1）由，解得.

（2）由，

则，，

解得，，

所以函数的单调递减区间为，，

（3）由，则，

所以，

所以，

所以函数 的值域为.

17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】

（I）由三角形内角和为去掉,二倍角公式化简可得,从而求出；（Ⅱ）代入三角形面积公式可得，结合条件解出，，余弦定理求.

【详解】

解：（I）由，得，即，

∵，∴，

又，∴需，故．

（Ⅱ）由面积，得，

又，

∴，，

由余弦定理，

∴．

18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）连接交于点，连接，可证，线面平行的判定定理可证平面；（2）由菱形对角线垂直和线面垂直可证平面，从而得出.

【详解】

（1）证：连接交于点，连接

∵底面是菱形

∴为的中点

∵点为的中点

∴

∵平面，且平面

∴平面

（2）证：

∵底面是菱形

∴

∵平面

∴

∵，∴平面

平面，

∴

19．（1）；（2）选择方案一，理由见解析.

【分析】

（1）由题意可得分和两种情况求解函数解析式；

（2）先求出员工甲日平均卖出的产品件数，然后分别求两种奖励方案中的奖励大小，再比较可得答案

【详解】

（1）当时，．

当时，．

综上可知：

（2）根据数据，可估算员工甲日平均卖出的产品件数为．

员工甲根据方案一的日平均奖励为（元），

员工甲根据方案二的日平均奖励为，

因为，所以建议员工甲选择方案一．

20．（1）；；（2）长度的最小值为，此时点的坐标为.

【详解】

解：（1）由曲线，可得：

两式两边平方相加可得：曲线的普通方程为：.…………………………2分

由曲线得：，

即，所以曲线的直角坐标方程为：.……………4分

（2）由（1）知椭圆与直线无公共点，

设，易知当与直线垂直时距离较小，…………6分

此时到直线的距离为

，

当时，的最小值为，此时，

所以长度的最小值为，此时点的坐标为.…………………………10分