2020届新高考数学模拟试卷及答案解析(3)

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{1A =-，2}，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为()

A ．11,2⎧⎫⎨⎬

⎩⎭

B ．11,2⎧⎫-⎨⎬

⎩⎭

C ．10,1,2⎧

⎫⎨⎬

⎩

⎭D ．11,0,2⎧

⎫-⎨⎬

⎩

⎭2.若1iz i =+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于()

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3.已知函数()(22)||x x f x ln x -=+的图象大致为(

)

A ．

B ．

C ．

D ．

4.《九章算术●衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是()

A ．甲付的税钱最多

B ．乙、丙两人付的税钱超过甲

C ．乙应出的税钱约为32

D ．丙付的税钱最少

5.若sin(75)3

α︒+=，则cos(302)(α︒-=)

A ．

4

9

B ．49

-

C ．

59

D ．59

-

6.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅

读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是()

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

7.若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =．则()

A ．c a b

<<<<8.已知双曲线22

221(,0)x y a b a b

-=>的左右焦点分别为1F 、2F ，圆222x y b +=与双曲线在第一

象限内的交点为M ，若12||3||MF MF =，则该双曲线的离心率为()

A ．2

B ．3

C

D

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

空调类

冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比

95.80%

0.48%

- 3.82%

0.86%

则下列判断中正确的是(

)

A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损

B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同

C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供

D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低

10.已知函数sin ,4

()cos ,4

x x f x x x ππ⎧

⎪⎪=⎨⎪>

⎪⎩，则下列结论正确的是(

)

A ．()f x 不是周期函数

B ．()f x 奇函数

C ．()f x 的图象关于直线4

x π

=对称D ．()f x 在52

x π

=

处取得最大值

11.设A ，B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是()

A ．若OA O

B ⊥，则||||2OA OB B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)

C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1

D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且1

||3

AF =

，则||1BF =12.如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成△1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是(

)

A ．存在某个位置，使得1CN A

B ⊥B ．翻折过程中，CN 的长是定值

C ．若AB BM =，则1AM B D

⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知两个单位向量a

，b 的夹角为30︒，(1)c ma m b =+- ，0b c = ，则m =

．

14.已知曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线经过点(2,6)，则该双曲线的离心率

为

．

15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为．

16.已知函数22,(),x x a

f x x x a ⎧=⎨>⎩

，

①若1a =，则不等式()2f x 的解集为；

②若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是

．

四、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）给定数列{}n A ，若对任意m ，*n N ∈且m n ≠，m n A A +是{}n A 中的项，则称{}n A 为“H 数列”．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）请写出一个数列{}n a 的通项公式

，此时数列{}n a 是“H 数列”；

（2）设{}n a 既是等差数列又是“H 数列”，且16a =，2*a N ∈，26a >，求公差d 的所有可能值；

18．（12分）已知在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且sin sin sin sin a A c C

b B C

-=-．

（1）求角A 的值；

（2）若a =B θ=，ABC ∆周长为y ，求()y f θ=的最大值．

19．（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆与△1B BC 是全等的等边三角形，（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若11

cos 4

B BA ∠=

，求二面角1B B C A --的余弦值．

20．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：

35岁以下（含35岁）

35岁以上

合计使用移动支付40

50

不使用移动支付

40

合计

100

（1）将上22⨯列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？

（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X ，求X 的

分布列及期望．

2()

P K k 0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中)

n a b c d =+++21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为2

2，且以原点O 为圆心，椭圆C

的长半轴长为半径的圆与直线20x y +-=相切．（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点，已知Q 点坐标为5

(4

，0)，

求QA QB

的值．

22．（12分）已知函数2()22f x bx ax lnx =-+．

（1）若曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线为24y x =+，试求实数a ，b 的值；（2）当1b =时，若()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，5

2

a ，若不等式12()f x mx 恒成立，试求实数m 的取值范围．

2020届新高考数学模拟试题（3）

答案解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{1A =-，2}，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为()

A ．11,2⎧⎫⎨⎬

⎩⎭

B ．11,2⎧⎫-⎨⎬

⎩⎭

C ．10,1,2⎧

⎫⎨⎬

⎩

⎭D ．11,0,2⎧

⎫-⎨⎬

⎩

⎭【解析】B A ⊆ ，{1A =-，2}的子集有φ，{1}-，{2}，{1-，2}，当B φ=时，显然有0a =；当{1}B =-时，11a a -=⇒=-；当{2}B =时，1

212

a a =⇒=

；当{2B =-，1}，不存在a ，符合题意，∴实数a 值集合为{1-，0，1

}2

，

故选：D ．

2.若1iz i =+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于()

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【解析】1iz i =+ ，1111

i i

z i i +-+∴=

==--，故1z i =+，

其对应的点是(1,1)，在第一象限，故选：A ．

3.已知函数()(22)||x x f x ln x -=+的图象大致为(

)

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】()(22)||(22)||()x x x x f x ln x ln x f x ---=+-=+=，则()f x 是偶函数，排除D ，由()0f x =得||0ln x =得||1x =，即1x =或1x =-，即()f x 有两个零点，排除C ，当x →+∞，()f x →+∞，排除A ，故选：B ．

4.《九章算术●衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是()

A ．甲付的税钱最多

B ．乙、丙两人付的税钱超过甲

C ．乙应出的税钱约为32

D ．丙付的税钱最少

【解析】由题意，按比例，甲钱最多，付的税钱最多；丙钱最少，付的税钱最少；可知A ，D 正确．

乙、丙两人共持钱350180530560+=<，故乙、丙两人付的税钱不超过甲，可知B 错误．乙应出的税钱为350

10032560350180

⨯≈++．可知C 正确．

故选：B ． 5.若2

sin(75)3

α︒+=，则cos(302)(α︒-=)

A ．

4

9

B ．49

-

C ．

59

D ．59

-

【解析】 2sin(75)3α︒+=，则25

cos(302)cos(1502)[12sin (752)]9

ααα︒-=-︒+=--︒+=-，故选：D ．

6.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；

丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是()

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

【解析】①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，

②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，

③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，

④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，

综合①②③④得：

读了该篇文章的学生是乙，故选：B ．

7.若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =．则()

A ．c a b

<<<<【解析】23a =，可得(1,2)a ∈，2log 52b =>，

由32c =．可得(0,1)c ∈．c a b ∴<<．

故选：A ．

8.已知双曲线22

221(,0)x y a b a b

-=>的左右焦点分别为1F 、2F ，圆222x y b +=与双曲线在第一

象限内的交点为M ，若12||3||MF MF =，则该双曲线的离心率为()

A ．2

B ．3

C D

【解析】由双曲线的定义可得12||||2MF MF a -=，若12||3||MF MF =，则2||MF a =，

设(,)M m n ，0m >，由双曲线的定义可得

2

2||()c a MF m a a c =-=，

可得2

2a m c

=，

又22221m n a b -=，即2

222(1)m n b a

=-，由||OM b =，可得：

42222

2

222

4(4)a b a c m n b c c

-+=+=，由222b c a =-，化为223c a =，

则c

e a

=

=故选：D ．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

空调类

冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比

95.80%

0.48%

- 3.82%

0.86%

则下列判断中正确的是(

)

A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损

B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同

C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供

D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【解析】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为0.48-，是亏损的，A 正确；

小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误；

该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C 正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D

正确．故选：ACD ．

10.已知函数sin ,4()cos ,4

x x f x x x ππ⎧

⎪⎪=⎨⎪>

⎪⎩，则下列结论正确的是(

)

A ．()f x 不是周期函数

B ．()f x 奇函数

C ．()f x 的图象关于直线4

x π

=对称D ．()f x 在52

x π

=

处取得最大值【解析】函数sin ,4()cos ,4

x x f x x x ππ⎧

⎪⎪=⎨

⎪>⎪⎩的图象如图所示：根据()f x 的图象可知AC 正确，B 不正确；当52

x π

=

时，()0f x =不是最大值，故D 错误．故选：AC

．

11.设A ，B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是()

A ．若OA O

B ⊥，则||||2OA OB B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)

C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1

D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且1

||3

AF =

，则||1BF =【解析】对于选项1:(A A x ，21)x ，2(B x ，2

2)x ，OA OB ⊥ ，∴0OA OB = ，

21212()0x x x x ∴+=，

1212(1)0x x x x ∴+=，21

1x x ∴=-

，||||2OA OB ∴=，当且仅当11x =±时等号成立，故选项A 正确；

对于选项B ：若OA OB ⊥，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y kx m =+，联立方程2

y kx m

y x

=+⎧⎨=⎩，消去y 得：20x kx m --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，12x x k ∴+=，12x x m =-，∴2222121212()y y x x x x m ===，

OA OB ⊥ ，∴0OA OB =

，12120x x y y ∴+=，20m m ∴-+=，0m ∴=或1，

易知直线AB 不过原点，1m ∴=，

∴直线AB 的方程为：1y kx =+，恒过定点(0,1)，故选项B 错误，∴原点O 到直线AB

的距离d =

，20k ，211k ∴+，1d ∴，故选项C 正确；

对于选项D ：直线AB 过抛物线的焦点1(0,4F ，设直线AB 的方程为：1

4y kx =+，

联立方程214y kx x y

⎧

=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得：2

104x kx --=，

设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，不妨设点A 在y 轴右侧，12x x k ∴+=，121

4x x =-，

111||43AF y ∴=+

=，∴11

12

y =

，1x ∴=，∴211

342x x -

==-

，234y ∴=，21

||14

BF y ∴=+

=，故选项D 正确，故选：ACD ．

12.如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成△1AB M ，连结1B D ，

N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是(

)

A ．存在某个位置，使得1CN A

B ⊥B ．翻折过程中，CN 的长是定值

C ．若AB BM =，则1AM B D

⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π

【解析】对于A ：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，则1//NE AB ，1//NF MB ，如果1CN AB ⊥，可得到EN NF ⊥，

又EN CN ⊥，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能，故A 错误．对于B ：如图1，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），11

2

NE AB =

（定值）

，AM EC =（定值），由余弦定理可得2222cos MC NE EC NE EC NEC =+-∠ ，NC ∴是定值，故B 正确．

对于C ：如图2，取AM 中点O ，连接1B O ，DO ，由题意得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，由题意不成立，可得C 错误．

对于D ：当平面1B AM ⊥平面AMD 时，三棱锥1B AMD -的体积最大，由题意得AD 中点H 就是三棱锥1B AMD -的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π，故D 正确．故选：BD ．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知两个单位向量a

，b

的夹角为30︒，(1)c ma m b =+- ，0b c = ，则m =4+【解析】根据题意，(1)c ma m b =+-

，且0b c = ，则2[(1)](1)0b c b ma m b ma b m b =+-=+-=

，

又由a

，b 是单位向量且其夹角为30︒，则有3(1)02

m +-=，

解可得4m =+

故答案为：4+

14.已知曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为

2

．

【解析】曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线经过点，

可得

b a =

223b a =，可得2c a =，所以该双曲线的离心率为：2e =．故答案为：2．

15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为8π

．

【解析】如图，

圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则正方形的边长为2，

∴正方形的对角线即圆柱外接球的直径为

∴该圆柱的外接球的表面积为248ππ⨯=．

故答案为：8π．

16.已知函数22,(),x x a

f x x x a ⎧=⎨>⎩

，

①若1a =，则不等式()2f x 的解集为(-∞；

②若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是

．

【解析】①当1a =时，22,1

(),1

x x f x x x ⎧=⎨>⎩，则令()2f x ，即有22x 或22x ，解得1x 或

1x <

，

故()2f x 的解集为(-∞；

②由函数()()g x f x b =-只有一个零点时，22x x =时，2x =或4x =，当2a =时，22,2

(),2x x f x x x ⎧=⎨>⎩

，此时()()g x f x b =-只有一个零点；

当2a <时，()g x 有2个零点；

同理当4a =时，22,4

(),4x x f x x x ⎧=⎨>⎩

，()()g x f x b =-只有一个零点；

当4a >时，有2个零点，

故可得a 的取值范围是(-∞，2)(4⋃，)+∞，

故答案为：(-∞，；(-∞，2)(4⋃，)+∞．

四、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）给定数列{}n A ，若对任意m ，*n N ∈且m n ≠，m n A A +是{}n A 中的项，则称{}n A 为“H 数列”．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）请写出一个数列{}n a 的通项公式

2n a n

=，此时数列{}n a 是“H 数列”；

（2）设{}n a 既是等差数列又是“H 数列”，且16a =，2*a N ∈，26a >，求公差d 的所有可能值；

【解析】（1）．2n a n =．

（2）由题，等差数列{}n a 中，且16a =，2*a N ∈，26a >，可得：0d >且*d N ∈．

又因为数列{}n a 又是“H 数列”，所以12a a +是{}n a 中的项，设12k a a a +=，即：112(1)a d a k d +=+-，整理得：6

2

d k =

-，3k =时，6d =成立；4k =时，3d =成立；5k =时，2d =成立；6k =时，3

2

d =不成立；7k =时，6

5

d =

不成立；8k =时，1d =成立．

综上所述，公差d 所有可能的值为：1，2，3，6．

18．（12分）已知在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且sin sin sin sin a A c C

b B C

-=-．

（1）求角A 的值；

（2）若a =B θ=，ABC ∆周长为y ，求()y f θ=的最大值．【解析】（1）由已知sin sin sin sin a A c C

b B C

-=

-可得sin sin sin sin b B b C a A c C -=-，

结合正弦定理可得222b c a bc +-=，

2221

cos 22

b c a A bc +-∴==，

又(0,)A π∈，1

3A π∴=．

（2

）由a =1

3

A π=．

及正弦定理得

2sin sin 32b c

B C

===，

2sin b θ∴=，22sin 2sin()3

c C π

θ==-，

故22sin 2sin()3

y a b c π

θθ=++=++-

，3sin θθ=

+6

π

θ=+

+由203πθ<<，得5666

πππθ<+<，∴当62ππθ+

=，即1

3

θπ=

时，max y =19．（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆与△1B BC 是全等的等边三角形，（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若11

cos 4

B BA ∠=

，求二面角1B B C A --

的余弦值．【解析】（1）取BC 的中点O ，连接AO ，?B O ，

由于ABC ∆与△1B BC 是全等的等边三角形，所以有AO BC ⊥，?B O BC ⊥，且?AO B O O = ，所以BC ⊥平面?B AO ， 由AB B AO ⊂，所以?BC AB ⊥；

（2）设AB a =，ABC ∆与△1B BC 是全等的等边三角形，所以11BB AB BC AC B C a =====，

又11cos 4B BA ∠=

，由余弦定理可得2222113

242

AB a a a a a =+-= ，在△1AB C 中，有22211AB AO B O =+，

以OA ，OB ，1OB 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则,0,0)A ，(0B ，2

a

，0)

，1B

，1(,,0),(2a AB AB == 设平面?ABB 的一个法向量为(,,)m x y z =

，由10

0m AB m AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩

，得31

022022

ax ay ax ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩

，令1x =

，则m =

，

又平面1BCB 的一个法向量为(1,0,0)n =

，

由cos ,5m n <=

，所以二面角1B B C A --的余弦值为

5

5

．20．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：

35岁以下（含35岁）

35岁以上

合计使用移动支付40

50

不使用移动支付

40

合计

100

（1）将上22⨯列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？

（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X ，求X 的分布列及期望．

2()

P K k 0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中)

n a b c d =+++【解析】（1）根据所给数据得到如下22⨯列联表：

35岁以下（含35岁）

35岁以上

合计使用移动支付401050不使用移动支付

104050合计

50

50

100

根据公式可得22

100(40401010)36 2.70650505050

K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，

所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄有关．

（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，则X 的可能为1，2，3，

12823108(1)120C C P X C ===

，218231056(2)120C C P X C ===，3831056

(3)120

C P X C ===，其分布列为

X 123P 8

120

56120

56120

8565612()1231201201205

E X =⨯

+⨯+⨯=．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为2，且以原点O 为圆心，椭圆C

的长半轴长为半径的圆与直线20x y +-=相切．（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点，已知Q 点坐标为5

(4

，0)，

求QA QB

的值．

【解析】（1）由离心率为22，可得22c e a ==，22c a ∴=，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆的方程为222x y a +=，因与直线20x y +-=

a =

，即a =1c =，1b ∴=，故而椭圆方程为：2

212

x y +=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，2(1,2A ，2(1,2

B ，∴52527(1,)(1,)424216

QA QB =---=- ，②当直线l 的斜率为0

时，A

，(B ，

则557,0)(,0)4416

QA QB =-=- ，③当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程22112

x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(2)210t y ty ++-=，∴△2244(2)0t t =++>，122

22t y y t +=-+，12212y y t =-+，又111x ty =+ ，221x ty =+，∴

222211221212121222255111111112217(,)(,)()()(1)()(1)4444416242162(2)1616t t QA QB x y x y ty ty y y t y y t y y t t t t t --+=--=--+=+-++=-+++=+=-+++ ，综上所述：716

QA QB =- ．22．（12分）已知函数2()22f x bx ax lnx =-+．

（1）若曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线为24y x =+，试求实数a ，b 的值；

（2）当1b =时，若()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，52

a ，若不等式12()f x mx 恒成立，试求实数m 的取值范围．

【解析】（1）由题可知f （1）26b a =-=，2()22f x bx a x '=-+，f ∴'（1）2222b a =-+=，联立可得6a b ==-．

（2）当1b =时，2()22f x x ax lnx =-+，

222(1)()22x ax f x x a x x

-+'=-+=，()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，

1x ∴，2x 是方程210x ax -+=的两个正根，1252x x a +=，121x x = ，不等式式12()f x mx 恒成立，即12

()f x m

x 恒成立，∴23232311111111112111111122

()22222()222f x x ax lnx x ax x lnx x x x x x lnx x x x lnx x x -+==-+=-++=--+，由1252x x a +=，121x x = 得11152

x x +，∴1102x <，令3()22h x x x xlnx =--+，1(0)2

x

<，2()320h x x lnx '=-+<，()h x ∴在(0，1]2上是减函数，19()()228h x h ln ∴=--，故928

m ln --．