广西贺州高级中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)

广西贺州高级中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．给出的四个答案中，只有一个是符合题意．）

1．复数的值是(     )

    A．+i    B．+i    C．+i    D．+i

考点：复数代数形式的乘除运算． 

专题：数系的扩充和复数．

分析：利用复数的运算法则、共轭复数即可得出．

解答：    解：原式=====．

故选：B．

点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数，属于基础题．

2．已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有(     )

    A．3个    B．2个    C．1个    D．无穷多个

考点：Venn图表达集合的关系及运算． 

专题：集合．

分析：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，进而可得M与N的元素特征，分析可得答案．

解答：    解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，

又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，

即M={x|﹣1≤x≤3}，

在此范围内的奇数有1和3．

所以集合M∩N={1，3}共有2个元素，

故选B．

点评：本题考查集合的图表表示法，注意由Venn图表分析集合间的关系，阴影部分所表示的集合．

3．下列各组函数中，表示同一函数的是(     )

    A．    B．

    C．    D．

考点：判断两个函数是否为同一函数． 

专题：函数的性质及应用．

分析：分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致即可．

解答：    解：A．函数的定义域为{x|x≠0}，所以两个函数的定义域不同．

B．第一个函数的定义域为{x|x≥1}，第一个函数的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，所以两个函数的定义域不同．

C．两个函数的定义域和对应法则都相同，所以表示为同一函数．

D．第一个函数的定义域为R，第二个函数的定义域为{x|x≥0}，所以两个函数的定义域不同．

故选C．

点评：本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的主要依据就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．

4．函数的图象是(     )

    A．    B．    C．    D．

考点：函数的图象． 

专题：数形结合．

分析：本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得．

解答：    解：函数可化为：

当x＞0时，y=1+x；它的图象是一条过点（0，1）的射线；

当x＜0时，y=﹣1+x．它的图象是一条过点（0，﹣1）的射线；

对照选项，

故选D．

点评：本小题主要考查函数、函数的图象、绝对值的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

5．下列命题中，真命题是(     )

    A．∃x∈R，使得sinx+cosx=2    B．∀x∈（0，π），有sinx＞cosx

    C．∃x∈R，使得x2+x=﹣2    D．∀x∈（0，+∞），有ex＞1+x

考点：全称命题；特称命题． 

专题：证明题．

分析：利用辅助角公式，可将sinx+cosx化这正切型函数的形式，进而根据正弦函数的值域，判断A的真假；利用正弦函数和余弦函数的图象和性质，举出反例，可以判断B的真假；根据一元二次方程根的个数判定方法，可以判断C的真假；构造函数f（x）=ex﹣x﹣1，利用导数法，可以函数出函数的在区间（0，+∞）上的单调性，进而判断出D的真假，得到答案．

解答：    解：∵sinx+cosx=sin（x+）∈，2∉，故A“∃x∈R，使得sinx+cosx=2”不正确；

当x=时，sinx＜cosx，故B“∀x∈（0，π），有sinx＞cosx”，不正确；

∵方程x2+x=﹣2无解，故C“∃x∈R，使得x2+x=﹣2”，不正确；

令f（x）=ex﹣x﹣1，则f′（x）=ex﹣1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）=ex﹣x﹣1在区间（0，+∞）上为增函数，

又∵f（0）=ex﹣x﹣1=0，∴D“∀x∈（0，+∞），有ex＞1+x”正确；

故选D

点评：本题考查的知识点是全称命题，特称命题，三角函数的图象和性质，一元二次方程根的个数判定，函数恒成立问题，要判断一个全称命题错误，只要举出一个反例即可，而要想说明一个特称命题为真命题，只要举出一个正例即可．

6．设集合M={a，b，c}，N={0，1}，映射f：M→N满足f（a）+f（b）=f（c），则映射f：M→N的个数为(     )

    A．1    B．2    C．3    D．4

考点：映射． 

专题：函数的性质及应用．

分析：首先求满足f（a）+f（b）=f（c）的映射f，可分为三种情况，当f（a）=f（b）=f（c）=0时，只有一个映射；当f（c）为0，当f（c）为1时，而另两个f（a）、f（b）分别为0（或1），有2个映射．．

解答：    解：因为：f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N，且f（a）+f（b）=f（c），

所以分为2种情况：0+0=0或者 0+1=1

当f（a）=f（b）=f（c）=0时，只有一个映射；

当f（c）为1，而另两个f（a）、f（b）分别为0，1时，有2个映射．

因此所求的映射的个数为1+2=3．

故选C．

点评：本题考查了映射的概念，关键是对映射概念的理解，考查了分步乘法计数原理，是基础题．

7．设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；q：0＜a＜1，则p是q的(     )

    A．必要不充分条件    B．充分不必要条件

    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 

专题：简易逻辑．

分析：分别讨论若a=0，若a≠0时的情况得出则p是q的必要不充分条件．

解答：    解：ax2+2ax+＞0的解集是实数集，

（1）若a=0，则1＞0恒成立；

（2）若a≠0，则，

故0＜a＜1．由（1）（2）得0≤a＜1．

故选：A．

点评：本题考查了命题的充分必要条件，充分理解“p⇒q”，本题属于基础题．

8．已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是(     )

    A．（0，]    B．（0，1）    C．

9．已知函数f（a）=（）x，则函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线y=x对称，则函数g（x2）是(     )

    A．奇函数在（0，+∞）上单调递减    B．偶函数在（0，+∞）上单调递增

    C．奇函数在（﹣∞，0）上单调递减    D．偶函数在（﹣∞，0）上单调递增

考点：反函数；函数的图象与图象变化；奇偶性与单调性的综合． 

专题：函数的性质及应用．

分析：根据两个函数的图象关于直线y=x对称可知这两个函数互为反函数，故只要利用求反函数的方法求出原函数的反函数，然后将x2代入函数的解析式研究函数g（x2）的性质即可．

解答：    解：∵函数y=f（x）的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，

∴函数y=f（x）与函数y=g（x）互为反函数，

又∵函数f（x）=（）x的反函数为：y=logx，

即g（x）=logx，

∴g（x2）=logx2，它是偶函数在（﹣∞，0）上单调递增．

故选D．

点评：本小题主要考查反函数、奇偶性与单调性的综合等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．

10．若θ∈（0，），则函数y=logsinθ（1﹣x）＞2的解集是(     )

    A．x∈（﹣1，sin2θ）    B．x∈（cos2θ，1）    C．x∈（cos2θ，）    D．x∈（﹣1，cos2θ）

考点：对数函数的单调性与特殊点． 

专题：函数的性质及应用．

分析：根据θ∈（0，）判断函数y=logsinθx的单调性，然后把不等式logsinθ（1﹣x）＞2转化为0＜1﹣x＜sin2θ，解出即可．

解答：    解：当θ∈（0，）时，sinθ∈（0，1），函数y=logsinθx递减，

由logsinθ（1﹣x）＞2可得，，解得cos2θ＜x＜1．

即logsinθ（1﹣x）＞2的解集是x∈（cos2θ，1）．

故选B．

点评：本题考查对数函数的单调性，考查对数不等式的求解，考查学生的转化能力．

11．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为(     )

    A．（﹣1，1）    B．（﹣1，+∞）    C．（﹣∞，﹣1）    D．（﹣∞，+∞）

考点：利用导数研究函数的单调性． 

专题：导数的综合应用．

分析：构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．

解答：    解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，

则g′（x）=f′（x）﹣2，

∵对任意x∈R，f′（x）＞2，

∴对任意x∈R，g′（x）＞0，

即函数g（x）单调递增，

∵f（﹣1）=2，

∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，

则∵函数g（x）单调递增，

∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，

即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），

故选：B

点评：本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．

12．已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈时，f（x）=（x﹣1）2，如果g（x）=f（x）﹣log5|x﹣1|，则函数y=g（x）的所有零点之和为(     )

    A．2    B．4    C．6    D．8

考点：函数的周期性． 

专题：压轴题；函数的性质及应用．

分析：先根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及y=log5|x﹣1|的图象，结合图象可得当x＞6时，y=log5|x﹣1|＞1，此时与函数y=f（x）无交点，再根据y=log5|x﹣1|的图象关于直线x=1对称，可判定函数g（x）=f（x）﹣log5|x﹣1|的零点个数及零点之和．

解答：    解：由题意可得g（x）=f（x）﹣log5|x﹣1|，根据周期性画出函数f（x）=（x﹣1）2的图象

以及y=log5|x﹣1|的图象，

根据y=log5|x﹣1|在（1，+∞）上单调递增函数，当x=6 时，log5|x﹣1|=1，

∴当x＞6时，y=log5|x﹣1|＞1，此时与函数y=f（x）无交点．

再根据y=log5|x﹣1|的图象和 f（x）的图象都关于直线x=1对称，结合图象可知有8个交点，

且函数g（x）=f（x）﹣log5|x﹣1|的零点之和为 8，

故选D．

点评：本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数g（x）=f（x）﹣|log5x|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易，属于中档题．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）

13．计算dx=π．

考点：定积分． 

专题：导数的概念及应用．

分析：利用定积分的几何意义即可求出．

解答：    解：令=y≥0，

则（x﹣1）2+y2=1（x≥0，y≥0），

∴dx表示的是圆（x﹣1）2+y2=1（x≥0，y≥0）的面积的，

∴dx=π，

故答案为：π

点评：本题主要考查积分的几何意义，熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．

14．函数y=log0.5（x2﹣2x）的单调递减区间是（2，+∞）．

考点：对数函数的图像与性质；复合函数的单调性． 

专题：函数的性质及应用．

分析：求出原函数的定义域，分析内函数t=x2﹣2x的单调性，由于外层函数y=log0.5t 为减函数，则内层函数的增区间即为复合函数的减区间．

解答：    解：令t=x2﹣2x，由x2﹣2x＞0，得x＜0或x＞2．

∴函数f（x）=log0.5（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），

当x∈（2，+∞）时，内层函数t=x2﹣2x为增函数，而外层函数y=log0.5t 为减函数，

∴函数f（x）=log0.5（x2﹣2x）的单调递减区间是（2，+∞）．

故答案为：（2，+∞）．

点评：本题考查了对数函数的单调区间，训练了复合函数的单调区间的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”的原则，是中档题．

15．若f（θ）=+（θ≠，k∈Z），则f（θ）的最小值为．

考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值． 

专题：三角函数的求值．

分析：首先利用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1对f（θ）进行恒等变换，然后使用均值不等式求的结果．

解答：    解：

∵sin2θ+cos2θ=1

∴f（θ）==+=3+（+）

∵θ≠，k∈Z

∴+≥2

∴f（θ）≥

故答案为：

点评：本题考查的知识点：三角函数式的恒等变换及均值不等式．

16．已知a∈R+，函数f（x）=ax2+2ax+1，若f（m）＜0，比较大小：f（m+2）＞1．（用“＜”或“=”或“＞”连接）．

考点：一元二次不等式与二次函数． 

分析：先求出对称轴x=﹣1，再由f（0）=1＞0，a＞0可知当f（x）＜0时一定有﹣2＜x＜0，确定m的范围进而得到答案．

解答：    解：∵f（x）以x=﹣1为对称轴     又f（0）=1＞0，f（x）开口向上，f（m）＜0∴一定有﹣2＜m＜0

因此0＜m+2＜2

又因为f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增

所以f（m+2）＞f（0）=1

故答案为：＞．

点评：本题主要考查一元二次函数的性质﹣﹣对称轴、开口方向的问题．一元二次函数是2015届高考必考内容，一定要熟练掌握其性质．

三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．

（1）若A∩B=，求实数m的值；

（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

考点：交、并、补集的混合运算． 

分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=，求出实数m的值；

（2）由（1）解出的集合A，B，因为A⊆CRB，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．

解答：    解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，

B={x|m﹣2≤x≤m+2}．

（1）∵A∩B=

∴

∴，

∴m=2；

（2）CRB={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}

∵A⊆CRB，

∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，

∴m＞5，或m＜﹣3．

点评：此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是2015届高考中的常考内容，要认真掌握．

18．设a∈R，且a≠2，函数f（x）=lg是奇函数．

（1）求函数f（x）的定义域； 

（2）讨论函数f（x）的单调性．

考点：复合函数的单调性；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质． 

专题：函数的性质及应用．

分析：（1）根据函数奇偶性的定义建立条件关系求出a，然后根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域； 

（2）利用复合函数单调性之间的关系即可判断函数f（x）的单调性．

解答：    解：（1）∵函数f（x）=lg是奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x）…

即lg=﹣lg，得lg=lg，所以a=﹣2…

所以f（x）=lg，得＞0，解得＜x＜，

即函数f（x）的定义域为（，）…

（2）令，则…

则u'（x）＜0在（，）上恒成立，所以u（x）在（，）上为单调减函数，

又y=lgu在（0，+∞）上为增函数…

所以f（x）=lg在（，）为单调减函数．…

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．

19．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨，（0≤t≤24）

（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？

（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．

考点：函数模型的选择与应用． 

专题：计算题；应用题．

分析：（1）根据题意先设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨．写出蓄水池中的存水量的函数表达式，再利用换元法求此函数的最小值即得；

（2）先由题意得：y≤80时，就会出现供水紧张．由此建立关于x的不等关系，最后解此不等式即得一天中会有多少小时出现这种供水紧张的现象．

解答：    解：（1）设t小时后蓄水池中的水量为y吨，

则； 

令=x；则x2=6t，即y=400+10x2﹣120x=10（x﹣6）2+40；

∴当x=6，即t=6时，ymin=40，

即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．

（2）依题意400+10x2﹣120x＜80，得x2﹣12x+32＜0

解得，4＜x＜8，即，；

即由，所以每天约有8小时供水紧张．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于基础题．

20．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）

（1）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点． 

专题：导数的综合应用．

分析：（1）利用导数的几何意义求切线方程．（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，利用f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

解答：    解：（1）a=2，f（x）=x2﹣2lnx，f'（x）=x﹣，f'（1）=﹣1，f（1）=，

f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+2y﹣3=0．

（2）由，

由a＞0及定义域为（0，+∞），令f'（x）=0得x=，

①若，即0＜a≤1在（1，e）上，f'（x）＞0，f（x）在（1，e）上单调递增，

因此，f（x）在区间的最小值为f（1）=．

②若1，即1＜a＜e2在（1，）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间上的最小值为．

③若，即a≥e2在（1，e）上，f'（x）＜0，f（x）在上单调递减，

因此f（x）在区间上的最小值为．

综上，当0＜a≤1时，；当1＜a＜e2时，；

当a≥e2时，，

可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．

当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则

∴，即，此时，e．

所以，a的取值范围为（e，）．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力．综合性较强．

21．已知f（x）=（x∈R）在区间上是增函数．

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

考点：函数的单调性与导数的关系． 

专题：压轴题．

分析：（Ⅰ）函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之

（Ⅱ）根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于a的不等式恒成立再看成关于t的一次不等式恒成立，让两端点大等于零

解答：    解：（Ⅰ）f'（x）==，

∵f（x）在上是增函数，

∴f'（x）≥0对x∈恒成立，

即x2﹣ax﹣2≤0对x∈恒成立．①

设φ（x）=x2﹣ax﹣2，

方法一：φ

①⇔⇔﹣1≤a≤1，

∵对x∈，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（﹣1）=0以及当a=﹣1时，f'（1）=0

∴A={a|﹣1≤a≤1}．方法二：

①⇔或

⇔0≤a≤1或﹣1≤a≤0

⇔﹣1≤a≤1．

∵对x∈，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（﹣1）=0以及当a=﹣1时，f'（1）=0

∴A={a|﹣1≤a≤1}．

（Ⅱ）由，得x2﹣ax﹣2=0，∵△=a2+8＞0

∴x1，x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=﹣2，

从而|x1﹣x2|==．

∵﹣1≤a≤1，∴|x1﹣x2|=≤3．

要使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈恒成立，

当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈恒成立，

即m2+tm﹣2≥0对任意t∈恒成立．②

设g（t）=m2+tm﹣2=mt+（m2﹣2），

方法一：

②⇔g（﹣1）=m2﹣m﹣2≥0，g（1）=m2+m﹣2≥0，

⇔m≥2或m≤﹣2．

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤﹣2}．

方法二：

当m=0时，②显然不成立；

当m≠0时，

②⇔m＞0，g（﹣1）=m2﹣m﹣2≥0或m＜0，g（1）=m2+m﹣2≥0

⇔m≥2或m≤﹣2．

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤﹣2}．

点评：本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

22．已知函数f（x）=|x﹣a|．

（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题． 

专题：综合题；压轴题；转化思想．

分析：（1）不等式f（x）≤3就是|x﹣a|≤3，求出它的解集，与{x|﹣1≤x≤5}相同，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求实数m的取值范围．

解答：    解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，

解得a﹣3≤x≤a+3．

又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，

所以解得a=2．

（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．

设g（x）=f（x）+f（x+5），

于是

所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；

当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；

当x＞2时，g（x）＞5．

综上可得，g（x）的最小值为5．

从而，若f（x）+f（x+5）≥m

即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．

点评：本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查转化思想，是中档题，