分式方程、无理方程及应用题解析训练

【例题精选】

    例1：解方程1、        2、

    分析：第一个方程是分式方程，要先化为整式方程去解，因此可以用去分母的一般解法去解，特别注意，方程两边各项都要乘以公分母．第二个方程是个无理方程，也要变为有理方程去解，可以将含根号的式子留在一边，其它移到另一边，用两边平方的方法去掉根号．

    解：1、    两边同乘以(x+ 1)(x－1)

    解得：            

    解：2、    变形为 

    两边平方 

    解得  

    经检验：x = 1是增根，原方程解为x = 0．

    说明：分式方程与无理方程的解法中，验根是必不可少的步骤之一，验根不是写一下的形式，而要实实在在的带入去检验，如方程（2）中，当x = 1时，右边为－2，而左边是算术根，应大于等于零，因此是增根，检验分式方程时，只有分母不为零就可以了．

    例2：用换元法解方程： 

    分析：若用两边平方去根号有两个根号很烦，题目又指定了用换元法，因此要考虑如何换元，将根式内化简，．而另一根号为，是互为倒数关系，因此可以找出如何换元的方法了．

    解：    原方程变形为

    设    原方程变形为 

    经检验x = 3是原方程的根．

    说明：特别注意求出y值后没有求完，而要再求x值．

    例3：用换元法解方程： 

    分析：用换元法解无理方程时，一般设根号内整体为一个新的未知数，这样可变为有理方程，再去解．

    解：原方程中设

    　　原方程变形为

    经检验，是原方程的解．

    例4：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，在距A地7千米的地方相遇，相遇后各自以原来的速度按原方向继续前进，甲到B地，乙到A地后，立即返回，两人又在距B地4千米的地方相遇，求A、B两地间距离．

    分析：这个题目中已知数据比较少，可以用图示法先表示出数量间关系，由两次相遇可得出它们每次同时出发到相遇，所用时间相同，因此可以用时间相同列等量关系，而题中又没表示出速度，可以设速度为一个中间变量，列方程就简单多了，因此引进辅助未知数也是常用的方法之一，它可以使数量间关系变得更为简明．

    解：设A、B两地距离为x千米，甲速为a千米/小时，乙速为b千米/小时．    

由题意

    整理为

    经检验x = 0不合题意舍去，x = 17是原方程的解．

    答：A、B两地间距离为17米．

    例5：一容器装满纯药液20升，第一次倒出若干升后用水加满，第二次又倒出同样多液体，又用水加满，此时，桶内药液浓度为25%，求每次倒出多少药液？

    分析：可设每次倒出药液为x升，将两次的倒出药液剩药及浓度进行分析，如第一次倒出药x升，剩药20－x，浓度为，第二次倒出药，剩药，此时浓度为，这样就找到了等量关系．

解：由题意

    经检验x1 = 30不合题意舍去，∴ x = 10是原方程的解．

    答：每次倒出药液为10升．

    说明：分析两次倒药液情况，可以列出表格来，将所列各项填入，这样使等量关系更加清楚了．

    例6：小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可以得到本金加利息共6元，求这种存款的年利率．

    分析：近些年来，由于商品经济的发展，不少联系实际的应用题，其中存款利率就是其中的一种，利率与本金利息之间存在一定的固定关系，本金×利率 = 利息，要按照题意，找到相应的等量关系．

    解：设这种存款的年利率为x，

由题意

    答：这种存款的年利率为10%．

    说明：联系生产实际的问题还有很多类型，比如出售商品，若按九折出售，即按原价的90%出售，只有将这些名词的含义弄清楚了，才会正确解决这类问题．

    例7：甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来我走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米．

    分析：这是北京市1996年考试题，考查学生分析问题、解决问题的能力问题，甲、乙两人从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行到相遇，隐含了刚好在A、B中点相遇的条件．即在10千米地方相遇，题中甲到B地后乙还需30分钟才能到A就是等量关系，这样就可以列出方程了．

    解：设乙每小时走x千米，则甲每小时走(x + 1)千米．

    由题意

    解得： 

    经检验都是原来分式方程的解，但x =－5不合题意舍去．

    ∴ x = 4是原方程的解．

    答：乙每小时走4千米．

【综合练习】

一、选择题：

1．下列方程中有解的是（       ）．

    A．    B．    C．    D． 

 2．的解的情况为（       ）．

    A．无解    　B．x = －3或x = 2    　　　C．x = 3        D．x = －2

 3．用换元法解方程，若设，则原方程可化为（       ）．

    A．    B．    C．    D． 

 4．方程根的个数是（       ）．

    A．0            B．1                C．2            D．4

 5．无理方程的解为（       ）．

    A．无实根        　B．x1 = －1, x2 = 3　　    C．+3　　    D．－1

二、解答题：

1．解分式方程．

2．求当产生增根时，m的值．

3．解方程．

4．用换元法解分式方程．

5．解方程．

6．解方程．

7．用换元法解方程．

8．要完成一件工程，甲独作比甲、乙、丙三人合干多用5天，乙独作比三个合干多用15到，丙独作所需时间是三人合干所需时间的4倍，求三人单干各需多少时间完成．

9．甲、乙两人分别从相距36千米的A、B两地同时出发，相向是行，甲行至1千米时，发现有东西遗忘在A地，立即返回，取物后又立即从A向B前进，结果两人恰在AB中点处相遇，已知甲比乙每小时多走0.5千米，求两人速度各多少？

10．甲步行上午6时从A出发于下午5时到达B地，乙骑自行车上午10时从A地出发，于下午3时到达B地，问乙在什么时间追上甲的？

11．某工程队按计划挖土方200立方米，如果每天超额完成5立方米，则工程提前2天完成，求原计划的天数及每天超额的百分数． 

 【答案及提示】

一、选择题：    1．C        2．D        3．C        4．C        5．C

二、解答题

    1．x = 2  提示，用去分母的方法解分式方程．

    2．m = 8  分式方程产生增根，原因在于方程两边乘了数值为0的代数式，去分母后        ，将x = 4代入后，得m = 8，因此当方程产生增根时，m = 8．

    3．解：原方程变形为

        两边同乘        

                                x1 = 1,  x2 = 2

        经检验x = 2是增根，x = 1是原方程的根．

4．提示：设

5．提示：可先将根号中的一个移到另一边，两边平方后再平方一次，即可化为有理方程，    解得是增根，舍去，所以x = 5 是原方程的根．

6．提示：将分母的因式进行分解，找到最简公分母后，再用去分母的方法去解，解得x = 2是增根，x = 3是原方程的根．

7．提示：设，解得x = 6是原方程的解．中不右偿4747

8．设三人合干x天完成，则甲独作(x + 5)天，乙独作(x + 15)天，丙独作4x天完成．

    由题意

    解得x = 5，∴ 甲独作10天，乙独作20天，丙独作20天．

9．甲速5千米/小时，乙速4.5千米/小时．

10．提示：甲从上午6点到下午5时，走了11小时，乙从上午10点到下午3点，走了5    小时，设乙x小时追上甲，甲走了(x + 4)小时，设距离为a，则，解    得小时追上，即，即乙在下午1点20分追上．

11．提示：设原计划x天，每天完成，由题意，解得x = 10，每天超额的百分数为25%．