(完整word版)《椭圆》单元测试题

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。 已知曲线C 的方程为+=1，则“a＞b”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ C ）

A ．充分必要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

2. 椭圆=1的离心率为，则k 的值为（ C ）

A ．﹣21

B ．21

C ．﹣

或21 D ．

或21

3。 椭圆13

122

2=+y x 的一个焦点为1F ,点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 （ C ） A 。 4

3

± B 。 22± C 。 23± D 。 43±

4。 设椭圆短轴的一点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆长轴端点的最短距离为，则焦点在y

轴上的椭圆方程是（D )

A ．

+

=1 B ．

+

或

+

=1 C ．

+

=1 D ．

+

=1

5。 如图，边长为a 的正方形组成的网格中,设椭圆C 1、C 2、C 3的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则（ D ）

A ．e 1=e 2＜e 3

B ．e 2=e 3＜e 1

C ．e 1=e 2＞e 3

D ．e 2=e 3＞e 1

6. 已知椭圆x 2

+y 2

=a 2

(a ＞0)与A （2，1），B(4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ B ) A ． B ．

或

C ．

或

D ．

7. 已知点F 1、F 2分别是椭圆

的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、

B 两点，若△ABF 2是锐角三角形,则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ B ） A ．（0，

﹣1) B ．(

﹣1，1）

C ．(0，

﹣1）

D ．（

﹣l ，1)

8. 已知点P 是椭圆+y 2

=1上任一点，F 为椭圆的右焦点,Q （3，0），且｜PQ|=｜PF|，则满足条件的点 P

的个数为（ C )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

9。 已知P 为椭圆

上的点，点M 为圆

上的动点，点N 为圆C 2：(x ﹣3）2+y 2

=1

上的动点，则|PM ｜+｜PN|的最大值为（B ）

A ．8

B ．12

C ．16

D ．20

10. 设椭圆错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0)的离心率为e ＝错误!,右焦点为F (c ，0），方程ax 2

＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P （x 1，x 2）( A )

A ．必在圆x 2＋y 2＝2内

B ．必在圆x 2＋y 2

＝2上

C ．必在圆x 2＋y 2

＝2外 D ．以上三种情形都有可能 11．如图，焦点在x 轴上的椭圆

+

=1(a ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上位于第一象限内

的一点，且直线F 2P 与y 轴的正半轴交于A 点,△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，

若｜F 1Q ｜=4，则该椭圆的离心率为（ D ）

A ．

B ．

C ．

D ．

12．椭圆C ：

+

=1的左,右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上，且直线PA 2斜率的取值范围是［﹣2，﹣

1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ A ） A ．［,] B ．[，］

C ．[，1］

D ．［，1］

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.

13．直线2-=kx y 与椭圆80422=+y x 相交于不同的两点P 、Q ，若PQ 的中

点横坐标为2，则直线的斜率等于 2

1

。[来源：学科网]

14．椭圆

上有一点P,F 1，F 2是椭圆的左、右焦点,△F 1PF 2为直角三角形,则这样的点P 有 6 个

15。 设点P 在椭圆x 2

+=1上，点Q 在直线y=x+4上，若｜PQ ｜的最小值为

，则m= ．

16。 设F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P 是该椭圆上一个动点,则

的取值范围是[﹣

2，1]

三、解答题:本大题共6小题，满分70分。 17. （本题满分10分)

椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的长轴长是短轴长的两倍,且过点(2,1)A

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线:10l x y --=与椭圆C 交于不同的两点,M N ，求MN 的值。

x.k 。

解：（1）由条件2a b =，所以2222:14x y C b b +=，代入点(2,1)可得2b =，椭圆C 的标准方程为22

182

x y +

=; (2)联立椭圆和直线方程可得直线25840x x --=,所以

121284

,55x x x x +==-

由相交弦长公式可得21212122

2()45

MN x x x x =+-=

18。 （本题满分12分）已知椭圆C ：

+=1(a ＞b ＞0）的离心率为

，长轴长为等于圆R ：x 2

+（y ﹣2）

2

=4的直径，过点P （0,1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，与圆R 交于两点M ，N

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

(Ⅱ）求证：直线RA,RB 的斜率之和等于零；

解：(Ⅰ）因为椭圆C 长轴长等于圆R:x 2

+(y ﹣2）2

=4的直径， 所以2a=4，a=2； 由离心率为

，得e 2=

==，

所以==，得b 2

=2；所以椭圆C 的方程为

+=1；

（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+1，与+=1联立，

消去y ，得(1+2k 2

）x 2

+4kx ﹣2=0；设A(x 1，y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=﹣

，x 1x 2=﹣

，由R （0，2),得

k RA +k RB =+=+=2k ﹣（+）

=2k ﹣=2k ﹣=0

x.k.Cm]

19. （本题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点，过

点P （2,1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ)求椭圆C 的方程； （Ⅱ)是否存直线l ，满足

？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

解得a2=4，b2=3,故椭圆C的方程为．

（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1,

由得(3+4k2)x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣8=0．

因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1,y1），（x2,y2),

所以△=[﹣8k（2k﹣1）]2﹣4•（3+4k2)•（16k2﹣16k﹣8)＞0．

整理得32（6k+3）＞0．解得．

又，

且,即，

所以．即．

所以，解得．

所以．于是存在直线l满足条件，其的方程为．

20. （本题满分12分）如图所示，已知圆O:x2＋y2＝1,直线l：y＝kx＋b（b>0)是圆的一条切线,且l与椭圆错误!＋y2＝1交于不同的两点A,B。

(1)若△AOB的面积等于错误!，求直线l的方程;

（2)设△AOB的面积为S,且满足错误!≤S≤错误!错误!,求O错误!·O错误!的取值范围。

解析: (1）由题意可知：错误!＝1，∴b＝错误!.

又错误!消y得(1＋2k2）x2＋4kbx＋2b2－2＝0，

设A(x1,y1），B（x2，y2），∴x1＋x2＝错误!，x1·x2＝错误!，

∴｜AB|＝错误!·错误!＝错误!·错误!，

而O到直线AB的距离为1，则有1

2

×错误!·错误!×1＝错误!，解得k＝±1，所求直线l的方程为x－y＋错误!＝0或x＋y－错误!＝0。

(2）由题意可知错误!≤错误!×错误!·错误!×1≤错误!错误!，

解得错误!≤k2≤3。由（1)得O错误!·O错误!＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b)(kx2＋b）

＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝错误!＝错误!，∴错误!≤O错误!·O错误!≤错误!.21。(本题满分12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16

上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ)若点P为椭圆C上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得=3？若存在，求出点P的坐标;若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ)∵椭圆C的左顶点A在圆O：x2+y2=16上．令y=0，得x=±4，∴a=4．

又离心率e==，b2=a2﹣c2．联立解得c=2，b=2．

∴椭圆C的方程为=1．

（Ⅱ）设点P(x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为y=k（x+4），

与椭圆方程联立化简得到（1+4k2)x2+32k2x+k2﹣16=0．

∵﹣4为上面方程的一个根，∴﹣4×x1=,解得x1=．

∴｜AP｜=｜x1﹣（﹣4)|=．

又圆心到直线AP的距离为d=，∴｜AQ｜=2=．

∵==﹣1=﹣1=﹣1=3,

此方程无解，∴不存在直线AP，使得=3．

22。（本题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,离心率为,点M在椭圆上，

且满足MF2⊥x轴,．

（Ⅰ）求椭圆的方程;

(Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值．解：（I)由已知得,又由a2=b2+c2，可得a2=3c2,b2=2c2,

得椭圆方程为，因为点M在第一象限且MF2⊥x轴，

可得M的坐标为,由，解得c=1，

所以椭圆方程为;

（II)设A(x1，y1)，B(x2,y2）,

将y=kx+2代入椭圆，可得（3k2+2）x2+12kx+6=0，

由△＞0，即144k2﹣24（3k2+2)＞0，可得3k2﹣2＞0，

则有所以,

因为直线y=kx+2与轴交点的坐标为（0,2)，

所以△OAB的面积,令3k2﹣2=t，由①知t∈（0，+∞）,

可得，

所以t=4时,面积最大为．