九年级圆的基础知识点经典例题与课后习题

【知识梳理】

     1.圆的有关概念和性质

     (1) 圆的有关概念

      ①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．

②弧：圆上任意两点间的部份叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．

③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，通过圆心的弦叫做直径．

（2）圆的有关性质

      ①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的弧．

  推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且平分弦所对的弧．

说明：按照垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来讲，若是具有：

    ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

③弧、半圆、优弧、劣弧：

弧：圆上任意两点间的部份叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)

④弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，若是两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都别离相等．

  推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够彼此重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：极点在圆心的角叫做圆心角.

⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.

（3）对圆的概念的理解：

①圆是一条封锁曲线，不是圆面；

②圆由两个条件唯一肯定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）

     2.与圆有关的角

     （1）圆心角：极点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

     （2）圆周角：极点在圆上，两边别离和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．

     （3）圆心角与圆周角的关系：

          同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

     （4）圆内接四边形：极点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

          圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．

3. 点与圆的位置关系及其数量特征：

    若是圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则

    ①点在圆上 <===> d=r;

②点在圆内 <===> d③点在圆外 <===> d>r.

其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方式就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

4. 肯定圆的条件:

1. 理解肯定一个圆必需的具有两个条件:

     圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

     通过一点可以作无数个圆,通过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.

2. 通过三点作圆要分两种情况:

(1) 通过同一直线上的三点不能作圆.

(2)通过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.

定理: 不在同一直线上的三个点肯定一个圆.

3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:

    (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 通过一个三角形三个极点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.

(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.

(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三极点的距离相等.

5. 直线与圆的位置关系

1. 直线和圆相交、相切相离的概念:

(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.

(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.

(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.

2. 直线与圆的位置关系的数量特征:

  设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；

①d 直线L和⊙O相交.

②d=r <===> 直线L和⊙O相切.

③d>r <===> 直线L和⊙O相离.

3. 切线的总判定定理: 

通过半径的外端而且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.

4. 切线的性质定理:

     圆的切线垂直于过切点的半径.

推论1 通过圆心且垂直于切线的直线必通过切点.

推论2 通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心.

分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:

若是一条直线具有下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.

①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.

5. 三角形的内切圆、心里、圆的外切三角形的概念.

     和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的心里, 这个三角形叫做圆的外切三角形.

6. 三角形心里的性质: 

(1)三角形的心里到三边的距离相等.

(2)过三角形极点和心里的射线平分三角形的内角.

由此性质引出一条重要的辅助线: 连接心里和三角形的极点,该线平分三角形的这个内角.

6. 圆和圆的位置关系.

1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的概念.

(1)外离: 两个圆没有公共点,而且每一个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.

(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,而且除这个公共点之外,每一个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.

(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.

(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,而且除这个公共点之外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.

(5)内含: 两个圆没有公共点, 而且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.

2. 两圆位置关系的性质与判定:

(1)两圆外离 <===> d>R+r

(2)两圆外切 <===> d=R+r

(3)两圆相交 <===> R-r(4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r)

(5)两圆内含 <===> dr)

3. 相切两圆的性质:

                   若是两个圆相切,那么切点必然在连心线上.

4. 相交两圆的性质:

相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

7. 圆内接四边形

若四边形的四个极点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.

圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补; 

②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.

8. 弧长及扇形的面积

1. 圆周长公式:

               圆周长C=2R (R表示圆的半径)

2. 弧长公式: 

弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)

3. 扇形概念:

一条弧和通过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.

4. 弓形概念:

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 

弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.

5. 圆的面积公式.

圆的面积 (R表示圆的半径)

6. 扇形的面积公式:

扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)

弓形的面积公式:(如图5)

图5

(1)当弓形所含的弧是劣弧时, 

(2)当弓形所含的弧是优弧时, 

(3)当弓形所含的弧是半圆时, 

例题解析

【例题1】如图1，⊙是的外接圆，是直径，若，则等于（  ）

                    A．60º       B．50º      C．40º      D．30º

           图1                         图2                       图3

【例题2】如图2，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为

10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为          cm．

【例题3】如图3，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．

【例题4】如图4已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70o，∠c=50o，那么sin∠AEB的值为（）

      A.        B.         C.         D. 

           图4

P

B

C

E

A

（图8）

【例题5】如图5，半圆的直径，点C在半圆上，．

（1）求弦的长；

（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长．

三、课堂练习

 一、如图6，在⊙O中，∠ABC=40°，则∠AOC＝        度．

C

A

B

S1

S2

B

C

A

O

              图6                   图7                          图8

二、如图7，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO = 32°，则∠COB的度数等于        ．

3、已知⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30º，则BC=______cm.

4、如图8，已知在中，，，别离以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于        ．

五、如图9，⊙O的半径OA＝10cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为___________cm。

图9

六、如图10，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=，

（1）求∠BAC的度数； （2）求⊙O的周长

7、已知：如图11，⊙O的直径AB与弦CD相交于Ｅ，弧BC＝弧BD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．

(1)求证:CD∥BF．

(2)连结BC,若⊙O的半径为4,cos∠BCD=,求线段AD、CD的长．

  八、如图12，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，

交AB的延长线于E，垂足为F．

(1)求证：直线DE是⊙O的切线；

(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值．

                                                                       图12

四、经典考题解析

  1.如图13，在⊙O中，已知∠A CB＝∠CDB＝60○ ，AC＝3，则△ABC的周长是____________.

            图13                     图14                  图15

2.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图14，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（   ）

   A．12．5寸  B．13寸   C．25寸  D．26寸

3.如图15，已知AB是半圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，那么等于（  ）

   A．sin∠BPD  B．cos∠BPD    C．tan∠BPD    D．cot∠BPD

4.⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，

求 AB与CD之间的距离．

5.如图16，在⊙M中，弧AB所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm，并成立如图所示的直角坐标系，点C是y轴与弧AB的交点。

（1）求圆心M的坐标；

（2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积

                                                                图16 

五、课后训练

  1.如图17，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30○ ，则 ⊙O的直径等于_________cm．

       图17                      图18                 图19

2.如图18，C是⊙O上一点，O是圆心．若∠C=35°，则∠AOB的度数为（  ）

  A．35○          B．70○     C．105○         D．150○

3.如图19，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和∠1相等的角有______     

4.在半径为1的圆中，弦AB、AC别离是和，则 ∠BAC的度数为多少？

5.如图20，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上，则∠C的度数是_______. 

图20                图21         图22                                                                          

6.如图21，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（  ）

   A．50°    B．80°    C．100°   D．130°

7.如图22，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，若是∠BOD=120°，那么∠BCE等于（  ）

  A．30°     B．60°   C．90°     D．120°

8.如图，⊙O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，AH=2．

   （1）求DE的长；

   （2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，

若PC=22，求PD的长．

九年级数学圆练习题

一、填空题：（21分）

1、如图，在⊙O中，弦AB∥OC，，则=_________

二、如图，在⊙O中，AB是直径，，则=__________

3、如图，点O是的外心，已知，则=___________

B

C

O

A

（1题图）           （2题图）          （3题图）            （4题图）

4、如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧BD，，则        ．

（5题图）         （6题图）         （7题图）                             

五、如图，⊙O的直径为8，弦CD垂直平分半径OA，则弦CD＝         ．

六、已知⊙O的半径为2cm，弦AB＝2cm，P点为弦AB上一动点，则线段OP的范围是                ．

7、如图，在⊙O中，∠B=50º，∠C=20º，则∠BOC的=____________

二、解答题（70分）

BD

一、如图，AB是⊙O的直径.若OD∥AC，与   的大小有什么关系？为何？

二、已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD.求证：⑴弧AC=弧BD；⑵∠AOC=∠BOD

3、如图，已知：⊙O中，AB、CB为弦，OC交AB于D，求证：（1）∠ODB>∠OBD，（2）∠ODB>∠OBC；

4、已知如图，AB、AC为弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，MN是△ABC的中位线吗？

五、已知如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE，求证：∠D=∠B

六、已知如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，CE平分∠DCO，交⊙O于E，

求证：弧AE=弧EB

7、如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.

(1)当r取什么值时，点A、B在⊙C外.

(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.

(2)当r在什么范围时，⊙C与线段AB相切。

三、计算下列各题：（40分） 

一、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，OD =，求BC的长；

A

B

C

D

E

二、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC别离交于点D、E，求AB、AD的长．

3、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，求CD的长。

4、如图，在直径为100 mm的半圆铁片上切去一块高为20 mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长.                                        

五、如图所示，已知矩形ABCD的边。

（1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？

（2）若以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？

四、作图题：（9分）

如图是一块圆形砂轮破碎后的部份残片,试找出它的圆心, 并将它还原成一个圆．要求：１、尺规作图；２、保留作图痕迹．（可不写作法．）

A

C

D

B

五、探讨拓展与应用（10分）

一、在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示：

∵∠AOC是△ABO的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

又∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA  

∴∠AOC=2∠ABO

即∠ABC=∠AOC

若是∠ABC的两边都不通过圆心，如图(2)、（3），那么上述结论是不是成立？请你说明理由。