大兴区一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(1)

一、选择题

1． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）

A ．p 真q 真

B ．p 假q 真

C ．p 真q 假

D ．p 假q 假　

2． 执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝10，则输出的i ＝（

）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

3． 已知x ，y 满足，且目标函数z=2x+y 的最小值为1，则实数a 的值是（ ）

A ．1

B ．

C ．

D ．

4． 若，则不等式成立的概率为（ ）

[]0,1b ∈22

1a b +≤A ．

B ．

C ．

D ．

16

π

12

π

8

π

4

π

5． 若数列{a n }的通项公式a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），{a n }的最大项为第p 项，最小项为第q 项，则q ﹣p 等于（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（

）

A ．7

B ．15

C ．31

D ．63

7． 已知直线mx ﹣y+1=0交抛物线y=x 2于A 、B 两点，则△AOB （ ）

A ．为直角三角形

B ．为锐角三角形

C ．为钝角三角形

D ．前三种形状都有可能

8． 将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函

数图象的一条对称轴方程是（ ）A ．x=πB ．

C ．

D ．

9． 在中，那么一定是（ ）

ABC ∆22tan sin tan sin A B B A =A A ABC ∆A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

10．设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数

()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数

()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+

+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（ ）A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016

1111]

11．已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是

（ ）A ．6

B ．0

C ．2

D ．2

12．cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（

）

A B ．

1

2 C ．1

2

-

D ．13．已知数列｛｝满足（）.若数列｛｝的最大项和最小项分别为n a n

n n a 2

728-+=*

∈N n n a M 和，则（ ）

m =+m M A ．

B ．

C ．

D ．

2112273225932

43514．设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）

A ．-2或-1

B ．1或2

C.1±或2

D ．2±或-1

15．有下列四个命题：

①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为（ ）A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．③④

二、填空题

16．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是　　　

．　

17．在△ABC 中，已知

=2，b=2a ，那么cosB 的值是　　　　　　．

18．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．①若AC=BD ，则四边形EFGH 是　　　　　　；②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是　　　　　　．　

19．设全集

______.

三、解答题

20．已知函数，．3

2

2

()1f x x ax a x =+--0a >（1）当时，求函数的单调区间；

2a =()f x （2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．

()0f x ≤[1,)+∞

21．已知函数f（x）=．

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；

（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．

22．由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．

（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？

（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？

（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？

（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．

23．已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0

（1）求实数m的值．

（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间

（3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．

24．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形是一个观光区的平面示意图，其中为

，半AOB AOB ∠23

π

径为，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口到出口的观光道路，道路由圆弧

OA 1km A B 、线段及线段组成．其中在线段上，且，设．

AC CD BD D OB //CD AO AOC θ∠=（1）用表示的长度，并写出的取值范围；θCD θ（2）当为何值时，观光道路最长？

θ

25．（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，过点作垂直

1C 14

82

2=+y x 21F F 、1F 于轴的直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.

2l P 2PF 2l M （1）求点的轨迹的方程；

M 2C （2）过点作两条互相垂直的直线，且分别交椭圆于，求四边形面积2F BD AC 、D C B A 、、、ABCD 的最小值.

大兴区一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）

一、选择题

1．【答案】B

【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，

若“非p”为真，则p为假，

∴p假q真，

故选：B．

【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．

2．【答案】

【解析】解析：选B.程序运行次序为

第一次t＝5，i＝2；

第二次t＝16，i＝3；

第三次t＝8，i＝4；

第四次t＝4，i＝5，故输出的i＝5.

3．【答案】B

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知A（a，a），

化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，

由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解得：a=．

故选：B．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．【答案】D

【解析】

考点：几何概型．

5．【答案】A

【解析】解：设=t∈（0，1]，a n=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*），

∴a n=5t2﹣4t=﹣，

∴a n∈，

当且仅当n=1时，t=1，此时a n取得最大值；同理n=2时，a n取得最小值．

∴q﹣p=2﹣1=1，

故选：A．

【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．【答案】D

【解析】解：模拟执行算法框图，可得

A=1，B=1

满足条件A≤5，B=3，A=2

满足条件A≤5，B=7，A=3

满足条件A≤5，B=15，A=4

满足条件A≤5，B=31，A=5

满足条件A≤5，B=63，A=6

不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63．

故选：D．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．

7． 【答案】A

【解析】解：设A （x 1，x 12），B （x 2，x 22），将直线与抛物线方程联立得，

消去y 得：x 2﹣mx ﹣1=0，根据韦达定理得：x 1x 2=﹣1，由=（x 1，x 12），

=（x 2，x 22），

得到=x 1x 2+（x 1x 2）2=﹣1+1=0，

则

⊥

，

∴△AOB 为直角三角形．故选A

【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．　

8． 【答案】B

【解析】解：将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cos x ，再向右平移个单位得到y=cos[（x ）]，

由（x ）=k π，得x =2k π，

即

+2k π，k ∈Z ，

当k=0时，

，

即函数的一条对称轴为，

故选：B

【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．　

9． 【答案】D 【解析】

试题分析：在中，化简得

，解得ABC ∆2

2

tan sin tan sin A B B A =A A 22sin sin sin sin cos cos A B

B A A B

=A

，即，所以或，即sin sin sin cos sin cos cos cos B A

A A

B B A B

=⇒=sin 2sin 2A B =22A B =22A B π=-A B =或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．

2

A B π

+=

考点：三角形形状的判定．

【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出，从而得到或是试

sin 2sin 2A B =A B =2

A B π

+=题的一个难点，属于中档试题．10．【答案】D 【解析】

1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛

⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫=

++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

，故选D. 1()1

2201620162

=⨯⨯=考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.

【方法点睛】本题通过 “三次函数()()3

2

0f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()

(

)00,x f x ”这一探索

性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出的对称中心后再利用对称()3115

33212

f x x x x =-+-性和的.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

11．【答案】A 解析：解：由

作出可行域如图，

由图可得A （a ，﹣a ），B （a ，a ），由

，得a=2．

∴A （2，﹣2），

化目标函数z=2x ﹣y 为y=2x ﹣z ，

∴当y=2x ﹣z 过A 点时，z 最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A ．12．【答案】D 【解析】

试题分析：原式()()cos80cos130sin80sin130cos 80130cos 210cos 30180cos30=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒

=．考点：余弦的两角和公式.13．【答案】D 【解析】

试题分析：数列， n n n a 2728-+=112528++-+=∴n n n a 112527

22n n

n n

n n a a ++--∴-=-，当时，,即；当时,,()11

2522729

22

n n n n n ++----+==41≤≤n n n a a >+112345a a a a a >>>>5≥n n n a a <+1即.因此数列先增后减,为最大项，,最

...765>>>a a a {}n a 32259,55==∴a n 8,→∞→n a n 2

11

1=a ∴小项为，的值为．故选D.211M m +∴32

43532259211=

+考点：数列的函数特性.14．【答案】D 【解析】

试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以

422

2

4==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.

考点：等比数列的性质.15．【答案】B

【解析】解：①由于“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；

③若x 2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q ≥0，解得q ≤1，因此“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；

④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．综上可得：真命题为：①③．故选：B ．

【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．　

二、填空题

16．【答案】　[4，16]　．

【解析】解：直线l ：（t 为参数），

化为普通方程是=

，

即y=tan α•x+1；

圆C 的参数方程

（θ为参数），

化为普通方程是（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=；

画出图形，如图所示；

∵直线过定点（0，1），

∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，

最小值是2=2×=2×=4

∴弦长的取值范围是[4，16]．

故答案为：[4，16]．

【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．

17．【答案】　　．

【解析】解：∵=2，由正弦定理可得：，即c=2a．

b=2a，

∴==．

∴cosB=．

故答案为：．

【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．【答案】

　菱形　；

　矩形　．

【解析】解：如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC

∴四边形EFGH是平行四边形

又∵AC=BD

∴EF=FG

∴四边形EFGH是菱形．

②由①知四边形EFGH是平行四边形

又∵AC⊥BD，

∴EF⊥FG

∴四边形EFGH是矩形．

故答案为：菱形，矩形

【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．　

19．【答案】{7，9}

【解析】∵全集U={n ∈N|1≤n ≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，

∴（∁U A ）={4，6，7，9 }，∴（∁U A ）∩B={7，9}，

故答案为：{7，9}。

三、解答题

20．【答案】（１）的单调递增区间是和，单调递减区间为；（２）．()f x (),2-∞-2,3⎛⎫+∞

⎪⎝⎭

2(2,)3-[1,)+∞【解析】

试题分析：（１） 时，利用导数与单调性的关系，对函数求导，并与零作比较可得函数的单调区间；（２） 2a =对函数求导，对参数分类讨论，利用函数的单调性求函数的最小值，使最小值小于或等于零，可得的取值范围．试题解析：（1）当时，2a =32()241f x x x x =+--所以，

2'()344(32)(2)f x x x x x =+-=-+由，得或，'()0f x >23

x >2x <-所以函数的单调递减区间为．

()f x 2

(2,)3-（2）要使在上有解，只要在区间上的最小值小于等于0．

()0f x ≤[1,)+∞()f x [1,)+∞因为，

22'()32(3)()f x x ax a x a x a =+-=-+令，得，．1 '()0f x =103

a x =>20x a =-<

考点：导数与函数的单调性；分类讨论思想．

21．【答案】

【解析】解：（1）f（x）=﹣

=sin2x+sinxcosx﹣

=+sin2x﹣

=sin（2x﹣）…3分

周期T=π，

因为cosx≠0，所以{x|x≠+kπ，k∈Z}…5分

当2x﹣∈，即+kπ≤x≤+kπ，x≠+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，所以函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z…7分

（2）当，2x﹣∈，…9分sin（2x﹣）∈（﹣，1），当x=时取最大值，

故当x=时函数f（x）取最大值为1…12分

【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．

22．【答案】

【解析】

【专题】计算题；排列组合．

【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；

（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；

（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；

（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值．

【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；

又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，

在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，

即能被5整除的三位数共有6个；

（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；

又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，

取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况，

取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况，

则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；

（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；

又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，

当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，

当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况，

此时三位偶数一共有6+8=14个，

（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，

则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，

故x=0不成立；

当x ≠0时，可以组成无重复三位数共有C 41×C 31×C 21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，则每个数字用了=18次，

则有252=18×（1+2+4+x ），解可得x=7．

【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x 为0与否两种情况讨论．

23．【答案】

【解析】解：（1）∵f （4）=0，

∴4|4﹣m|=0

∴m=4，

（2）f （x ）=x|x ﹣4|=图象如图所示：

由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减．

（3）方程f （x ）=k 的解的个数等价于函数y=f （x ）与函数y=k 的图象交点的个数，

由图可知k ∈（0，4）．

24．【答案】（1）;（2）设当时，取得最大值，即当cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭∴6πθ=()L θ6πθ=时，观光道路最长.【解析】试题分析：（1）在中，由正弦定理得：

OCD ∆sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO

==∠∠∠

，2cos 3CD πθθθ⎛⎫∴=-=+ ⎪⎝⎭OD θ=

1sin 03

OD OB πθθθ<<∴<<<

cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫∴=+∈ ⎪⎝⎭

（2）设观光道路长度为，

()L θ则()L BD CD AC θ=++弧的长

= = ，1cos θθθθ++cos 1θθθ++0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

∴()sin 1L θθθ=-+'

由得：，又()0L θ'=sin 6πθ⎛⎫+

= ⎪⎝⎭0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

6πθ∴=列表：θ

0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭6π,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()

L θ'+0-()L θ↗极大值↘当时，取得最大值，即当时，观光道路最长.

∴6π

θ=()L θ6π

θ=考点：本题考查了三角函数的实际运用

点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题

25．【答案】（1）；（2）

.x y 82=9

【解析】

试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接，由垂直平分线的性质可得，运用抛物线的定

2MF 2MF MP =义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四AC BD 边形面积．当直线和的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，则直ABCD 22b S =AC BD AC ()2-=x k y

第 19 页，共 19 页线的方程为．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得，BD ()21--=x k

y AC ．利用四边形面积即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，

BD ABCD BD AC S 2

1=即可得出．

（2）当直线的斜率存在且不为零时，直线的斜率为，，则直线的斜率为，AC AC ),(11y x A ),(22y x C BD k

1-直线的方程为，联立，得.111]AC )2(-=x k y ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148

)2(22y x x k y 0888)12(2222=-+-+k x k x k ∴，.2221218k k x x +=+2

2212188k k x x +-=.由于直线的斜率为，用代换上式中的。可得1

2)1(324)(1||22212212++=-+⋅+=k k x x x x k AC BD k 1-k 1-.2

)1(32||22++=k k BD ∵，∴四边形的面积.BD AC ⊥ABCD )

12)(2()1(16||||21222

2+++=⋅=k k k BD AC S 由于，∴，当且仅当，即222222

2]2)1(3[]2)12()2([)12)(2(+=+++≤++k k k k k 9

≥S 12222+=+k k 时取得等号.1±=k 易知，当直线的斜率不存在或斜率为零时，四边形的面积.

AC ABCD 8=S 综上，四边形面积的最小值为

.ABCD 9考点：椭圆的简单性质．1

【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得,运用抛物线的定义,即可得所求的||||2MF MP =轨迹方程.第二问分类讨论,当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为.当直线AC BD 22b 和的斜率都存在时,分别设出的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得AC BD BD AC ,,从而利用四边形的面积公式求最值.

BD AC ,