数学导学案(函数奇偶性)

班级：___________ 姓名：_____________ 学号：_____________ 等第：____________

学习目标：1.理解函数的奇偶性及其几何意义.   

          2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

          3..掌握判断函数奇偶性的方法与步骤．

学习重点：函数奇偶性的概念和几何意义．

学习难点：奇偶性概念的数学化提炼过程．

一、学生预习  【问题导思】　

考察下列两个函数：(1)f(x)＝－x2；(2)f(x)＝|x|.

1．这两个函数的图象有何共同特征？

2．对于上述两个函数 ，f(1)与f(－1)，f(2)与f(－2)，f(3)与f(－3)有什么关系？

3．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)与f(－x)有什么关系？反之成立吗？

(1)定义：对于函数f(x)定义域内___________，都有___________，那么函数f(x)叫做偶函数．

(2)图象特征：图象关于_________对称.

【问题导思】　

函数f(x)＝x及f(x)＝的图象如图所示．

    1．两函数图象有何共同特征？

2．对于上述两个函数f(1)与f(－1)，f(2)与f(－2)，f(3)与f(－3)有什么关系？

3．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，则f(x)与f(－x)有什么关系？反之成立吗？

(1)定义：对于函数f(x)定义域内__________，都有____________，那么函数f(x)叫做奇函数．

(2)图象特征：图象关于___________对称．

思考：如果一个函数具有奇偶性，那么它的定义域必定关于____________对称

判断函数奇偶性的步骤一般为：_________________________________________________

判断函数奇偶性的方法你能总结哪些____________________________

【课前检测】

  1、判断下列函数的奇偶性：

   （1）    (2)    (3)    (4)    

  2、下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)

        A．y＝x3      B．y＝|x|＋1     C．y＝－x2＋1          D．y＝－

  3、若f（x）=(m－1) +2mx+3m－3，x为偶函数，则实数m+a=________。

二、例题讲解：

例1：判断下列函数哪些是偶函数．

      (1)f(x)＝x2＋1；     (2)f(x)＝x2，x∈[－1,3]；      (3)f(x)＝0.

  变式训练一：判断下列函数是否为偶函数．

     (1)f(x)＝(x＋1)(x－1)；            (2)f(x)＝.

例2：判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝x8；         (2)f(x)＝x3；         (3)f(x)＝x＋；     

(4)f(x)＝；      (5)f(x)＝；        (6)f(x)＝＋.

变式训练二：判断下列函数的奇偶性：

（1）                         (2)    

 (3)                 （4）

例3：如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．

【延伸拓展】

    例4：已知函数y=f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2－2x+3，求f(x)在R上的解析式，并画出它的图像，根据图像写出它的单调区间。

三、课堂检测

1．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是(　　)

A．f(－x)＋f(x)＝0  B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)   C．f(x)·f(－x)≤0   D.＝－1

2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　)

A．y＝－x2＋5(x∈R)                     B．y＝－x

C．y＝x3(x∈R)                          D．y＝－(x∈R，x≠0)

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于(　　)

A．－3  B．－1  C．1  D．3

4.对定义在R上的函数f(x),下列判断是否正确？，对打√，错打×

.若f(-2)=f(2),则函数f(x)是偶函数                         （   ）

.若f(-2) f(2), 则函数f(x)不是偶函数                     （   ）

    .若 f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数                       （   ）

    .定义在R上的奇函数f(x)的图像必通过点（－1，－f(1)）      （   ）

5．偶函数f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________.

6．函数f(x)＝为________(填“奇函数”或“偶函数”)．

[呈重点、现规律]

1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．

2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．

3．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称.

1.1.2奇偶性的概念(第一课时)课后作业

班级：___________ 姓名：_____________ 学号：_____________ 等第：___________

1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)

A．奇函数     B．偶函数    C．既是奇函数又是偶函数    D．非奇非偶函数

2．f(x)是定义在R上的偶函数，下列结论中正确的是(　　)

A．f(－x)＋f(x)＝0           B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)

C．f(x)·f(－x) 0           D.＝1

3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．

其中正确的命题个数是(　　)

A．1             B．2             C．3              D．4

4．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)

A．y轴对称                      B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称                  D．直线y＝x对称

5．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a等于(　　)

A．1             B．0              C．－1              D．－2

6．若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则下列说法不正确的是(　　)

A．y＝f(x)图象关于直线x＝1对称      

B．y＝f(x＋1)图象关于y轴对称

C．必有f(1＋x)＝f(－1－x)成立        

D．必有f(1＋x)＝f(1－x)成立

7．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是__________________．

8．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________.

9．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝3，x∈R；          (2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；

(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；   (4)f(x)＝

 10．已知奇函数f(x)＝

(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图象；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．