2018-2019学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.设集合M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}，则M∪N=（　　）

A.  B.  C.  D. 

2.下列函数中，在（-1，+∞）上为减函数的是（　　）

A.  B.  C.  D. 

3.计算log416+9等于（　　）

A.  B. 5 C.  D. 7

4.函数f（x）=+的定义域为（　　）

A.  B. 

C.  D. 

5.函数y=的单调增区是（　　）

A.  B.  C.  D. 

6.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，则满足f（2x-1）＞f（）的x的取值范围是（（　　）

A.  B. 

C.  D. 

7.若函数f（x）=a|x+1|（a＞0．a≠1）的值域为[1，+∞），则f（-4）与f（0）的关系是（　　）

A.  B.  C.  D. 不能确定

8.对于实数a和b定义运算“*”：a•b=，设f（x）=（2x-1）•（x-2），如果关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范是（　　）

A.  B.  C.  D. 

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

9.已知全集U=R，集合A={x|x2-4x+3＞0}，则∁UA=______．

10.若0＜a＜1，b＜-1，则函数f（x）=ax+b的图象不经过第______象限．

11.已知log25=a，log56=b，则用a，b表示1g6=______．

12.函数y=（x≤0）的值域是______．

13.已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意不相等的实数x1，x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，成立，则实数a的取值范围______．

14.设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号）

①对任意的x∈（-∞，1），都有f（x）＞0；

②存在x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；

③若△ABC是顶角为120°的等腰三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

15.已知函数f（x）=ax-1（x≥0）．其中a＞0，a≠1．

（1）若f（x）的图象经过点（，2），求a的值；

（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．

16.设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+（a-1）x+a2-5=0}．

（1）若A∩B={2}，求实数a的值；

（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

17.函数f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1．

（1）求a，b的值；

（2）判断并用定义证明f（x）在（，+∞）的单调性．

18.已知二次函数满足，．求函数的解析式；若关于x的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围；若函数在区间内至少有一个零点，求实数m的取值范围

19.设a为实数，函数f（x）=+a+a．

（1）设t=，求t的取值范图；

（2）把f（x）表示为t的函数h（t）；

（3）设f （x）的最大值为M（a），最小值为m（a），记g（a）=M（a）-m（a）求g（a）的表达式．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：∵M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}； 

∴M∪N={x|x≤1}． 

故选：C．

进行并集的运算即可．

考查描述法表示集合的定义，以及并集的运算．

2.【答案】D

【解析】

解：根据题意，依次分析选项： 

对于A，y=3x，为指数函数，在R上为增函数，不符合题意； 

对于B，y=x2-2x+3=（x-1）2+2，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意； 

对于C，y=x，为正比例函数，在R上为增函数，不符合题意； 

对于D，y=-x2-4x+3=-（x+2）2+7，在（-2，+∞）上为减函数，符合题意； 

故选：D．

根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．

本题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．

3.【答案】B

【解析】

解：原式=2+3=5． 

故选：B．

利用指数与对数运算性质即可得出．

本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4.【答案】A

【解析】

解：根据题意：，

解得：-3＜x≤0

∴定义域为（-3，0]

故选：A．

从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．

本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法．

5.【答案】D

【解析】

解：令t=-x2+4x+5，其对称轴方程为x=2，

内层函数二次函数在[2，+∞）上为减函数，

而外层函数y=为减函数，∴函数y=的单调增区是[2，+∞）．

故选：D．

求出内层函数二次函数的减区间得答案．

本题考查指数型复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减，是基础题．

6.【答案】C

【解析】

解：根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，

f（2x-1）＞f（）⇒f（|2x-1|）＞f（）⇒|2x-1|＜，

解可得：＜x＜，

即x的取值范围为（，）；

故选：C．

根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（2x-1）＞f（）⇒f（|2x-1|）＞f（）⇒|2x-1|＜，解可得x的取值范围，即可得答案．

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．

7.【答案】A

【解析】

解：∵|x+1|≥0，且f（x）的值域为[1，+∞）； 

∴a＞1； 

∴g（x）=ax在R上单调递增； 

又f（-4）=a3，f（0）=a； 

∴f（-4）＞f（0）． 

故选：A．

可知|x+1|≥0，根据f（x）的值域为[1，+∞）即可得出a＞1，而可求出f（-4）=a3，f（0）=a，显然a3＞a，从而得出f（-4）＞f（0）．

考查指数函数的单调性，根据单调性定义比较大小的方法．

8.【答案】C

【解析】

解：根据定义得：f（x）=，其图象如下：

因为f（x）=m恰有三个互不相等实根，所以0＜m＜，

故选：C．

数形结合法：画出函数f（x）的图象，结合图象知y=f（x）与y=m恰有3个交点时，0＜m＜．

本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．

9.【答案】{x|1≤x≤3}

【解析】

解：A={x|x＜1，或x＞3}； 

∴∁UA={x|1≤x≤3}． 

故答案为：{x|1≤x≤3}．

可求出集合A，然后进行补集的运算即可．

考查描述法表示集合的概念，以及补集的运算．

10.【答案】一

【解析】

解：函数f（x）=ax（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，

函数f（x）=ax+b的图象由函数f（x）=ax的图象向下平移|b|个单位得到，

∵b＜-1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=ax+b的图象与y轴交于负半轴，

如图，函数f（x）=ax+b的图象过二、三、四象限．

故答案为一．

函数f（x）=ax（0＜a＜1）是指数函数，在R上单调递减，过定点（0，1），过一、二象限，函数f（x）=ax+b的图象由函数f（x）=ax的图象向下平移|b|个单位得到，与y轴相交于原点以下，可知图象不过第一象限．

本题考查指数函数的图象和性质，利用图象的平移得到新的图象，其单调性、形状不发生变化，结合图形，一目了然．

11.【答案】

【解析】

解：∵log25=a==，解得lg5=．

log56=b=，

∴lg6=blg5=．

故答案为：．

log25=a==，解得lg5．log56=b=，即可得出lg6=blg5．

本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

12.【答案】（-∞，2]∪（3，+∞）

【解析】

解：；

∵x≤0；

∴该函数在（-2，0]，（-∞，-2）上单调递增；

∴x∈（-2，0]时，y≤2；x∈（-∞，-2）时，y＞3；

∴原函数的值域为（-∞，2]∪（3，+∞）．

故答案为：（-∞，2]∪（3，+∞）．

分离常数得出，从而可判断出该函数在（-∞，-2），（-2，0]上单调递增，这样根据单调性即可求出该函数的值域．

考查函数值域的概念及求法，分离常数法的运用，反比例函数的值域．

13.【答案】（2，3]

【解析】

解：由于函数f（x）=，又对任意实数x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，

则f（x）在R上为增函数．

当x≤0时，函数为增，则有a-2＞0，即a＞2，①

当x＞0时，函数为增，则有a＞1，②

由在R上为增函数，则（a-2）×0+3a-8≤a0，即有a≤3③，

由①②③可得a的取值范围为：2＜a≤3．

故答案为：（2，3]．

由题意可知f（x）在R上为增函数，对各段考虑即有a-2＞0，即a＞2，①a＞1，②注意x=0，有（a-1）×0+3a-8≤a0，即有a≤3③，求出三个的交集即可．

本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及运用，注意各段的单调性，以及分界点的情况，属于易错题和中档题．

14.【答案】①②③

【解析】

解：在①中，∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，

∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，

当x∈（-∞，1）时，f（x）=ax+bx-cx=cx[（）x+（）x-1]

＞cx（+-1）=cx•＞0，故①正确；

在②中，令a=2，b=3，c=4，则a．b．c可以构成三角形，

但a2=4，b2=9，c2=16不能构成三角形，故②正确；

在③中，∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC顶角为120°的等腰三角形，

∴a2+b2-c2＜0，∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0，

∴根据函数零点存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，

即∃x∈（1，2），使f（x）=0，故③正确．

故答案为：①②③．

在①中，对任意x∈（-∞，1），都有f（x）＞0；在②中，a2=4，b2=9，c2=16不能构成三角形；在③中，若△ABC为钝角三角形，则a2+b2-c2＜0，根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即∃x∈（1，2），使f（x）=0．

本题考查命题真假的判断，是中档题，注意运用指数函数单调性、零点存在定理的合理运用．

15.【答案】解：（1）∵函数f（x）=ax-1（x≥0）的图象经过点（，2），∴=2，∴a=4．

（2）对于函数y=f（x）=ax-1，当a＞1是时，单调递增，

∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≥a-1=，故函数的值域为[，+∞）．

对于函数y=f（x）=ax-1，当0＜a＜1是时，单调递减，

∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≤a-1=，又f（x）＞0，故函数的值域为（0，）．

【解析】

（1）把点（，2）的坐标代入函数的解析式，求得a的值．

（2）根据指数函数的值域，分类讨论，求得f（x）的值域．

本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数函数的值域，属于中档题．

16.【答案】解：（1）集合A={x|x2-3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，

若A∩B={2}，则x=2是方程x2+（a-1）x+a2-5=0的实数根，

可得：a2+2a-3=0，解得a=-3或a=1；

（2）∵A∪B=A，

∴B⊆A，

当B=∅时，方程x2+（a-1）x+a2-5=0无实数根，

即（a-1）2-4（a2-5）＜0

解得：a＜-3或a＞；

当B≠∅时，方程x2+（a-1）x+a2-5=0有实数根，

若只有一个实数根，x=1或x=2

则△=（a-1）2-4（a2-5）=0

解得：a=-3或a=；

∴a=-3．

若只有两个实数根，x=1、x=2

△＞0，则-3＜a＜；

则（a-1）=-3，可得a=-2

a2-5=2，可得a=

综上可得实数a的取值范围是{a|a≤-3或a＞或a=-2或a=-}

【解析】

（1）根据A∩B={2}，可知B中由元素2，带入求解a即可； 

（2）根据A∪B=A，B⊆A，建立关系即可求解实数a的取值范围．

此题考查了并，交集及其运算，熟练掌握并交集的定义是解本题的关键．讨论思想．

17.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，

则f（-1）=-f（1）=-1，

则有，解可得a=5，b=0；

（2）由（1）的结论，f（x）=，

设＜x1＜x2，

f（x1）-f（x2）=-=，

又由＜x1＜x2，则（1-4x1x2）＜0，（x1-x2）＜0，

则f（x1）-f（x2）＞0，

则函数f（x）在（，+∞）上单调递减．

【解析】

（1）根据题意，由函数的奇偶性分析可得f（-1）=-1，则可得，解可得a、b的值；

（2）由（1）的结论，f（x）=，利用作差法分析可得答案．

本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出a、b的值，属于基础题．

18.【答案】解：（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+2，（a≠0）

∴a（x+1）2+b（x+1）+2-ax2-bx-2=4x-4

∴2ax+a+b=4x-4，

∴a=2，b=-6

∴f（x）=2x2-6x+2；

（2）依题意t＞f（x）=2x2-6x+2在x∈[-1，2]上恒成立，

而2x2-6x+2的对称轴为x=∈[-1，2]，

所以x=-1时，取最大值10，

t＞10；

（3）∵g（x）=f（x）-mx=2x2-6x+2-mx=2x2-（6+m）x+2在区间（-1，2）内至少有一个零点，

当g（x）在（-1，2）内无零点时，△=（6+m）2-16＜0或或， 

解得：-10≤m＜-2，

因此g（x）在（-1，2）内至少有一个零点时，m＜-10，或m≥-2．

【解析】

（1）用待定系数法设出二次函数表达式，再代入已知函数方程可解得a，b； 

（2）分离参数后求最值； 

（3）先求无零点时，m的范围，再求补集．

本题考查了不等式恒成立．属难题．

19.【答案】解：（1）t=，可得t2=2+2，

由0≤1-x2≤1，可得2≤t2≤4，

又t≥0可得≤t≤2，

即t的取值范围是[，2]；

（2）由（1）可得=，

即有h（t）=at+，≤t≤2；

（3）由h（t）=（t+a）2-1-a2，

对称轴为t=-a，

当-a≥2即a≤-2时，h（t）在[，2]递减，

可得最大值M（a）=h（）=a；最小值m（a）=h（2）=1+2a，

则g（a）=（-2）a-1；

当-a≤即a≥-时，h（t）在[，2]递增，

可得最大值M（a）=h（2）=1+2a；最小值m（a）=h（）=a，

则g（a）=（2-）a+1；

当＜-a＜2即-2＜a＜-时，h（t）的最小值为m（a）=h（-a）=-1-a2，

若-1-≤a＜-，则h（2）≥h（），可得h（t）的最大值为M（a）=h（2）=1+2a，

可得g（a）=2+2a+a2；

若-2＜a＜-1-，则h（2）＜h（），可得h（t）的最大值为M（a）=h（）=a，

可得g（a）=a+1+a2；

综上可得g（a）=．

【解析】

（1）将t=两边平方，结合二次函数的性质可得t的范围；

（2）由（1）可得=，可得h（t）的解析式；

（3）求得h（t）=（t+a）2-1-a2，对称轴为t=-a，讨论对称轴与区间[，2]的关系，结合单调性可得h（t）的最值，即可得到所求g（a）的解析式．

本题考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，考查分类讨论思想方法和化简整理运算能力，属于中档题．