【数学】培优二次函数辅导专题训练附详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .

（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；

（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.

【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）

(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】

分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；

（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；

（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．

详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩

，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，

∴抛物线的解析式为223y x x =--+.

∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，

∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，

得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩

， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.

（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，

∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.

（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，

∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，

②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，

③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭

. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．

2．如图1，对称轴为直线x =1的抛物线y =12

x 2+bx +c ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且点A 坐标为(-1，0).又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，点C 与坐标原点O 关于该对称轴成轴对称.

（1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式；

（2）当 AE ：EP =1：4 时，求点 E 的坐标；

α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+

2

3

C′D 的最小值．

【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=

1

2

x2-x-

3

2

；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2

3

C′D

4

10

3

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得

AE

AP

=

AG

AF

=

EG

PF

=

1

5

，从而求出E的坐标；

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．

如图，取点M（0，

4

3

），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到

△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝

2

3

C′D，由C′B＋

2

3

C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-1

2

2

b

=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴

1

2

-b+c=0，解得：c=-

3

2

，

即：抛物线的表达式为：y=

1

2

x2-x-

3

2

．

令y=0，则

1

2

x2-x-

3

2

=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．

∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AE

AP

=

AG

AF

=

EG

PF

=

1

5

．

又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．

如图，取点M（0，4

3

），连接MC′、BM．则OM＝

4

3

，BM＝22

4

3()

3

+＝

97

．

∵

4

2

3

'23

OM

OC

==，

'2

3

OC

OD

=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴

'2

'3

MC

C D

=，

∴MC′＝2

3C′D，∴C′B＋

2

3

C′D＝C′B＋MC′≥BM＝

4

10

3

，∴C′B＋

2

3

C′D的最小值为

4

10

3

．

点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．

3．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．

（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．

（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（1

4

，y1），D（

3

4

，y2）

都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞

5；（3）①当0＜b＜1

2

时，y1＞y2，②当b＝

1

2

时，y1＝y2，③当

1

2

＜b＜

4

5

时，y1＜

y2．

【解析】

【分析】

（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；

（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】

（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，

∴M的坐标是（b，4b+1），

把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，

∴点M在直线y＝4x+1上；

（2）如图1，

直线y＝mx+5交y轴于点B，

∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，

∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，

二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，

当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，

∴A（5，0）．

由图象，得

当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；

（3）如图2，

∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，

A（5，0），B（0，5）得

直线AB的解析式为y＝﹣x+5，

联立EF，AB得方程组

41

5 y x

y x

=+

⎧

⎨

=-+

⎩

，解得

4

5

21

5 x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪

=

⎪

⎩

，

∴点E（4

5

，

21

5

），F（0，1）．

点M在△AOB内，

1＜4b+1＜

21

5

，

∴0＜b＜4

5

．

当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣

1

4

＝

3

4

﹣b，∴b＝

1

2

，

且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，

综上：①当0＜b＜

1

2

时，y1＞y2，

②当b＝

1

2

时，y1＝y2，

③当

1

2

＜b＜

4

5

时，y1＜y2．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．

4．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：

（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；

（3）M1（113

2

+

，0）、N1131）；M2（

113

2

+

，0）、N2（1，﹣1）；M3

（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【解析】

【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，

3m），代入所设解析式求解可得；

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且

∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证

△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．

【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1，

∴OC=3OA，

∴点C的坐标为（0，3），

将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：

20

3

a a c

c

++=

⎧

⎨

=

⎩

，

解得：

1

3

a

c

=-

⎧

⎨

=

⎩

，

∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

所以点G的坐标为（1，4）；

（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，

过点G′作G′D ⊥x 轴于点D ，设BD′=m ，

∵△A′B′G′为等边三角形，

∴G′D=3

B′D=3m ，

则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m ），

将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：

24043m k k m

⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），2231

m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴k=1；

（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2），

∴PQ=OA=1，

∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角，

∴△AOQ ≌△PQN ，

如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，

则∠QHN=∠OMQ=90°，

又∵△AOQ ≌△PQN ，

∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，

∴∠MOQ=∠HQN ，

∴△OQM ≌△QNH （AAS ），

∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1，

解得：x=1132

±

当x=1132+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312-，点M （1132

+，0）， ∴点N 坐标为（

113++131-，﹣1），即（13，﹣1）； 或（113+﹣131-，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，

同理可得△OQM ≌△PNH ，

∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1，

解得：x=﹣1（舍）或x=4，

当x=4时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x 2+2x+2）=6，

∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）； 综上点M 1113+0）、N 1131）；M 2113+0）、N 2（1，﹣1）；M 3（4，0）、N 3（10，﹣1）；M 4（4，0）、N 4（﹣2，﹣1）．

【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.

5．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交x 轴于A （-2，0），B （1，0），交y 轴于C （0，2）；

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC ，在直线AC 上方的抛物线上是否存在点N ，使△NAC 的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N 的坐标，若不存在，说明理由．

（3）若点M 在x 轴上，是否存在点M ，使以B 、C 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．

（4）若P 为抛物线上一点，过P 作PQ ⊥BC 于Q ，在y 轴左侧的抛物线是否存在点P 使△CPQ ∽△BCO （点C 与点B 对应），若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；

（3）M的坐标为（-1，0）或（50）或（-3

2

，0）；（4）点P的坐标为：（-1，

2）或（-7

3

，-

10

9

）．

【解析】

【分析】

（1）利用交点式求二次函数的解析式；

（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；

（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；

（4）存在两种情况：①如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；

②如图5，图3中的M（-3

2

，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则

△CP2Q∽△BCO，P2为直线CM的抛物线的交点．

【详解】

（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），

把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），

a=-1，

∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，

∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；

（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

把A（-2，0）、C（0，2）代入得：

20

2

k b

b

-+

⎧

⎨

⎩

＝

＝

，

解得：

1

2 k

b

⎧

⎨

⎩

＝

＝

，

∴直线AC的解析式为：y=x+2，

∴D（n，n+2），

∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，

∴S△ANC

=

1

2

×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，

∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），

（3）存在，分三种情况：

①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；

②如图2，由勾股定理得：22

25

1=

+，

以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM35此时，M2（50），M3（50）；

③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，

设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，

解得：x=3

2

，

∵M4在x轴的负半轴上，

∴M4（-3

2

，0），

综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或

（1±5，0）或（-3

2

，0）；

（4）存在两种情况：

①如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P1，过P1作P1Q⊥BC，

此时，△CP1Q∽△BCO，

∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称，

∴P1（-1，2），

②如图5，由（3）知：当M（-3

2

，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，

过P2作P2Q⊥BC，此时，△CP2Q∽△BCO，

易得直线CM 的解析式为：y=43

x+2， 则2423

2

y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=--+⎩， 解得：P 2（-73

，-109）， 综上所述，点P 的坐标为：（-1，2）或（-

73，-109）． 【点睛】

本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．

6．如图，直线y ＝-12

x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；

(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．

【答案】(1)y ＝

14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣

154

)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】

【分析】 （1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12

m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．

②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝

32

x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.

【详解】 解：(1)在y ＝﹣

12

x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，

将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得： 366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩

， 解得：141

a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，

∴抛物线的解析式为：y ＝

14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，

14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.

∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32

m ，

∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC ＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝1

2×(﹣14m 2﹣32

m)×6 ＝﹣

34m 2﹣92m ＝﹣34

(m+3)2+274， ∵a ＝﹣34

＜0， ∴抛物线开口向下，

∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值

274， 又∵当m ＝﹣3时，

14m 2+m ﹣3＝﹣154， ∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274

； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，

直线AD′的解析式为y ＝32

x+9， 由2392134

y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩， 此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，

综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)

【点睛】

7．已知点A（﹣1，2）、B（3，6）在抛物线y=ax2+bx上

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x 轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；

(3)如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，

QM=2PM，直接写出t的值．

【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为或秒时，QM=2PM．

【解析】

【分析】

（1）（1）A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx中确定解析式；

（2）把A点坐标代入所设的AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；

（3）具体见详解.

【详解】

．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，

，解得：，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．

（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，

将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，

∴k=m﹣2，∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．

联立直线AF和抛物线解析式成方程组，

，解得：或，

∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．

∵GH⊥x轴，

∴点H的坐标为（m，0）．

∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），

∴点E的坐标为（1，0）．

过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．

∵点A（﹣1，2），

∴A′（﹣1，0），

∴AE=2，AA′=2．

∴ =1， = =1，

∴= ，

∵∠AA′E=∠FOH，

∴△AA′E∽△FOH，

∴∠AEA′=∠FHO，

∴FH∥AE．

（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，

将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3，

当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．

当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示，

∵QM=2PM，

∴ =，

∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，

∴点M的坐标为（t﹣2， t）．

又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，

∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），

解得：t=；当点M在线段QP的延长线上时，

同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），

∵点M在抛物线y=x2﹣x上，

∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），

解得：t=．

综上所述：当运动时间秒或时，QM=2PM．

【点睛】

本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.

8．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交

点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：

（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；

（3）M1（113

2

+

，0）、N1（13，﹣1）；M2（

113

2

+

，0）、N2（1，﹣1）；M3

（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【解析】

【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，

3m），代入所设解析式求解可得；

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且

∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证

△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．

【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1，

∴OC=3OA，

∴点C的坐标为（0，3），

将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：

20

3

a a c

c

++=

⎧

⎨

=

⎩

，

解得：

1

3

a

c

=-

⎧

⎨

=

⎩

，

∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

所以点G的坐标为（1，4）；

（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，

∵△A′B′G′为等边三角形，

∴33，

则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3

m ），

将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：

24043m k k m

⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），22

31m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴k=1；

（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2），

∴PQ=OA=1，

∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角，

∴△AOQ ≌△PQN ，

如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，

则∠QHN=∠OMQ=90°，

又∵△AOQ ≌△PQN ，

∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，

∴∠MOQ=∠HQN ，

∴△OQM ≌△QNH （AAS ），

∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1，

解得：x=1132

± 当113+HN=QM=﹣x 2131-M 113+，0）， ∴点N 113+131-1131）； 113+131-1），即（1，﹣1）； 如图3，

同理可得△OQM≌△PNH，

∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，

解得：x=﹣1（舍）或x=4，

当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，

∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；

综上点M1（113

+

，0）、N1（13，﹣1）；M2（

113

+

，0）、N2（1，﹣1）；M3

（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.

9．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+5

3

x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣

2）．点E是直线y=﹣1

3

x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．

（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．

（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．

（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=21

4

，M坐标为（

3

2

，3）；（3）F坐标为（0，﹣

32）． 【解析】 【分析】 1）把

C 与

D 坐标代入二次函数解析式求出a 与c 的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出

E 坐标即可；

（2）过M 作MH 垂直于x 轴，与直线CE 交于点H ，四边形COEM 面积最大即为三角形CME 面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M 坐标即可；

（3）令y=0，求出x 的值，得出A 与B 坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF 相似，由相似得比例求出OF 的长，即可确定出F 坐标．

【详解】

（1）把C （0，2），D （4，﹣2）代入二次函数解析式得：2016232a c c ⎧++=-⎪⎨⎪=⎩ ， 解得：2a 32

c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，即二次函数解析式为y=﹣23x 2+53x+2， 联立一次函数解析式得：2225233y x y x x ﹣﹣=+⎧⎪⎨=++⎪⎩

， 消去y 得：﹣

13x+2=﹣23x 2+53

x+2， 解得：x=0或x=3，

则E （3，1）； （2）如图①，过M 作MH ∥y 轴，交CE 于点H ，

设M （m ，﹣

23m 2+53m+2），则H （m ，﹣13m+2）， ∴MH=（﹣23m 2+53m+2）﹣（﹣13m+2）=﹣23

m 2+2m ， S 四边形COEM =S △OCE +S △CME =

12×2×3+12MH•3=﹣m 2+3m+3， 当m=﹣a b =32时，S 最大=214，此时M 坐标为（32

，3）； （3）连接BF ，如图②所示，

当﹣2

3

x2+

5

3

x+20=0时，x1

=

5+73

4

，x2=

5-73

，

∴OA=73-5，OB=5+73，

∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，

∴△AOC∽△FOB，

∴OA OC

OF OB

=，即

73-5

4

5+73

OF

=，

解得：OF=

3

2

，

则F坐标为（0，﹣

3

2

）．

【点睛】

此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

10．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状，并说明理由；

（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由见解析；（3）当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．

【解析】

试题分析：（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；

（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，

∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴，

方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可

试题解析：解：（1）∵点A是直线与轴的交点，∴A点为（-1，0）

∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）

∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：

∴，解得：

∴抛物线的解析式为．

（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：

作BC⊥轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；

点M是抛物线的顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，

∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；

∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．

（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为．

∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴

化简得：

∴＝＝

当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点

∴．

考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）