福建省厦门第一中学20072008学年

第二学期期中考试

高二年数学（理科）试卷

        命题教师：陈建国      审题教师：郭仲飞       2008.4

第Ⅰ卷

【答卷说明】 选择题的答案填到答题卡上，填空题与解答题的答案，写在答题卷上，交卷时交答题卡与答题卷.

A  卷 （满分100分）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1、“所有9的倍数都是3的倍数，某数m是9的倍数，所以m是3的倍数。”上述推理是                                               

   A、正确的        B、结论错        C、小前提错        D、大前提错

2、复数z的共轭复数为，那么条件p：是条件q：z为实数的

        A．充分而不必要的条件        B．必要而不充分的条件

        C．充要条件               D．既不充分也不必要的条件

3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60º ”时，应该

    A．假设三内角都不大于60 º           B．假设三内角都大于60 º

    C．假设三内角至多有一个大于60 º     D．假设三内角至多有两个大于60 º

4．设i为虚数单位，则等于

    A、1－i       B、1＋i      C、2＋i      D、1－2i

5．设f (x) = sin2x，则等于

    A、        B、–            C、1        D、–1

6、定积分等于            

    A、1        B、2        C、–1        D、0

7、过点P(2,)作双曲线的切线，则此切线的斜率等于

    A、–          B、–         C、         D、    

8、函数的导数是=

    A、    B、         C、        D、

9、直线与抛物线所围成的图形面积等于

   A、1        B、        C、        D、

10、某物体运动的位移y（单位：m）是时间t (单位：s)的函数，当s时，物体的瞬时速度v等于

    A、        B、        C、        D、

11、函数的单调递减区间是.

    A、(–1, 2)                        B、(–∞, –1)与(1, +∞)

    C、(–∞, –2)与(0, +∞)            D、(–2，0)

12．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……

若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前55个圈中的●的个数是

    A．10       B．9       C．8        D．11

二、填空题（每题5分，共10分）

13. 根据条件：a、b、c满足，且a+b+c=0，下列推理正确的是         （填上序号）

  ①，②，③，④ 

14．定积分=            . 

三、解答题（每题10分，共30分）

15、设函数

    (1)求f (x)的单调递增区间；

    (2)求f (x)的极大值和极小值.

16、用数学归纳法证明， 

17、用长为 90cm ，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，再焊接成一个长方体容器（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

B  卷（满分50分）

四、填空题（每题5分，共10分）

18.用四种不同的颜色去涂如图所示的四块区域，要求相邻的两块颜色不相同，那么，不同的涂色方法种数是          .

19．设有编号为1，2，3，4的四个茶杯和编号为1，2，3，4的四个杯盖，将四个杯盖盖在四个茶杯上，那么杯盖和茶杯的编号不全相同的盖法种数是         

五、解答题（3题，共40分）

20．（12分）求曲线与轴围成的图形的面积．

21．（14分）如图所示，曲线段OMB是函数f(x)＝x2 (0≤x≤6)的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M(t,f(t))处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q，

    ⑴试用t表示切线PQ的方程；

    ⑵试用t表示出△QAP的面积g(t)，并求g(t)的最大值.

22、（14分）设函数f（x）=在[1，+∞上为增函数.   

（1）求正实数a的取值范围；

（2）比较的大小，说明理由；

（3）求证：（n∈N*, n≥2）

23、附加题·实验班学生必做（15分）已知函数f(x)＝ 

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若当ｘ>0时，f(x) >恒成立, 求正整数k的最大值．

ACBAD,BADCC,DB

13、③④；

14、；

15、 (－∞,－2)与(,  +∞) ；(34,)

17、解：设容器的高为xcm，则长方体的长为(90－2x)cm，宽为(48－2x)cm，

容器的体积为，

，且，

V 有极大值，此极大值即为最大值.

所以当x=10cm， V 有最大值

答：该容器高为10cm时，容积最大为

18、108；

19、23；

20．解：(1)首先求出函数的零点：，，.又易判断出在内，图形在轴下方，在内，图形在轴上方，

所以所求面积为

                ＝

21．【解】：⑴设点M(t，t2)，又f ' (x)=2x，∴过点M的切线PQ的斜率k=2t    

 ∴切线PQ的方程为：y=2tx－t2 

⑵由⑴可求得，P()，Q(6,12t－t2)，

∴g(t)＝S△QAP＝(12t－t2)= (0由于g＇(t)=,令g＇(t)<0，则4∴函数g(t)的单调递减区间是(4,6)，因此m的最小值为4

⑶由⑵知，g(t)在区间(4,6)上递减，∴此时S△QAP∈(g(6)，g(4))=(54,)

令g＇(t)＞0，则0S△QAP∈(g(0)，g(4))=(0，)，又g(4)＝   ∴g(t)的值域为(0，) 

由≤g(t)≤，得1≤t<6∴≤<3，∴点P的横坐标∈[,3]

22、解:（1）由已知： =，依题意得：≥0对x∈[1，+∞恒成立

       ∴ax－1≥0对x∈[1，+∞恒成立    ∴a－1≥0即：a≥1 

  （2）∵a=1   ∴由（1）知：f（x）=在[1，+∞上为增函数，

      ∴n≥2时：f（）=   

   即：，∴ 

23、(1)　＝＝－ 

　　　∵ｘ>0，∴ｘ２>0， >0．ln(x+1)>0。∴<0。

因此函数f（ｘ）在区间（０，＋∞）上是减函数． 

(2)当ｘ>0时，f（ｘ）＞恒成立,　令ｘ＝１有ｋ＜２

又k为正整数．∴k的最大值不大于３． 

下面证明当ｋ＝３时，f（ｘ）＞（ｘ＞０）恒成立．

即证当ｘ>0时， ＋１－２ｘ＞０恒成立． 

令ｇ（ｘ）＝＋１－２ｘ，则＝－１， 

当ｘ>ｅ－１时，＞０；当０＜ｘ＜ｅ－１时，＜０． 

∴当ｘ＝ｅ－１时，ｇ（ｘ）取得最小值ｇ(e－1)＝３－ｅ＞０． 

∴当ｘ>０时， ＋１－２ｘ＞０恒成立．

因此正整数k的最大值为３．