2011年高考试题解析数学(理)分项版之专题4-数列

04 数列

一、选择题:

1. (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和, ,则的值为

A．-110  　　    B．-90 　　     C．90  　           D．110

3. (2011年高考四川卷理科8)数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则(    )

（A）0     （B）3       （C）8          （D）11

答案：B

解析：由已知知由叠加法.

4.(2011年高考全国卷理科4)设为等差数列的前项和，若，公差，则 

（A）8         （B）7           （C）6           （D）5

【答案】D

【解析】

故选D。

2. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则        .

【答案】10

【解析】由题得

3. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为        升

答案：   

解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.

4.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为      （米）。

【答案】2000

【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为

=即时.

5.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，，则              

解析：74.，故

6.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________

【答案】

【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。

由题意：， 

，而的最小值分别为1，2，3；。

7．(2011年高考北京卷理科11)在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________； ____________。

【答案】—2   

三、解答题:

1. (2011年高考山东卷理科20)（本小题满分12分）

等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.

（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.

【解析】（I）当时，不合题意；

当时，当且仅当时，符合题意；

当时，不合题意。

因此

所以公式q=3，

故

   （II）因为

所以

    所以

当n为偶数时， 

当n为奇数时， 

综上所述， 

2.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分）

    已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10

    （I）求数列{an}的通项公式；

    （II）求数列的前n项和.

所以.

综上，数列的前n项和为.

3.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项(),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.[

【解析】（Ⅰ）

  则， 

（Ⅱ） 

因为，所以

当时，即；

所以当时，；当时， .

4.(2011年高考安徽卷理科18)（本小题满分13分）

在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设求数列的前项和.

【命题意图】：本题考查等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。

【解析】：（Ⅰ）构成递增的等比数列，其中，，则

×并利用等比数列性质得

， 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 

又

所以数列的前项和为

【解题指导】：做数列题时应优先运用数列的相关性质，本题考查的是等比数列前n项积，自然想到等比数列性质：，倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的，这样处理就避免了对n奇偶性的讨论。

第二问的数列求和应联想常规的方法：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法。而出现时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决。

5. (2011年高考全国新课标卷理科17)（本小题满分12分）

等比数列的各项均为正数，且

(1)求数列的通项公式.

(2)设求数列的前项和.

所以，数列的前项和为

点评：本题考查等比数列通项公式，性质、等差数列前项和，对数运算以及数列求和（列项求和）与数列综合能力的考查。解答过程要细心，公式性质要灵活运用。

6. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）

已知数列与满足：，，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设，证明：是等比数列；

（Ⅲ）设证明：．

【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.

（Ⅰ）解:由, ,可得, 又

当n=1时, ,由, ,得;

当n=2时, ,可得.

当n=3时, ,可得.

（Ⅱ）证明:对任意,

,①[来源:学科网ZXXK]

,②

,③

②-③得     ④,

将④代入①,可得即(),又,

故,因此,所以是等比数列.

（III）证明：由（II）可得，

于是，对任意，有

将以上各式相加，得

即，

此式当k=1时也成立.由④式得

从而

所以，对任意，

对于n=1，不等式显然成立.

所以，对任意

7. (2011年高考江西卷理科18)（本小题满分12分）

已知两个等比数列，，满足，，，.

（1）若，求数列的通项公式；[来源:Z#xx#k.Com]

（2）若数列唯一，求的值.[来源:学。科。网Z。X。X。K]

8. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，[来源:学.科.网Z.X.X.K]

，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，

，故，），则（1）      ；（2）      .

答案： 2;   1093

解析：（1）由题意知，所以2；

（2）通过例举可知：，，，，，，，

，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：

从而

.

评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景，着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.

9. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：对于一切正整数n, 

【解析】（1）由

    令，

    当

    ①当时，

    ②当

   （2）当时，（欲证）[来源:学科网]

    ，

    当

    综上所述

10. (2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）

已知数列的前n项和为，且满足： 

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，

是否成等差数列，并证明你的结论.

本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.

解析：

（Ⅰ）由已知，可得，两式相减可得

即又，所以当时，数列为：；

当时，由已知，所以

于是由，可得，

成等比数列，

当时， 

综上，数列的通项公式为

（Ⅱ）对于任意的，且成等差数列，证明如下：

当r=0时，由（Ⅰ）知， 

∴对于任意的，且成等差数列；

当时， 

若存在，使得成等差数列，则，

即，

由（Ⅰ）知，的公比r+1=—2，于是对于任意的，且，从而，，

即成等差数列.

综上，对于任意的，且成等差数列.

11.(2011年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

      设实数数列的前n项和满足

     （Ⅰ）若成等比数列，求和

     （Ⅱ）求证：对有。

解析：（Ⅰ）由题意，得，

由是等比中项知，因此，

由，解得， 

   （Ⅱ）证明：有题设条件有，

故，且

从而对有①

因，且，

要证，由①，只要证

即证，即，此式明显成立，

因此。

最后证，，若不然， ，

又因，故，即。矛盾，

12．(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分) 

    设d为非零实数，an =  [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*).

(I)写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；

(II)设bn=ndan (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．

解析：（1）

13.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且

（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设

【解析】：（Ⅰ）由得，

前项为， 

（Ⅱ）

14.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立

（1）设M=｛1｝，，求的值；

（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式

【解析】考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题。

（1）即： 

所以，n>1时，成等差，而， 

（2）由题意：，

当时，由（1）（2）得： 

由（3）（4）得：

由（1）（3）得： 

由（2）（4）得： 

由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为： 

由（5）（6）得： 

由（9）（10）得： 成等差，设公差为d,

在（1）（2）中分别取n=4,n=5得： 

15．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）

     设整数，是平面直角坐标系中的点，其中

  （1）记为满足的点的个数，求；

（2）记为满足是整数的点的个数，求

解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。

（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。

（2）设，则

对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；

当n-1被3整除时，解数一共有： 

当n-1被3除余1时，解数一共有： 

当n-1被3除余2时，解数一共有： 

16．(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）

    若数列满足，数列为数列，记=．

    （Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；

    （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；

    （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）

（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，

所以.

因为

所以为偶数,

所以要使为偶数,

即4整除.

当

时，有

当的项满足， 

当不能被4整除，此时不存在E数列An，

使得

17．(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）

已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。

解：（I）由

解得

所以

（II）由（I）可知

因为函数的最大值为3，所以A=3。

因为当时取得最大值，

所以

又

所以函数的解析式为

18．(2011年高考上海卷理科22)（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合

中的元素从小到大依次排列，构成数列

。

（1）求；

（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；

（3）求数列的通项公式。

解：⑴  ；

⑵ ① 任意，设，则，即

② 假设（矛盾），∴  

∴ 在数列中．但不在数列中的项恰为。

⑶，

，， 

∵  

∴ 当时，依次有，……

∴。