2011届高三上学期期末考试数学试题(理科)

理科数学试题

命题人：王书爽

本试卷满分150分，考试用时120分钟。

元月26日晚上19：00—21：00

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如果复数 (其中为虚数单位，为实数)的实部和虚部互为相反数，那么等

于 （   ）

    A．               B．              C．         D．2

2．若，则下列不等式中不一定成立的是        （   ）

    A．    B．    C．    D．∣∣

3. 已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且

=（   ）

A．2               B．4               C．8               D．16

4．已知直线与直线，则到的角为（   ）

A．    B．       C．     D． 

5.若将函数的图像上每个点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到的图像关于点对称，则的最小值是（    ）

  A.              B.              C.                D. 

6．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是  （    ）

A．    B．        C．     D．．

7. △ABC的外接圆的圆心为，半径为1，且，则向量在方向上的投影为（   ）

   A.         B.       C.           D. 

8．下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1），将线段围成一个正方形，使两端点恰好重合（如图2），

再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在轴上，点的坐标为（如图3），若图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作.

现给出以下命题：

1；                            ②的图象关于点对称；

③在区间上为常数函数；        ④为偶函数。

其中正确命题的个数有(   )

A. 1                B. 2                C. 3                D. 4

9．过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为                （    ）  

    A．           B．              C．         D． 

10．已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，．则方程在区间内的解的个数是（     ）

    A．18              B．12                C．11              D．10

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填写在答题卡相应横线上。

11．已知函数在内连续，则       ．

12．函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则的最小值为          ．

13.设实数满足不等式组，则的取值范围是         . 

14.已知命题“存在使得”，若命题是假命题，则实数的取值范围是         .

15．当时，定义函数表示的最大奇因数．如 ，，，，记,则             .

三、解答题：本大题共6小题，共计75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）

已知向量m，n，函数m·n.

(1)若，求的值；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求的取值范围.

17．（本小题满分12分）

已知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上，

（1）求矩形的外接圆的方程；

（2）已知直线，求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程．

18．（本小题满分12分）

某公司为了实现2011年1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额（单位：万元）

随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的，现有三个奖励模型：，，，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？说明理由．

（参考数据：）

19．（本小题满分12分）

    已知圆,定点，为圆上一动点，点在上，点在上(为圆心)，且满足，，设点的轨迹为曲线．   

（1）求曲线的方程；

   （2）过点作倾斜角为的直线交曲线于C、D两点．若点恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数的取值范围．

20．（本小题满分13分）

已知函数，，其中．

（1）若在其定义域内是单调函数，求实数的取值范围；

（2）若（1，），问是否存在，使成立？若存在，求出符合条件的一个；否则，说明理由．

21.（本小题满分14分）

已知数列满足，首项为；

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，求证：；

（3）设数列满足，其中为一个给定的正整数，求证:当时，恒有.

2011届高三上学期期末考试数学参（理科）

一、选择题：

 C B D C A    C C C A C

二、填空题：

 11.      12.      13.       14.    15. 

三、解答题：

16. 解：由题意得：

………（3分）

(1)若，可得，

则             ………（6分）

(2)由可得,即

，得                       ………（9分）

又均为锐角         

的取值范围是：                     ………（12分）

17．解：（1）由且，点在边所在的直线上

所在直线的方程是：即       

由  得                                       ………（3分）

矩形ABCD的外接圆的方程是：                       ………（6分）

（2）直线的方程可化为： 

可看作是过直线和的交点的直线系,即恒过定点

由知点在圆内，所以与圆恒相交，            ………（9分）

设与圆的交点为，为到的距离）

设与的夹角为，则

当时，最大，最短

此时的斜率为的斜率的负倒数：，的方程为

即：                                                ………（12分）

18. 解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当时，

①函数为增函数；②函数的最大值不超过5   ； ③％

（1）对于，易知满足①，但当时，，不满足公司要求；…（2分）

（2）对于，易知满足①，但当时，，不满足公司要求； …（4分）

（3）对于，易知满足①，                                     …（6分）

当时， 

又，满足②          …（9分）

而％*

设

在为减函数

     *式成立，满足③    

综上，只有奖励模型：能完全符合公司的要求                …（12分）

19. 解：（1）由知为的中垂线

的轨迹是椭圆， 

即的轨迹方程是                                      ………（4分）

（2）由题意：的方程是

由消去,整理得： 

由               ………（6分）

又点在以线段为直径的圆内，得                ………（8分）

即

综上所述，的取值范围是                                  ………（12分）

20. 解：由，得

（1）由题意得：在恒成立或在恒成立

若恒成立，则恒成立

又          满足题意

若恒成立，则恒成立

综合上述，的取值范围是．                            ………（6分）

（2）令．则问题等价于: 找一个使成立，故只需满足函数的最小值即可．

     因，

而，

故当时，，递减；当时，，递增．

于是，．

与上述要求相矛盾，故不存在符合条件的．                ………（13分）

21. 解：（1）由已知可得： 

即

由累加法可求得：  即

又也成立，                                ………（4分）

（2）

先证

由，此式显然成立

                                             ………（6分）

又

即                                                    ………（9分）

(3)由题意知： 为递增数列

只需证：即可

若，则显然成立；

若，则，即

因此  

故时，恒有.                                        ………（14分）