湖南沙市师大附中梅溪湖中学2020-2021学年八年级上学期第一次月考...

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（　　）

A．    B．

C．    D．

2．计算（）2019×（）2020的结果是（     ）

A．-    B．-    C．    D．-2020

3．已知，点与点关于轴对称，则的值为（    ）

A．    B．1    C．    D．

4．下列运算正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（    ）

A．，，    B．，

C．    D．

6．如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（     ）

A．4    B．6    C．8    D．10

7．如图，在Rt△ABC中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若，，则△ABD的面积是（    ）

A．15    B．30    C．45    D．60

8．如果等腰三角形两边长是4cm和8cm，那么它的周长是（　　）

A．16 cm    B．20cm    C．21 cm    D．16或20cm

9．在的展开式中，不含x2和x项，则，值分别为（    ）

A．，    B．，    C．，    D．，

10．如图，在边长为的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为,的四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是（   ）

A．    B．    C．    D．

11．如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，上午10时到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处？（    ）

A．上午10时30分    B．上午11时    C．上午11时30分    D．上午12时

12．如图，任意△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①；②；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④．其中正确的有（    ）

A．①②③    B．①③④    C．②③④    D．①②③④

二、填空题

13．若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________．

14．将一副直角三角尺如图摆放，点C在EF上，AC经过点D，已知，，，，则∠CDF的度数为_______．

15．如图，在△ABC中，∠BAC=100° ，AB=AC， AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC=___．

16．已知m+2n﹣2＝0，则2m•4n的值为_____．

17．如图，中，，平分，，点、分别为、上的动点，则的最小值是__________．

18．如图，在△ABC中，，，点D在边BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作，DE交边AC于点E．当△ADE的形状为等腰三角形时，_____．

三、解答题

19．计算：

（1）；

（2）．

20．先化简，再求值，其中．

21．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展兴趣课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B.文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了八年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：

（1）本次被抽查的学生共有______名；

（2）扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为_____度；

（3）请你将条形统计图补全；

（4）若该校八年级共有550名学生，请根据上述调查结果估计该年级学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？

22．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．

（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的，并写出点C的对应点的坐标；

（2）求△ABC的面积；

（3）已知P为y轴上一点，若△ABP的面积为3，求点P的坐标．

23．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．

（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？

（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

24．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．

（1）如图1，△ABC中，，，求证：△ABC是倍角三角形；

（2）若△ABC是倍角三角形，，，，求BC的长；

（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得．若，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．

25．我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到，请解答下列问题：

（1）根据图2中的面积关系，写出可以得到的数学等式______；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：

已知，，求的值；

（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式______；

（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，若，请证明式子一定能被8整除．

26．如图，在平面直角坐标系中，，点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．

（1）如图1，若，，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，连接AF，求证：△AFD为等腰三角形；

（2）如图2，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足？请求出点C的坐标；

（3）如图3，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．

参

1．A

【分析】

根据轴对称图形的定义判定即可解答．

【详解】

解：四个图形中是轴对称图形的只有A选项，

故选A．

【点睛】

本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义并能正确识别轴对称图形是解答本题的关键．

2．B

【分析】

根据积的乘方公式及逆运算即可求解．

【详解】

（）2019×（）2020

=（）2019×（）2019×（）

=（×）2019×

=-

故选B．

【点睛】

此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方公式及逆运算的运用．

3．B

【分析】

根据平面直角坐标系中点的对称的知识点可得到m、n的值，代入求值即可．

【详解】

∵点与点关于轴对称，

∴，

∴，

∴，

故答案选B．

【点睛】

本题主要考查了平面直角坐标系点的对称，准确运用公式计算是解题的关键．

4．D

【分析】

直接利用合并同类项法则以及积的乘方幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法除法法则分别进行计算，最后进一步加以判断即可．

【详解】

A、和不是同类项，不能计算，故该选项不符合题意；

B、，计算错误，故该选项不符合题意；

C、，计算错误，故该选项不符合题意；

D、，计算正确，故该选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了合并同类项以及积的乘方、幂的乘方、同底数幂乘除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．

5．C

【分析】

根据等腰三角形的判定定理判断即可．

【详解】

A、∵，，

∴，

∴△ABC是等腰三角形；

B、∵∠B=50°，∠C=80°，

∴∠A=180°-∠B-∠C=50°，

∴∠A=∠B，

∴△ABC是等腰三角形；

C、∵，

∴，

∴△ABC不可能是等腰三角形；

D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：3，

∴设∠A=∠B=，∠C=3，

∴△ABC是等腰三角形，

故选：C．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．

6．C

【分析】

根据线段垂直平分线的性质可得，再利用△BDC的周长为18即可求解．

【详解】

解：∵MN垂直平分AB，

∴，

∴△BDC的周长，

∵，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

7．B

【分析】

根据题意可知AP为∠CAB的平分线，由角平分线的性质得出CD=DH，再由三角形的面积公式可得出结论．

【详解】

由题意可知AP为∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB于点H，

∵∠C=90°，CD=5，

∴CD=DH=5．

∵AB=12，

∴S△ABD=AB•DH=×12×5=30．

故选：B．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

8．B

【分析】

根据题意等腰三角形的三边长有以下两种情况：4cm、4cm、8cm和8cm、8cm、4cm；然后根据三角形的三边关系进行排除求解即可．

【详解】

解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm；

当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4＝8，不满足三角形的三边关系，不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，关键是由题意得到等腰三角形三边长的情况，然后利用三角形三边关系进行排除．

9．C

【分析】

根据多项式与多项式的乘法法则展开后，将含与的进行合并同类项，然后令其系数为0计算即可．

【详解】

，

∵的展开式中，不含x2和x项，

∴，，

解得，，

故选：C．

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式的运算法则，注意：当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．

10．C

【分析】

由题意得：直角边长分别为,的四个直角三角形全等，所以它们的面积相等，再根据面积之间的关系用代数式表示，化简即可．

【详解】

解：由题意得，直角边长分别为,的四个直角三角形全等，所以它们的面积相等，

故选：C．

【点睛】

本题考查完全平方公式的应用，用面积之间的关系得到代数式是解题的关键．

11．B

【分析】

根据三角形的外角的性质求出∠ACB，得到BC的长，根据直角三角形的性质求出BD，计算即可．

【详解】

∵∠CBD为△ABC的外角，∠CBD=60°，∠CAB=30°，

∴∠ACB=∠CBD-∠ACB=30°，

∴∠CAB=∠ACB，

AB=15×(10-8)=30(海里)，

∴AB=BC=30(海里)，

在Rt△BCD中，∠BCD=30°，

∴BD=BC=15(海里)，

∴从B到D用的时间为：(小时) ．

若船继续向正北方向航行，求轮船在上午11时到达灯塔C的正东方向D处．

故选：B．

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质，方向角，等腰三角形的判定和性质，注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

12．A

【分析】

利用角平分线的定义结合三角形内角和定理可求得∠A=2∠BFC-180°；

由△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，DE∥BC，易证得△BDF和△CEF都是等腰三角形，继而可得DE=BD+CE；

再又由△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC，即可得△ADE的周长等于AB与AC的和；

由已知条件不能判断BF与CF的大小．

【详解】

解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，

∴∠FBC=∠ABF，∠FCB=∠ACF， 

∴∠A=2∠BFC-180°，故①正确；

∵DE∥BC，

∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，

∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，

∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，

∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，

∴DB=DF，EF=EC，

∴DE=DF+EF=BD+CE，即DE- BD=CE，故②正确；

∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC；

故③正确

∵∠ABC不一定等于∠ACB，

∴∠FBC不一定等于∠FCB，

∴BF与CF不一定相等，无法判断其大小，故④错误；

综上，正确的是①②③．

故选：A．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

13．八（或8）

【解析】

分析：根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数.

详解：根据正多边形的每一个内角为，

正多边形的每一个外角为： 

多边形的边数为： 

故答案为八.

点睛：考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键.

14．25°

【分析】

根据已知条件和等腰三角形的性质得到∠ACE的度数，又由三角形外角的性质，可得∠CDF=∠ACE-∠F，继而求得答案．

【详解】

∵AB=AC，∠A=90°，

∴∠ACB=∠B=45°，

∵∠EDF=90°，∠E=30°，

∴∠F=90°-∠E=60°，

∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，

∴∠CDF=∠ACE-∠F=∠BCE+∠ACB-∠F=45°+40°-60°=25°．

故答案为：25°．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟知三角板各个角的度数是解题的关键．

15．80°

【分析】

根据对边对等角可求出的度数，再根据线段垂直平分线可得出，最后根据三角形外角性质即可得出答案．

【详解】

解：∠BAC=100° ，AB=AC，

,

EF是AB的垂直平分线,

,

．

故答案为：80°．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

16．4

【分析】

把2m•4n转化成2m•22n的形式，根据同底数幂乘法法则可得2m•22n=2m+2n，把m+2n=2代入求值即可.

【详解】

由m+2n﹣2＝0得m+2n＝2，

∴2m•4n＝2m•22n＝2m+2n＝22＝4．

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了幂的乘方和同底数幂乘法，掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题关键．

17．7

【分析】

根据题意可以画出相应的图形，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案.

【详解】

如图：过B点作BF⊥AC于点F，BF与AM交于D点.

∵在△ABC中，AB=14，BC=10, AM平分∠BAC,∠BAM=15°，∠BFA=90°,

∴∠BAC=2∠BAM=30°,

∴AB=2BF,

∴BF=7,

∵AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB的动点，

∴BD+DE的最小值是BF,

∴BD+DE最小值为：7,

故答案为:7.

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题、30°直角三角形的性质，掌握最短路线问题、30°直角三角形的性质是解题的关键.

18．100°或115°

【分析】

分两种情况进行讨论，根据三角形的外角性质，可得当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形．

【详解】

∵∠B=∠C=50°，∠ADE=50°，

∴∠BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=180°-50°=130°，

∴∠BDA=∠CED，

∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），

∴AD≠AE，

①如图所示，当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=50°，

∴∠BDA=∠CED=50°+50°=100°；

②如图所示，当DA=DE时，∠EAD=∠AED=65°，

∴∠BDA=∠CED=65°+50°=115°；

故答案为：100°或115°．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的综合应用，解决问题的关键是运用分类思想进行分类讨论．

19．（1）4；（2）﹣4

【分析】

（1）根据乘方运算、零指数幂运算进行计算即可；

（2）根据绝对值运算、立方根运算、算术平方根运算进行计算即可．

【详解】

解：（1）

=4﹣1+1

=4；

（2）

=3﹣3﹣4

=﹣4．

【点睛】

本题考查了乘方、零指数幂、绝对值、立方根、算术平方根，熟练掌握运算法则是解答的关键，注意．

20．；15

【分析】

原式去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值；

【详解】

解：原式

当时，原式

【点睛】

本题考查了整式的加减-化简求值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．

21．（1）50；（2）72；（3）条形统计图补全见解析；（4）估计该年级学生选择“C.社会实践类”的学生共有88名．

【分析】

（1）根据D类的人数和所占的百分比，可以求得本次被抽查的学生人数；

（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数；

（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出选择B的学生人数，然后即可将条形统计图补充完整；

（4）根据统计图中的数据，可以计算出该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名．

【详解】

（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%=50（名），

故答案为：50；

（2）扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为：，

故答案为：72；

（3）选择B的学生有：50-10-8-20=12（人），

补全的条形统计图如图所示；

（4）（名），

即该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有88名．

【点睛】

本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22．（1）画图见解析；(4，-3)；（2）△ABC的面积是4；（3）点P的坐标为(0，3)或(0，-2)．

【分析】

（1）利用关于x轴对称点的性质得出答案；

（2）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；

（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案．

【详解】

（1）如图所示，即为所作：

点C的对应点的坐标为 (4，-3)；

（2）△ABC的面积是：；

 故△ABC的面积是4；

（3）∵P为轴上一点，△ABP的面积为3，

∴BP=3，

∴点P的纵坐标为：或．

故点P的坐标为(0，3)或(0，-2) ．

【点睛】

本题主要考查了坐标与图形变化－轴对称，正确得出对应点位置是解题关键．

23．（1）A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元（2）共有4种进货方案（3）当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元

【详解】

解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，

根据题意得方程组得：， 

解方程组得：，

∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元；

（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个，

∴， 

解得：50≤x≤53， 

∵x 为正整数，

∴共有4种进货方案；

（3）因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，

因此选择购A种50件，B种50件． 

总利润=50×20+50×30=2500（元）

∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元．

24．（1）见解析；（2）；（3）△ADC和△ABC都为倍角三角形，证明见解析．

【分析】

（1）由条件求出∠B=∠C=72°，根据“倍角三角形”的定义可得出答案；

（2）①当∠B=2∠C，可得∠C=15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，求出AH=1，利用含30度角的直角三角形的性质即可求得BC的长；②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在；

（3）证明△ABD≌△AED，可得∠ADE=∠ADB，BD=DE，证明CE=DE，得出∠C=∠BDE=2∠ADC，可得出∠ABC=2∠C．则结论得证．

【详解】

（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，

∴∠B=∠C=72°，

∴∠C=2∠A，

即△ABC是倍角三角形；

（2）∵∠A＞∠B＞∠C，∠B=30°，

①当∠B=2∠C，得∠C=15°，

过C作CH⊥直线AB，垂足为H，

可得∠CAH=45°，

∵，

∴AH=CH=1，

在Rt△BCH中，∠B=30°，CH=1，

∴BC=2CH=2；

②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在，

综上所述，BC=2；

（3）△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：

∵AD平分∠BAE，

∴∠BAD=∠EAD，

∵AB=AE，AD=AD，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴∠ADE=∠ADB，BD=DE．

又∵AB+AC=BD，

∴AE+AC=BD，即CE=BD，

∴CE=DE，

∴∠C=∠BDE=2∠ADC．

∴△ADC是倍角三角形；

∵△ABD≌△AED，

∴∠E=∠ABD，

∴∠E=180°-∠ABC，

∵∠E=180°-2∠C，

∴∠ABC=2∠C．

∴△ABC是倍角三角形．

【点睛】

本题是三角形的综合问题，考查了“倍角三角形”的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用等知识点，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

25．（1）；（2）；（3）；（4）见解析．

【分析】

（1）依据大正方形的面积=，各部分面积之和，从而可得答案；

（2）依据，进行计算即可；

（3）根据原几何体的体积=新几何体的体积，列式可得结论；

（4）依据所拼图形的面积为：，而，比较系数可得，，，则，即可证明是8的倍数．

【详解】

（1）最外层正方形的面积为：，

分部分来看，有三个正方形和六个长方形，

其和为：，

总体看的面积和分部分求和的面积相等．

故答案为：；

（2）∵，，

由（1）得，

∴，

∴，

∴的值为45；

（3）大立方体的体积等于，挖去的长方体的体积为，从而剩余部分的体积为，

重新拼成的新长方体体积为：，

两者体积相等，

故答案为： ；

（3）∵，

∴，，，

∴，而n，中必有偶数，

∴yz是8的倍数，一定能被8整除．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何背景，明确相关图形的面积或体积计算公式，数形结合，正确列式是解题的关键．

26．（1）见解析；（2）点C的坐标为(12，0)；（3）OP最小值为．

【分析】

（1）利用三角形外角的性质结合角平分线的定义求得，即可证明△AFD为等腰三角形；

（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ=∠BAC=60°，求出CD，得到答案；

（3）以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．证明点P在直线EF上运动，根据垂线段最短解答．

【详解】

（1）∵，，

∴，

∵BD、CE是△ABC的两条角平分线，

∴AF也是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠DBC=30，∠BCE=∠ACE=20，∠BAF=∠CAF=40，

∴∠AFD=∠ABD+∠BAF=3040，

∠ADF=∠BCO+∠DBC =4030，

∴∠AFD=∠ADF，

∴AF=AD，

∴△AFD为等腰三角形；

（2）∵△ABD是等边三角形，且A(-3，0)，BO⊥AD，

∴AO=OD=3，

∵△ABD和△BCQ是等边三角形，

∴∠ABD=∠CBQ=60°，

∴∠ABC=∠DBQ，

在△CBA和△QBD中，

，

∴△CBA≌△QBD（SAS），

∴∠BDQ=∠BAC=60°，

∴∠PDO=60°，

∴PD=2DO=6，

∵PD=DC，

∴DC=9，即OC=OD+CD=3+9=12， 

∴点C的坐标为(12，0)；

（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．

同理证得：△AEP≌△ADB，

∴∠AEP=∠ADB=120°，

∴∠OEF=∠OEA=60°， 

又EO⊥AF，

∴OF=OA=2，

∴点P在直线EF上运动，

当OP⊥EF时，OP最小，

∵∠OFE=90°-∠OEF=90°-60°=30°，

∴OP=OF=，

则OP的最小值为．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．