主成分分析与因子分析及SPSS实现实例讨论

方法

（一）问题提出
男子十项全能比赛包含100米跑、跳远、跳高、撑杆跳、铅球、铁饼、标、400米跑、1500米跑、110米跨栏十个项目，总分为各个项目得分之和。为了分析十项全能主要考察哪些方面的能力，以便有针对性的进行训练，研究者收集了134个顶级运动员的十项全能成绩单，将通过因子分析来达到分析目的。

（二）分析过程
变量视图：

数据视图（部分）：

菜单选择（分析->降维->因子分析）：

打开因子分析的主界面，将十项成绩选入”变量“框中（不要包含总分），如下：

点击”描述“按钮，打开对话框，选中”系数“和”KMO和Bartlett球形度检验“，如图。

下图相关解释：
”系数“：为变量之间的相关系数阵列，可以直观的分析相关性。
”KMO和Bartlett球形度检验“：用于定量的检验变量之间是否具有相关性。

点击”继续“，回到主界面，点击”抽取“，打开对话框。”方法“ =>”主成分“，”输出“=>”未旋转的因子解“和”碎石图“，”抽取“=>”基于特征值“，其余选择默认。

解释：

输出的主要表格如下：
（1）相关性检验
因子分析要求变量之间有相关性，所以首先要进行相关性检验。首先输出的是变量之间的相关系数矩阵：

可以直观的看到，变量之间有相关性。但需要检验，接着输出的是相关性检验，如图。图中有两个指标：第一个是KMO值，一般大于0.7就说明不了之间有相关性了。第二个是Bartlett球形度检验，P值<0.001。综合两个指标，说明变量之间存在相关性，可以进行因子分析。否则，不能进行因子分析。

（2）提取主成分和公因子
接下来输出主成分结果，如图。这就是主成分分析的结果，表中第一列为10个成分；第二列为对应的”特征值“，表示所解释的方差的大小；第三列为对应的成分所包含的方差占总方差的百分比；第四列为累计的百分比。一般来说，选择”特征值“大于1的成分作为主成分，这也是SPSS默认的选择。
在本例中，成分1和2的特征值大于1，他们合计能解释71.034%的方差，还算不错。所以我们可以提取1和2作为主成分，抓住了主要矛盾，其余成分包含的信息较少，故弃去。

下面，输出碎石图，如下图。碎石图来源于地质学的概念。在岩层斜坡下方往往有很多小的碎石，其地质学意义不大。碎石图以特征值为纵轴，成分为横轴。前面陡峭的部分特征值大，包含的信息多，后面平坦的部分特征值小，包含的信息也小。由图直观的看出，成分1和2包含了大部分信息，从3开始就进入平台了。

接下来，输出提取的成分矩阵。表中的数值为公因子与原始变量之间的相关系数，绝对值越大，说明关系越密切。公因子1和9个运动项目都正相关（注意跑步运动运动的计分方式，时间越短，分数越高），看来只能称为“综合运动”因子了。公因子2与铁饼、铅球正相关，与1500米跑、400米跑负相关，这究竟代表什么意思呢？看来只能成为“不知所云”因子了。

（三）因子旋转
前面提取的两个公因子一个是大而全的“综合因子”，一个不知所云，得到这样的结果，无疑是分析的失败。不过，不要灰心，我们可以通过因子的旋转来获得更好的解释。在主界面中点击“旋转”按钮，打开对话框，“方法”=>“最大方差法”，“输出”=>“旋转解”。

点击“继续”，回到主界面点击“确认”进行分析。输出结果如下图。这是选择后的成分矩阵。经过旋转，可以看出：公因子1得分越高，所有的跑步和跨栏成绩越差，而跳远、撑杆跳等需要助跑类项目的成绩也越差，所以公因子1代表的是奔跑能力的反向指标，可称为“奔跑能力”。公因子2与铁饼和铅球的正相关性很高，与标、撑杆跳等需要上肢力量的项目也正相关，所以该因子可以成为“上肢力量”。经过旋转，可以看出公因子有了更合理的解释。

（四）结果的保存
在最后，我们还要将公因子储存下来供后续使用。点击“得分”按钮，打开对话框，选中“保存为变量”，方法采用默认的“回归”方法，同时选中“显示因子得分系数矩阵”。

SPSS会自动生成2个新变量，分别为公因子的取值，放在数据的最后。同时会输出一个因子系数表格：

由上图，我们可以写出公因子的表达式（用F1、F2代表两个公因子，Z1~Z10分别代表原始变量）：
F1 = -0.16*Z1+0.161*Z2+0.145*Z3+0.199*Z4-0.131*Z5-0.167*Z6+0.137*Z7+0.174*Z8+0.131*Z9-0.037*Z10
F2同理，略去。
注意，这里的变量Z1~Z10，F1、F2不再是原始变量，而是标准正态变换后的变量。